山西省忻州市原平段家堡鄉牛食堯村中學高二數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么異面直線AM與CN所成角的余弦值是（*****）

A．

B．

C．

D．參考答案：B2.不等式的解集是A

B

C

D參考答案：D3.下列命題是真命題的是A.若，則

B.若，則C.若，則 D.若，則參考答案：D略4.等比數列中,若公比,且前3項之和等于21,則該數列的通項公式為(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：A5.正方體ABCD—A1B1C1D1中直線與平面夾角的余弦值是（）A．

B．

C．

D．參考答案：C則，平面的一個法向量為,設直線與平面夾角為，則=,所以．6.設f（x）=x﹣sinx，則f（x）（）A．既是奇函數又是減函數 B．既是奇函數又是增函數C．是有零點的減函數 D．是沒有零點的奇函數參考答案：B【考點】6A：函數的單調性與導數的關系；H3：正弦函數的奇偶性；H5：正弦函數的單調性．【分析】利用函數的奇偶性的定義判斷f（x）為奇函數，再利用導數研究函數的單調性，從而得出結論．【解答】解：由于f（x）=x﹣sinx的定義域為R，且滿足f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x），可得f（x）為奇函數．再根據f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）為增函數，故選：B．【點評】本題主要考查函數的奇偶性的判斷方法，利用導數研究函數的單調性，屬于基礎題．7.從寫上0,1,2,…,9十張卡片中，有放回地每次抽一張，連抽兩次，則兩張卡片數字各不相同的概率是

(

)A.

B.

C.

D.1參考答案：A8.中心在坐標原點，離心率為的雙曲線的焦點在軸上，則它的漸近線方程是

（

）A、

B、 C、

D、參考答案：D9.設等差數列的前項和為，若，，則（）A．63

B．45

C．36

D．27參考答案：B10.某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個.命中個數的莖葉圖如下圖，則下面結論中錯誤的一個是（

）A.甲的極差是29 B.甲的中位數是24C.甲罰球命中率比乙高 D.乙的眾數是21參考答案：B【分析】通過莖葉圖找出甲的最大值及最小值求出極差判斷出A對；找出甲中間的兩個數，求出這兩個數的平均數即數據的中位數，判斷出D錯；根據圖的數據分布，判斷出甲的平均值比乙的平均值大，判斷出C對．【詳解】由莖葉圖知甲的最大值為37，最小值為8，所以甲的極差為29，故A對甲中間的兩個數為22，24，所以甲的中位數為故B不對甲的命中個數集中在20而乙的命中個數集中在10和20，所以甲的平均數大，故C對乙的數據中出現次數最多的是21，所以D對故選：B．【點睛】莖葉圖的優點是保留了原始數據，便于記錄及表示，能反映數據在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數據求出數據的數字特征，進一步估計總體情況．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在空間直角坐標系O﹣xyz中，已知O（0，0，0），A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），點Q在直線OP上運動，當?取最小值時，點Q的坐標是．參考答案：（，，）【考點】空間向量運算的坐標表示．【分析】根據題意，設出點Q的坐標，求出?的表達式，計算?取最小值時點Q的坐標．【解答】解：根據題意，點Q在直線OP上運動，=（1，1，2）；設Q（t，t，2t），∵?=（t﹣1，t﹣2，2t﹣3）?（t﹣2，t﹣1，2t﹣2）=（t﹣1）（t﹣2）+（t﹣2）（t﹣1）+（2t﹣3）（2t﹣2）=6t2﹣16t+10，∴當t==時，?取得最小值．此時點Q的坐標是（，，）．故答案為：（，，）．12.現有一個關于平面圖形的命題：如圖所示，同一個平面內有兩個邊長都是的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為；類比到空間，有兩個棱長均為的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________．參考答案：13.若向量，，則

