山西省忻州市溫村聯合學校高三數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若=1+i（a，b∈R），則（a+bi）2=（）A．0 B．﹣2i C．2i D．2參考答案：C【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】把已知等式變形，求得a+bi，代入（a+bi）2，展開后得答案．【解答】解：∵=1+i，∴，則（a+bi）2=（1+i）2=2i．故選：C．2.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體可以是（）A．棱柱 B．棱臺 C．圓柱

D．圓臺參考答案：D3.已知θ∈（，π），sinθ=，則sin（θ+）等于（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：D【考點】兩角和與差的正弦函數．【分析】利用同角三角函數的基本關系求得cosθ的值，再利用誘導公式求得要求式子的值．【解答】解：∵θ∈（，π），sinθ=，∴cosθ=﹣=﹣，則sin（θ+）=cosθ=﹣，故選：D．4.設函數f（x）=exsinπx，則方程xf（x）=f'（x）在區間（﹣2014，2016）上的所有實根之和為（）A．2015 B．4030 C．2016 D．4032參考答案：B【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】利用函數的導數，轉化方程的根為個函數的圖象的交點，利用對稱性求解即可．【解答】解：由f'（x）=ex（sinπx+πcosπx）及xf（x）=f'（x）得xexxinπx=ex（sinπx+πcosπx）?（x﹣1）sinπx=πcosπx，由此方程易知sinπx≠0，cosπx≠0，則有，由于y=tanπx與的圖象均關于點（1，0）對稱，則在區間（﹣2014，2016）上的所有實根之和為2015×2=4030，故選：B．5.設，若，則實數的取值范圍為A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知函數，則函數在區間上的零點

個數為（

）A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：C7.已知a，b∈R，函數f（x）=tanx在x=﹣處與直線y=ax+b+相切，設g（x）=﹣bxlnx+a在定義域內（） A．極大值 B． 有極小值 C． 有極大值2﹣ D． 有極小值2﹣參考答案：考點： 正切函數的圖象．專題： 三角函數的圖像與性質．分析： 先求出f′（x）=，再由條件根據導數的幾何意義可得a=f′（﹣）=2．再把切點（﹣，2）代入切線方程求得b，可得g（x）解析式．再根據g′（x）的符號，求出g（x）的單調區間，從而求得g（x）的極值．解答： 解：由函數f（x）=tanx，可得f′（x）=．再根據函數f（x）=tanx在x=﹣處與直線y=ax+b+相切，可得a=f′（﹣）=2．再把切點（﹣，2）代入直線y=ax+b+，可得b=﹣1，∴g（x）=xlnx+1，g′（x）=lnx+1．令g′（x）=lnx+1=0，求得x=，在（0，）上，g′（x）＜0，在（，+∞）上，g′（x）＞0，故g（x）在其定義域（0，+∞）上存在最小值為g（）=2﹣，故選：D．點評： 本題主要考查函數在某處的導數的幾何意義，利用導數求函數的極值，屬于基礎題．8.已知滿足不等式組,則目標函數的最大值為A.10

B.8

C.6

D.4參考答案：C9.已知函數f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，則實數b的取值范圍是（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，）參考答案：B【考點】63：導數的運算．【分析】求導函數，確定函數的單調性，進而可得函數的最大值，故可求實數a的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，∴f（x）+xf′（x）=+=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，設g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣=，當g′（x）=0時，解的x=，當g′（x）＞0時，即＜x≤2時，函數單調遞增，當g′（x）＜0時，即≤x＜2時，函數單調遞減，∴當x=2時，函數g（x）取最大值，最大值為g（2）=2+=∴b＜，故選：B．10.若f（x）是奇函數，且x0是函數y=f（x）﹣ex的一個零點，則﹣x0一定是下列哪個函數的零點（）A．y=f（﹣x）ex﹣1 B．y=f（x）e﹣x+1 C．y=f（x）ex+1 D．y=f（x）ex﹣1參考答案：A【考點】函數的零點．【專題】計算題；函數的性質及應用．【分析】根據f（x）是奇函數可得f（﹣x）=﹣f（x），因為x0是y=f（x）﹣ex的一個零點，代入得到一個等式，利用這個等式對A、B、C、D四個選項進行一一判斷．【解答】解：f（x）是奇函數，∴f（﹣x）=﹣f（x）且x0是y=f（x）﹣ex的一個零點，∴f（x0）﹣=0，∴f（x0）=，把﹣x0分別代入下面四個選項，A、y=f（x0）﹣1=﹣﹣1=0，故A正確；B、y=f（x0）+1=（）2+1≠0，故B錯誤；C、y=e﹣x0f（﹣x0）+1=﹣e﹣x0f（x0）+1=﹣e﹣x0+1=﹣1+1=0，故C正確；D、y=f（﹣x0）﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故D錯誤；故選：A．【點評】此題主要考查函數的零點問題以及奇函數的性質，此題是一道中檔題，需要一一驗證．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（13）在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，，面積，則b等于

．參考答案：512.設全集，集合則

▲

，

▲

，

▲

．參考答案：13.（5分）已知||=1，||=2，|3+|=4，則||=

．參考答案：考點： 平面向量數量積的運算．專題： 計算題；平面向量及應用．分析： 運用向量的數量積的性質：向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．解答： 由||=1，||=2，|3+|=4，則（3+）2=9++6=16，即為9+4+6=16，即有=，則||====．故答案為：．點評： 本題考查向量的數量積的定義和性質，考查向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎題．14.如圖，三棱錐的頂點，，，都在同一球面上，過球心且，是邊長為2等邊三角形，點、分別為線段，上的動點（不含端點），且，則三棱錐體積的最大值為_______．參考答案：過球心，又是邊長為的等邊三角形，，,三角形是等腰直角三角形，，，又因為,在平面內，

由線面垂直的判定定理可得平面,即平面，設，，則三棱錐體積，當且僅當，即時取等號，故答案為.

