山西省忻州市賈家峁聯校2021年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.表示不超過的最大整數，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知，，則函數的零點個數是()A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：A2.四棱錐的所有頂點都在同一個球面上，底面是正方形且和球心在同一平面內，當此四棱錐的體積取得最大值時，它的表面積等于，則球的體積等于（

）A. B. C. D.參考答案：B3.如圖，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=，E是DC的中點，P是線段BC上的動點，則的最小值是（）A．1 B．0 C． D．參考答案：D【解答】解：由等腰梯形的知識可知cosB＝，設BP＝x，則CP＝﹣x，∴＝（）?＝＝1?x?（﹣）+（﹣x）?x?（﹣1）＝x2﹣x，∵0≤x≤，∴當x＝時，取得最小值﹣．4.已知函數的定義域為，且為偶函數，則實數的值可以是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：5.直線l：過點，若可行域的外接圓的面積為，則實數n的值為A．8

B．7 C．6

D．9參考答案：答案：A6.已知集合，集合，若向區域內投一點,則點落在區域內的概率為

A.

B.

C.

D.參考答案：D7.命題“所有實數的平方都是正數”的否定為A.所有實數的平方都不是正數B.有的實數的平方是正數C.至少有一個實數的平方是正數D.至少有一個實數的平方不是正數參考答案：D全稱命題的否定式特稱命題，所以“所有實數的平方都是正數”的否定為“至少有一個實數的平方不是正數”選D.8.與命題“若，則”等價的命題是

（

）A.若，則

B.若，則

C.若，

則 D若，則參考答案：D9.西安某區選派6名教師（其中4名男、2名女教師）到A、B、C三個鄉鎮中學支教，每個鄉鎮2名，且2名女教師不在同一鄉鎮，也不在C鎮，某男教師甲不在A鎮，問共有多少選派方法（

）A．24

B．18

C．12

D．9參考答案：B略10.已知i為虛數單位，若復數i為實數，則實數的值為（

）A．1

B．0

C．1

D．2參考答案：Ａ二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數的單調遞減區間為_______參考答案：（0,1）答案不唯一略12.命題“存在，使”的否定是

。參考答案：答案：對任意使13.已知函數是函數的反函數，則參考答案：14.如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF=3，FB=1，EF=，則線段CD的長為____________.

參考答案：略15.若6x2+4y2+6xy=1，x，y∈R，則x2﹣y2的最大值為．參考答案：【考點】3H：函數的最值及其幾何意義．【分析】令x2﹣y2=t，條件式兩邊同乘t，得到關于的方程，根據方程有解列不等式得出t的范圍．【解答】解：設x2﹣y2=t，則6tx2+4ty2+6txy=x2﹣y2，即（6t﹣1）x2+6txy+（4t+1）y2=0，若y=0，則x2=，此時t=，若y≠0，則（6t﹣1）（）2+6t?+（4t+1）=0有解∴6t﹣1=0或36t2﹣4（6t﹣1）（4t+1）≥0，解得﹣≤t≤，當且僅當x+3y=0且y2=時，t取得最大值．故答案為．16.已知x＞1，則函數y=2x+的最小值為

．參考答案：5考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：變形利用基本不等式的性質即可得出．解答： 解：∵x＞1，∴函數y=2x+=2x﹣1++1+1=5，當且僅當x=時取等號．∴函數y=2x+的最小值為5．故答案為：5．點評：本題考查了基本不等式的性質，屬于基礎題．17.若復數z=1+2i，其中i是虛數單位，則=___________.參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）現有一組互不相同且從小到大排列的數據，其中．記，，作函數，使其圖象為逐點依次連接點的折線．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）設直線的斜率為，判斷的大小關系；（Ⅲ）證明：當時，．參考答案：（Ⅰ）解：，

…………2分；

………………4分（Ⅱ）解：，．

………………6分因為，所以．

………………8分（Ⅲ）證：由于的圖象是連接各點的折線，要證明，只需證明．

…………9分事實上，當時，．下面證明．法一：對任何，………………10分……11分

…………12分所以．…………13分法二：對任何，當時，；………10分當時，綜上，．

………13分19.（本小題滿分12分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是邊長為的正三角形，點A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中點．（Ⅰ）求證：A1A⊥BC；（Ⅱ）當側棱AA1和底面成45°角時，求二面角A1—AC—B的余弦值；

參考答案：（Ⅰ）連結AO，

…1分A1O⊥面ABC，是在面ABC的射影

…3分∵AO⊥BC

…4分∴

A1A⊥BC． ………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A1AO=45°

………7分由底面是邊長為2的正三角形，可知AO=3…………8分∴A1O=3，AA1=3

………9分過O作OE⊥AC于E，連結A1E，則∠A1EO為二面角A1—AC—B的平面角

………10分 ∵OE=，∴tan∠A1EO=

………11分 即二面角A1—AC—B的余弦值為．

………12分略20.如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直，已知AB＝2，AD＝EF＝1．（Ⅰ）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；（Ⅱ）設平面CBF將幾何體EF-ABCD分割成的兩個錐體的體積分別為VF-ABCD、VF-CBE，求VF-ABCD：VF-CBE的值．

參考答案：解：（Ⅰ）如圖，設FD的中點為N，連結AN，MN．∵M為FC的中點，∴MN∥CD，MN＝CD．又AO∥CD，AO＝CD，∴MN∥AO，MN＝AO，∴MNAO為平行四邊形，∴OM∥AN，又OM?平面DAF，AN?平面DAF，∴OM∥平面DAF．………………6分（Ⅱ）如圖，過點F作FG⊥AB于G．∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD，∴VF-ABCD＝SABCD·FG＝FG．∵CB⊥平面ABEF，∴VF-CBE＝VC-BEF＝S△BEF·CB＝·EF·FG·CB＝FG．∴VF-ABCD：VF-CBE＝4．……………13分

略21.直棱柱中，底面是直角梯形，,．（Ⅰ）求證：⊥平面；（Ⅱ）在上是否存一點，使得與平面與平面都平行？證明你的結論．參考答案：證明：（Ⅰ）直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．又∠BAD＝∠ADC＝90°，，∴，∠CAB＝45°，∴，

BC⊥AC．………………5分又，平面BB1C1C，

AC⊥平面BB1C1C．

…7分（Ⅱ）存在點P，P為A1B1的中點．………8分證明：由P為A1B1的中點，有PB1‖AB，且PB1＝AB．…9分又∵DC‖AB，DC＝AB，DC∥PB1，且DC＝PB1，∴DCPB1為平行四邊形，從而CB1∥DP