.參考答案：略14.在的展開式中，只有第項的二項式系數最大，則展開式中常數項是。參考答案：1515.在△ABC中，150°，則b＝

參考答案：1416.在等差數列中，若，則該數列的前2009項的和是

.參考答案：2009

略17.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線A1B和平面ABCD所成角是_____________參考答案：45°三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.一個盒子中裝有5張卡片，每張卡片上寫有一個數字，數字分別是1、2、3、4、5，現從盒子中隨機抽取卡片．（Ⅰ）若從盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一張，求恰有兩次取到的卡片上數字為偶數的概率；（Ⅱ）若從盒子中依次抽取卡片，每次抽取一張，取出的卡片不放回，當取到一張記有偶數的卡片即停止抽取，否則繼續抽取卡片，求抽取次數X的分布列和期望．參考答案：考點：等可能事件的概率；離散型隨機變量及其分布列．專題：計算題．分析：（1）有放回地抽取3次卡片，每次抽取一張，恰有兩次取到的卡片上數字為偶數，這個實驗每次取到的卡片上數字為偶數的概率為，所以這是一個獨立重復試驗，根據獨立重復試驗的公式得到要求的概率．（2）從盒子中依次抽取卡片，每次抽取一張，取出的卡片不放回，當取到一張記有偶數的卡片即停止抽取，由題意知抽取的次數可能的取值是1、2、3、4，當X=1時，根據古典概型公式做出概率．解答： 解：（Ⅰ）由題意知本題是獨立重復試驗，設A表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一張，恰有兩次取到的卡片上數字為偶數”，由已知，每次取到的卡片上數字為偶數的概率為，則．（Ⅱ）依題意，X的可能取值為1，2，3，4．，，，，所以X的分布列．點評：求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科2015屆高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．19.已知函數f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的單調區間；（Ⅲ）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】（Ⅰ）對函數求導，令f′（1）=0，即可解出a值．（Ⅱ）f′（x）＞0，對a的取值范圍進行討論，分類解出單調區間．a≥2時，在區間（0，+∞）上是增函數，（Ⅲ）由（2）的結論根據單調性確定出最小值，當a≥2時，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1，恒成立；當0＜a＜2時，判斷知最小值小于1，此時a無解．當0＜a＜2時，（x）的單調減區間為，單調增區間為【解答】解：（Ⅰ），∵f′（x）在x=1處取得極值，f′（1）=0

即a+a﹣2=0，解得

a=1（Ⅱ），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0①當a≥2時，在區間（0，+∞）上f′（x）＞0．∴f（x）的單調增區間為（0，+∞）②當0＜a＜2時，由f′（x）＞0解得由∴f（x）的單調減區間為，單調增區間為（Ⅲ）當a≥2時，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1當0＜a＜2時，由（II）②知，處取得最小值，綜上可知，若f（x）的最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）20.某地區為貫徹習近平總書記關于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農戶利用荒坡種植果樹.某農戶考察三種不同的果樹苗A、B、C，經引種試驗后發現，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B、C的自然成活率均為.（1）任取樹苗A、B、C各一棵，估計自然成活的棵數為X，求X的分布列及；（2）將（1）中的取得最大值時p的值作為B種樹苗自然成活的概率.該農戶決定引種n棵B種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經過人工栽培技術處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.①求一棵B種樹苗最終成活的概率；②若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種B種樹苗多少棵？參考答案：（1）詳見解析；（2）①0.96；②700棵.【分析】（1）依題意，得到的所有可能值為，求得相應的概率，得出隨機變量的分布列，利用公式求得數學期望；（2）由（1）可知當時，取得最大值，①利用概率的加法公式，即可求得一棵樹苗最終成活的概率；②記為棵樹苗的成活棵數，為棵樹苗的利潤，求得，要使，即可求解.【詳解】（1）依題意，的所有可能值為0，1，2，3.則；，即，，；的分布列為：0123

所以.（2）當時，取得最大值.①一棵樹苗最終成活的概率為.②記為棵樹苗成活棵數，為棵樹苗的利潤，則，，，，要使，則有.所以該農戶至少種植700棵樹苗，就可獲利不低于20萬元.【點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列及數學期望的求解，以及期望的實際應用問題，對于求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可能取值，計算得出概率，列出離散型隨機變量概率分布列，最后按照數學期望公式計算出數學期望，其中列出離散型隨機變量概率分布列及計算數學期望是理科高考數學必考問題.21.已知a＞0，b＞0，且a+b=2．（1）求+的最小值及其取得最小值時a，b的值；（2）求證：a2+b2≥2．參考答案：考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：（1）利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．（2）利用2（a2+b2）≥（a+b）2即可得出．解答： 解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．∴+===5++≥=9，當且僅當，b=時等號成立．∴+的最