山西省大同市破魯堡鄉中學2021-2022學年高一數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量，且∥，則x的值是（

）A、-6

B、6

C、

D、參考答案：B2.若平面向量，，且，則（

）A.

2或10

B.2或

C.2或

D.或10參考答案：A由，所以，解得x=-1或x=3,當x=-1時，當x=3時，，選A.

3.的定義域為（

）A.B.

C.

D.參考答案：C4.三個數之間的大小關系是

A．.

B．

C．

D．參考答案：D5.以下四個命題中正確的是

（

）

①若，則

②若，則

③若，則

④若，則

A.②④

B.②③

C.①②

D.①③參考答案：B略6.函數的圖象是

（

）

參考答案：A略7.函數的圖象關于對稱，則的單調增區間()

A．

B．

C．

D．參考答案：A8.設，則的值為（

）

A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：C略9.已知函數，則（）A．是奇函數，且在R上是增函數

B．是偶函數，且在R上是增函數C．是奇函數，且在R上是減函數

D．是偶函數，且在R上是減函數參考答案：A10.已知，，則等于（

）A. B. C. D.參考答案：D試題分析：∵，，∴，∴，∴．考點：平方關系、倍角關系．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線與平行，則實數的值______參考答案：或12.（6分）點A（a，6）到直線3x﹣4y=2的距離等于4，a=

．參考答案：2或考點： 點到直線的距離公式．專題： 直線與圓．分析： 利用點到直線的距離公式即可得出．解答： ∵=4，化為|3a﹣26|=20，解得a=2或，故答案為：2或點評： 本題考查了點到直線的距離公式，屬于基礎題．13.若||＝1，||＝2，＝＋，且⊥，則與的夾角為

參考答案：（或）14.在1，2，3，4共４個數字中，可重復選取兩個數，其中一個數是另一個數的２倍的概率是．參考答案：15.若三角形中有一個角為60°，夾這個角的兩邊的邊長分別是8和5，則它的外接圓半徑等于________．參考答案：16.是第二象限角，為其終邊上一點，且，則的值為

.參考答案：由題意得，∵是第二象限角，∴，∴，解得．∴．答案：

17.已知函數，將函數y＝f(x)的圖象向左平移π個單位長度后，所得圖象與原函數圖象重合，則ω的最小值是

．參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產產品x（百臺），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為2.8萬元，并且每生產1百臺的生產成本為1萬元（總成本=固定成本+生產成本）．銷售收入R（x）（萬元）滿足，假定該產品產銷平衡（即生產的產品都能賣掉），根據上述統計規律，請完成下列問題：（1）寫出利潤函數y=f（x）的解析式（利潤=銷售收入﹣總成本）；（2）工廠生產多少臺產品時，可使盈利最多？參考答案：【考點】根據實際問題選擇函數類型；分段函數的應用．【專題】綜合題．【分析】（1）由題意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R（x）﹣G（x），能寫出利潤函數y=f（x）的解析式．（2）當x＞5時，由函數f（x）遞減，知f（x）＜f（5）=3.2（萬元）．當0≤x≤5時，函數f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，當x=4時，f（x）有最大值為3.6（萬元）．由此能求出工廠生產多少臺產品時，可使盈利最多．【解答】解：（1）由題意得G（x）=2.8+x．…∵，∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（2）當x＞5時，∵函數f（x）遞減，∴f（x）＜f（5）=3.2（萬元）．…當0≤x≤5時，函數f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，當x=4時，f（x）有最大值為3.6（萬元）．…（14分）所以當工廠生產4百臺時，可使贏利最大為3.6萬元．…【點評】本題考查函數知識在生產實際中的具體應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．19.設數列的前n項和為，且，①求數列的通項公式；②令，為數列的前n項和，求。③是否存在自然數m，使得對一切恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由。參考答案：略20.（本小題12分）△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若且.（1）求角的值；（2）求的值.