15.一人口袋里裝有大小相同的個小球，其中紅色、黃色、綠色的球各個。如果任意取出個小球，那么其中恰有個小球同顏色的概率是__________（用分數表示）。參考答案：16.定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離，則實數a=_______.參考答案：17.一個棱錐的三視圖如圖所示，則這個棱錐的體積為

▲

.參考答案：12由三視圖可知，這是一個底面為矩形，兩側面和底面垂直的四棱錐，底面矩形長4寬為3，四棱錐的高為3，所以四棱錐的體積為，答案為12.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知公差不為的等差數列的前項和＝9，且、、成等比數列.（1）求數列的通項公式和前項和.（2）設為數列的前項和，若對一切恒成立，求實數的最小值.參考答案：

在單調遞增,19.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足=2+2cos（A+B）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，求△ABC的面積．參考答案：【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根據正弦定理進行轉化即可求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，根據三角形的面積公式即可求△ABC的面積．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴sin（2A+B）=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin（A+B）cosA﹣cosAsin（A+B）=2sinA，…∴sinB=2sinA，…∴b=2a，∴．…（Ⅱ）∵，，∴b=2，∴，∴．…∴，即△ABC的面積的．…20.定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=e2x+x2﹣ax，函數g（x）=f（）﹣x2+（1﹣b）x+b（其中a，b為常數），若函數f（x）在x=0處的切線與y軸垂直．（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數g（x）的單調區間；（Ⅲ）若s，t，r滿足|s﹣r|＜|t﹣r|恒成立，則稱s比t更靠近，在函數g（x）有極值的前提下，當x≥1時，比ex﹣1+b更靠近，試求b的取值范圍．參考答案：【考點】函數恒成立問題；函數解析式的求解及常用方法；函數單調性的判斷與證明．【專題】轉化思想；函數的性質及應用；導數的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求函數的導數，利用導數的幾何意義即可求函數f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系即可求函數g（x）的單調區間；（Ⅲ）根據更靠近的定義，構造函數，求函數的導數，利用最值和導數的關系進行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e2x+x2﹣ax，∴f′（x）=2e2x+2x﹣a，∵函數f（x）在x=0處的切線與y軸垂直．∴f′（0）=2﹣a=0，得a=2，∴f（x）=e2x+x2﹣2x；（Ⅱ）g（x）=f（）﹣x2+（1﹣b）x+b=ex﹣b（x﹣1），則g′（x）=ex﹣b，①若b≤0，g′（x）＞0，則g（x）在（﹣∞，+∞）上為增函數，②若b＞0，由g′（x）＞0得x＞lnb，由g′（x）＜0得x＜lnb，即g（x）在（﹣∞，lnb）上為減函數，則（lnb，+∞）上為增函數；（Ⅲ）∵函數g（x）有極值，∴b＞0，由題意知|﹣lnx|＜|ex﹣1+b﹣lnx|，（※），設p（x）=﹣lnx，x≥1，q（x）=ex﹣1+b﹣lnx，（x≥1），∵p（x）在[1，+∞）上是減函數，p（e）=0，∴當1≤x≤e時，p（x）=﹣lnx≥0，當x＞e時，p（x）=﹣lnx＜0，∵q′（x）=ex﹣1﹣，∴q′（x）在[1，+∞）上為增函數，∴q′（x）≥q′（1）=0，即q（x）在[1，+∞）上為增函數，則q（x）≥q（1）=b+1＞0，則q（x）=ex﹣1+b﹣lnx＞0，①當1≤x≤e時，﹣lnx＜ex﹣1+b﹣lnx，即b＞﹣ex﹣1，設m（x）=﹣ex﹣1，∵m（x）=﹣ex﹣1，在[1，e]上為減函數，∴b＞m（1），即b＞e﹣1，②當x＞e時，（※）即lnx﹣＜ex﹣1+b﹣lnx，即b＞﹣+2lnx﹣ex﹣1，設n（x）=＞﹣+2lnx﹣ex﹣1，x＞e，則n′（x）=＞﹣+﹣ex﹣1，x＞e，則n′（x）在（e，+∞）上為減函數，∴n′（x）＜n′（e），∵n′（e）=﹣ee﹣1＜0，∴n（x）在（e，+∞）上為減函數，n（x）＜n（e）=1﹣ee﹣1，則b≥1﹣ee﹣1，綜上b＞e﹣1．【點評】本題主要考查不等式恒成立，利用函數單調性最值和導數之間的關系，是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大，難度比較大．21.

我國采用的PM2.5的標準為：日均值在35微克／立方米以下的空氣質量為一級；在35微克／立方米一75微克／立方米之間的空氣質量為二級；75微克／立方米以上的空氣質量為超標．某城市環保部門隨機抽取該市m天的PM2.5的日均值，發現其莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，可見部分如下圖所示．

請據此解答如下問題：

（I）求m的值，并分別計算：頻率分布直方圖中的［75，95)和［95，115］這兩個矩形的高；

（II）通過頻率分布直方圖枯計這m天的PM2.5日均值的中位數（結果保留分數形式）；

（皿）從這m天的PM2.5日均值中隨機抽取2天，記X表示抽到PM2.5超標的天數，求X的分布列和數學期望．參考答案：略22.（2017?貴州模擬）已知函數f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）記f（x）的最小值為m，已知實數a，b滿足a2+b2=6，求證：g（a）+g（b）≤m．參考答案：【考點】函數的最值及其幾何意義．【分析】（1）化簡f（x）的解析式，得