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文檔簡介
第五章留數第一節孤立奇點5.1解析函數的孤立奇點由于函數f(z)在去掉圓心的圓盤內解析,則在D內,f(z)有洛朗展式其中
是圓孤立奇點的分類—可去奇點:一般地,對于上述函數f(z),按照它的洛朗展式含負次冪的情況(主要部分的情況),可以把孤立奇點分類如下:(1)如果無負次冪項,即當n=-1,-2,-3,…,時那么我們說z0是f(z)的可去奇點。這時令,就得到在整個圓盤內的解析函數f(z)。如果補充定義:時,那末在解析.比如:
中不含負冪項,是的可去奇點.(2)、如果只有有限個負次冪項,即有限個(至少一個)負整數n,使得那么我們說z0是f(z)的極點。設對于正整數m,而當n<-m時,即負次冪項最高為m次那么我們稱z0是f(z)的m階(級)極點。(3)、如果有無窮個負次冪項,即無限個整數n<0,使得那么我們說是f(z)的本性奇點。例如,0分別是的可去奇點,一級極點,本性奇點定理5.1函數f(z)在內解析,那么z0是f(z)的可去奇點的充分與必要條件是:存在著極限,其中是一個復常數。證明:(必要性)。由假設,在內,f(z)有洛朗級數展式:因為上式右邊的冪級數的收斂半徑至少是R,所以它的和函數在內解析,于是顯然存在著:(充分性)。設在內,f(z)的洛朗級數展式是由假設,存在著兩個正數M及,使得在內,當n=-1,-2,-3,…時,在上式中令趨近于0,就得到于是z0是f(z)的可去奇點。那么取,使得,我們有下面研究極點的特性:設函數f(z)在內解析,是f(z)的階極點,那么,f(z)有可表示為:在這里。于是在內在這里是一個在內解析的函數,并且反之,如果函數f(z)在內可以表示成為上面的形狀,而是一個在內解析的函數,并且,那么可以推出是f(z)的m階極點。定理5.2設函數f(z)在內解析,那么z0是f(z)的極點的充分與必要條件是:關于解析函數的本性奇點,我們有下面的結論:定理5.3函數f(z)在內解析,那么是f(z)的本性奇點的充分必要條件是:不存在有限或無窮極限例20是函數的本性奇點,不難看出不存在。解:當z沿正實軸趨近于0時,趨近于
當z沿負實軸趨近于0時,趨近于0;解析函數的零點設不恒為零的函數f(z)在z0的鄰域U內解析,并且那么稱z0為f(z)的零點。設f(z)在U內的泰勒展式是:并且存在正整數m,而對于n<m,那么我們說z0是f(z)的m階零點。如果z0是解析函數f(z)的一個m階零點,那么顯然在它的一個鄰域U內其中在U內解析。定理5.1
設函數f(z)在z0解析,并且z0是它的一個零點,那么存在著z0的一個鄰域,在其中z0是f(z)的唯一零點。因此存在一個正數,使得當時,。于是條件很容易證明.
3.零點與極點的關系定理如果是的m級零點,那末就是的
m級極點.反過來也成立.證如果
的m級零點,是那末當時,解析且所以是的m級極點.解析且如果是的m級極點,則有當時,函數在解析且由于只要令
那末的m級零點.就是說明此定理為判斷函數的極點提供了一個較為簡便的方法.例3函數有些什么奇點,如果是極點,指出它的級.解
函數的奇點是使的點,這些奇點是是孤立奇點.的一級極點.即說明此定理為判斷函數的極點提供了一個較為簡便的方法.解析函數在無窮遠點的性質
設函數f(z)在區域內解析,那么無窮遠點稱為f(z)的孤立奇點。在這個區域內,f(z)有洛朗級數展式:其中系數由定理4.4中類似的公式確定。令,按照R>0或R=0,我們得到在或內解析的函數其洛朗級數展式是:如果w=0是的可去奇點、(m階)極點或本性奇點,那么分別說是f(z)的可去奇點、(m階)極點或本性奇點。(1)、如果當時n=1,2,3,…,,那么是f(z)的可去奇點。(2)、如果只有有限個(至少一個)整數n,使得,那么是f(z)的極點。設對于正整數m,,而當n>m時,那么我們稱是f(z)的m階極點。(3)、如果有無限個整數n>0,使得,那么我們說是f(z)的本性奇點。定理設函數f(z)在區域內解析,那么是f(z)的可去奇點、極點或本性奇點的充分必要條件是:存在著極限、無窮極限、不存在有限或無窮的極限。注解、上一段的結論都可以推廣到無窮遠點的情形,我們綜合如下:例5函數在復平面內有些什么類型的奇點?如果是極點,指出它的級.解
函數除點外,所以這些點都是的一級零點,故這些點中除1,-1,2外,都是的三級極點.內解析.在所以那末是的可去奇點.
