山西省忻州市繁峙縣城關鎮中學2023年高二數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列命題中的假命題是（

）A．,

B.,C．

,

D.,參考答案：B略2.在四面體ABCD中，已知棱AC的長為，其余各棱的長都為1，則二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．參考答案：C略3.二項式（﹣）10展開式中的常數項是（）A．360 B．180 C．90 D．45參考答案：B【考點】DC：二項式定理的應用．【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數為0，求出r，將r的值代入通項求出展開式的常數項．【解答】解：展開式的通項為Tr+1=（﹣2）r令5﹣r=0得r=2所以展開式的常數項為=180故選B4.一個路口的紅綠燈紅燈時間是30秒，黃燈時間是5秒，綠燈時間是40秒，當你到達路口時遇到概率最大的情況是（

）A．紅燈 B．黃燈C．綠燈 D．不能確定參考答案：C考點：幾何概型試題解析：遇到紅燈的概率為：遇到黃燈的概率為：遇到綠燈的概率為：

所以當你到達路口時遇到概率最大的情況是綠燈。故答案為：C5.函數的零點所在的一個區間是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B略6.在平面直角坐標系xOy中，若直線（s為參數）和直線（t為參數）平行，則常數a的值為(

)A.8

B.6

C.2

D.4參考答案：D7.在數學歸納法證明“”時，驗證當時，等式的左邊為（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：C8.已知直線y=x-l與拋物線交于A,B兩點，則等于

(

)(A)

(B)6

(C)7

(D)8參考答案：D9.某工廠的三個車間在12月份共生產了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產品的質量，決定采用分層抽樣的方法進行抽取，若從一、二、三車間抽取的產品數分別為a、b、c，且a、b、c構成等差數列，則第二車間生產的產品數為（）A．800 B．1000 C．1200 D．1500參考答案：C【考點】分層抽樣方法；等差數列的通項公式．【分析】根據等差數列的性質求出a，b，c的關系，結合分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論．【解答】解：∵a、b、c構成等差數列，∴a+c=2b，則第二車間生產的產品數為=1200，故選：C10.如圖，、是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于點、.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A．4

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知曲線C：+y2=1與直線l：（t為參數）相交于A、B兩點，則線段|AB|的長度為．參考答案：【考點】KL：直線與橢圓的位置關系．【分析】由曲線C的直角坐標方程，代入直線的參數方程，運用韋達定理，可得|AB|=|t1﹣t2|，化簡整理即可得到所求值；【解答】解：把代入+y2=1可得：，整理得：8t2+4t﹣3=0，，|AB|=|t1﹣t2|==．故答案為：．12.已知函數f（x）=，其中m＞0，若存在實數b，使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是．參考答案：（3，+∞）【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】作出函數f（x）=的圖象，依題意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．【解答】解：當m＞0時，函數f（x）=的圖象如下：∵x＞m時，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，必須4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范圍是（3，+∞），故答案為：（3，+∞）．13.已知函數，若f(x)的值域為R，則實數m的取值范圍是__________．參考答案：[1,+∞)由題意得取遍上每個值，因此,即,因此實數的取值范圍是14.已知，則________________參考答案：15.多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點在平面內，其余頂點在的同側，正方體上與頂點相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，是正方體的其余四個頂點中的一個，則到平面的距離可能是：①3；

②4；

③5；

④6；

⑤7以上結論正確的為______________。（寫出所有正確結論的編號）參考答案：①③④⑤略16.不透明的盒子中有大小、形狀和質地都相同的5只球，其中2只白球，3只紅球，現從中隨機取出2只球，則取出的這2只球顏色相同的概率是_________.參考答案：.【分析】根據古典概型概率公式求解.【詳解】從5只球中隨機取出2只球，共有種基本事件,從5只球中取出2只球顏色相同求，共有種基本事件,因此所求概率為17.有一個底面圓的半徑為1，高為3的圓柱，點O1，O2分別為這個圓柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O1，O2的距離都大于1的概率為．參考答案：【考點】幾何概型；旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】本題利用幾何概型求解．先根據到點的距離等于1的點構成圖象特征，求出其體積，最后利用體積比即可得點P到點O1，O2的距離都大于1的概率．【解答】解：∵到點O1的距離等于1的點構成一個半個球面，到點O2的距離等于1的點構成一個半個球面，兩個半球構成一個整球，如圖，點P到點O1，O2的距離都大于1的概率為：P====，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）一組數據,,,,的平均數是,是這組數據的中位數,設.（Ⅰ）求的展開式中的項的系數;（Ⅱ）求的展開式中系數最大的項和系數最小的項.參考答案：故展開式中的項的系數為―――――――6分

（II）的展開式中共8項，其中第4項和第5項的二項式系數最大，而第5項的系數等于第5項二項式系數，故第5項的系數最大，即最大項為,

第4項的系數等于第4項二項式系數的相反數，故第4項的系數最小，即最小項為

――――12分19.已知復數z滿足|z|=，z2的虛部為﹣2，且z所對應的點在第二象限．（1）求復數z；（2）若復數ω滿足|ω﹣1|≤，求ω在復平面內對應的點的集合構成圖形的面積．參考答案：（1）設出復數z，利用已知列出方程組，求解可得復數z；（2）把復數z=﹣1+i代入，利用復數代數形式的乘除運算化簡，由復數求模公式計算||，由復數ω滿足|ω﹣1|≤，由復數的幾何意義得出ω在復平面內對應的點的集合構成圖形是什么，從而計算出對應面積．解：（1）設z=x+yi（x，y∈R），則z2=x2﹣y2+2xyi，由|z|=，z2的虛部為﹣2，且z所對應的點在第二象限，得，解得：，∴z=﹣1+i；（2）由（1）知：復數z=﹣1+i，∴==，∴||=，∴復數ω滿足|ω﹣1|≤，由復數的幾何意義得：ω在復平面內對應的點的集合構成圖形是以（1，0）為圓心，為半徑的圓面，∴其面積為．20.已知拋物線：的準線與軸交于點，過點斜率為的直線與拋物線交于、兩點(在、之間)．（1）為拋物線的焦點，若，求的值；（2）若,求的面積

參考答案：（1）(1)法一：由已知

設，則，

，

由得，，解得法二：記A點到準線距離為，直線的傾斜角為，由拋物線的定義知，∴，∴（2）方法一：

又

求根公式代入可解出

方法二：

略21.設函數.（1）當，時，恒成立，求b的范圍；（2）若在處的切線為，求a、b的值.并證明當時，.參考答案：（1）（2）見解析【試題分析】（1）當時，由于，故函數單調遞增，最小值為.（2）利用切點和斜率為建立方程組，解方程組求得的值.利用導數證得先證，進一步利用導數證，從而證明原不等式成立.【試題解析】解：由，當時，得.當時，，且當時，，此時.所以，即在上單調遞増，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由題意得，所以.又切線上.所以.所以.所以.先證，即，令，則，所以在是增函數.所以，即.①再證，即，令，則，時，，時，，時，.所以在上是減函數，在上是增函數，所以.即，所以.②由①②得，即在上成立.【點睛】本小題主要考查利用導數解決不等式恒成立問題，考查利用導數證明不等式.第一問由于a題目給出，并且導函數沒有含有b，故可直接有導數得到函數的單調區間，由此得到函數的最小值，令函數的最小值大于或等于零，即可求得b的取值范圍，從而解決了不等式恒成立問題.22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分別為PC，PB的中點．（Ⅰ）求證：PB⊥DM；（Ⅱ）求CD與平面ADMN所成的角的正弦值．參考答案：【考點】用空間向量求直線與平面的夾角；空間中直線與直線之間的位置關系；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）解法1先由AD⊥PA．AD⊥AB，證出AD⊥平面PAB得出AD⊥PB．又N是PB的中點，PA=AB，得出AN⊥PB．證出PB⊥平面ADMN后，即可證出PB⊥DM．解法2：如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系A﹣xyz，設BC=1，通過證明證出PB⊥DM（Ⅱ）解法1：取AD中點Q，連接BQ和NQ，則BQ∥DC，又PB⊥平面ADMN，所以CD與平面ADMN所成的角為∠BQN．在Rt△BQN中求解即可．解法2，通過PB⊥平面ADMN，可知是平面ADMN的一個法向量，的余角即是CD與平面ADMN所成的角．【解答】（本題滿分13分）解：（Ⅰ）解法1：∵N是PB的中點，PA=AB，∴AN⊥PB．∵PA⊥平面ABCD，所以AD⊥PA．又AD⊥AB，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，AD⊥PB．又AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN．∵DM?平面ADMN，∴PB⊥DM．

…解法2：如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系A﹣xyz，設BC=1，可得，A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1