也可以因為
第五章留數理論及應用第2節留數35留數的概念
設函數f(z)在區域0<|z-z0|<R內解析。C是z0鄰域內的任意一條包含z0簡單正向閉曲線
那么如果f(z)在z0也解析,則上面的積分等于零;
如果z0是f(z)的孤立奇點,則上述積分就不一定等于零;這時,我們把積分考慮積分36定義為f(z)在孤立奇點z0處的留數,記作這里積分是沿著C按逆時針方向取的。事實上,在0<|z-z0|<R內,f(z)有洛朗展式:而且這一展式在C上收斂。因此,37注解1:f(z)在孤立奇點z0的留數等于其洛朗級數展式中的系數。注解2:如果z0是f(z)的可去奇點,那么38留數定義為我們提供了兩個計算留數的方法:一是將在
內展開成羅朗級數,取其負一次冪項的系數二是計算.394041定理一(留數定理)設函數f(z)在區域D內除有限個孤立奇點那末:
外處處解析,C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,42Dz1z2z3znC1C2C3CnC43證明:以D內每一個孤立奇點zk為心,作正向簡單閉曲線Ck,
并且使任意兩個這樣的閉曲線彼此無公共點。從D中除去以這些Ck為邊界的閉曲線的一個區域G,其邊界是C以及Ck,根據復合閉路定理,這里沿C的積分按關于區域D的正向取的,沿Ck的積分按反時針方向取的。[證畢]兩邊同時除以且45
留數的計算方法46首先考慮一階極點的情形。設z0是f(z)的一個一階極點。因此在去掉中心z0的某一圓盤內其中在這個圓盤內包括z=z0解析,其泰勒級數展式是:47而且。顯然,在f(z)的洛朗級數中,的系數等于,因此一級極點的留數求法48如果在上述去掉中心z0的圓盤內(),其中P(z)及Q(z)在這圓盤內包括在z0解析,z0是Q(z)的一階零點,并且Q(z)在這圓盤內沒有其他零點,那么z0是f(z)的一階極點,因而4950例3、
函數因此有兩個一階極點,這時51
其次,我們考慮高階極點的情形。設z0是f(z)的一個k階極點(k>1)。這就是說,在去掉中心z0的某一圓盤內()其中在這個圓盤內包括z=z0解析,其泰勒級數展式是:52由此可見,顯然,因此問題轉化為求泰勒級數展式的系數。如果容易求出它的泰勒級數展式,那么由此可得53因此,我們也可根據下列公式計算我們也可以用下面的方法證明:545556例4、函數在z=0有三階極點,則(用洛朗展式方法)因此由上述公式也可得:57例5、函數在z=i是二階極點。這時由上述公式可得:58定義5.2.2:無限遠點留數59606162(積分曲線為逆時針方向)6364656667例9計算下列積分
解68例11計算積分C為正向圓周:解為一級極點,為二級極點,例12計算積分C為正向圓周:解
除被積函數點外,其他奇點為由于與1在C的內部,則所以73解為奇點,當時為一級極點,7475解例14
計算原式
第五章留數理論及應用第3節留數定理的應用留數定理的應用--積分的計算:
在數學分析中,以及許多實際問題中,往往要求計算出一些定積分或反常積分的值,而這些積分中的被積函數的原函數,不能用初等函數表示出來;例如或者有時可以求出原函數,但計算也往往非常復雜,例如例1、
計算積分其中常數a>1。而且當t從0增加到解:令,那么時,z按逆時針方向繞圓C:|z|=1一周。因此于是應用留數定理,只需計算在|z|<1內極點處的留數,就可求出I。上面的被積函數有兩個極點:顯然因此被積函數在|z|<1內只有一個極點z1,而它在這點的留數是:于是求得注解1、應用同樣得方法,我們可以計算一般形如的積分,其中R(x,y)是有理分式,并且在圓C:|z|=1上,分母不等于零。
83若有理函數R(x)的分母至少比分子高兩次,并且分母在實軸上無孤立奇點.一般設分析可先討論最后令即可.二、形如的積分842.
積分區域的轉化:取一條連接區間兩端的按段光滑曲線,使與區間一起構成一條封閉曲線,并使R(z)在其內部除有限孤立奇點外處處解析.1.
被積函數的轉化:(當z在實軸上的區間內變動時,R(z)=R(x))可取
f(z)=R(z).85xy..這里可補線(以原點為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周)與一起構成封閉曲線C,R(z)在C及其內部(除去有限孤立奇點)處處解析.取R適當大,使R(z)所有的在
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