參考答案：解：（1）A=.…………6分

(2)=…………12分21.已知函數f（x）=loga（2x+1），g（x）=loga（1﹣2x）（a＞0且a≠1）（1）求函數F（x）=f（x）﹣g（x）的定義域；（2）判斷F（x）=f（x）﹣g（x）的奇偶性，并說明理由；（3）確定x為何值時，有f（x）﹣g（x）＞0．參考答案：【考點】7J：指、對數不等式的解法；3K：函數奇偶性的判斷；4K：對數函數的定義域．【分析】（1）利用對數函數的性質求函數的定義域．（2）利用函數奇偶性的定義去判斷．（3）若f（x）＞g（x），可以得到一個對數不等式，然后分類討論底數取值，即可得到不等式的解．【解答】解：（1）要使函數有意義，則有．（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=loga（2x+1）﹣loga（1﹣2x），F（﹣x）=f（﹣x）﹣g（﹣x）=loga（﹣2x+1）﹣loga（1+2x）=﹣F（x）．∴F（x）為奇函數．（3）∵f（x）﹣g（x）＞0∴loga（2x+1）﹣loga（1﹣2x）＞0即loga（2x+1）＞loga（1﹣2x）．①0＜a＜1，．②a＞1，．22.（12分）已知定義在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）函數滿足：①f（4）=1；②對任意x＞2均有f（x）＞0；③對任意x＞1，y＞1，均有f（x）+f（y）=f（xy﹣x﹣y+2）．（Ⅰ）求f（2）的值；（Ⅱ）證明：f（x）在（1，+∞）上為增函數；（Ⅲ）是否存在實數k，使得f（sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k）＜2對任意的θ∈恒成立？若存在，求出k的范圍；若不存在說明理由．參考答案：考點： 函數恒成立問題；抽象函數及其應用．專題： 函數的性質及應用；三角函數的圖像與性質．分析： （Ⅰ）將條件③變形得到f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）對任意m，n＞0均成立，其中m=x﹣1，n=y﹣1，令m=n=1，即可解得f（2）=0；（Ⅱ）由（Ⅰ），將f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）變形得f（mn+1）﹣f（n+1）=f（m+1），則要證明f（x）在（1，+∞）上為增函數，只需m＞1即可．顯然當m＞1即m+1＞2時f（m+1）＞0；（Ⅲ）利用條件①②將問題轉化為是否存在實數k使得sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜或1＜sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜10對任意的θ∈恒成立．再令t=sinθ+cosθ，，則問題等價于t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜或1＜t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜10對恒成立．分情況討論，利用二次函數的性質即可解題．解答： （Ⅰ）由條件③可知f（x）+f（y）=f（xy﹣x﹣y+2）=f=f，令m=x﹣1，n=y﹣1，則由x＞1，y＞1知m，n＞0，并且f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）對任意m，n＞0均成立．令m=n=1，即有f（2）+f（2）=f（2），故得f（2）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ），將f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）變形得：f（mn+1）﹣f（n+1）=f（m+1），要證明f（x）在（1，+∞）上為增函數，只需m＞1即可．設x2=mn+1，x1=n+1，其中m，n＞0，m＞1，則x2﹣x1=n（m﹣1）＞0，故x2＞x1，則f（x2）﹣f（x1）=f（mn+1）﹣f（n+1）=f（m+1），m＞1，m+1＞2，所以f（m+1）＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x2）＞f（x1），即f（x）在（1，+∞）上為增函數；（Ⅲ）∵由f（m+1）+f（n+1）=f（mn+1）對任意m，n＞0均成立，及f（4）=1∴令m=n=3，有f（4）+f（4）=f（10），即f（10）=2．令m=9，n=，則f（9+1）+f（+1）=f（9×+1）=f（2），故f（）=f（2）﹣f（10）=﹣2，由奇偶性得f（﹣）=﹣2，則f（x）＜2的解集是．于是問題等價于是否存在實數k使得sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜或1＜sin2θ﹣（k﹣4）（sinθ+cosθ）+k＜10對任意的θ∈恒成立．令t=sinθ+cosθ，，問題等價于t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜或1＜t2﹣（k﹣4）t+k﹣1＜10對恒成立．令g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1，則g（t）對恒成立的必要條件是，即解得，此時無解；同理1＜g（t）＜10恒成立的必要條件是，即解得，即；當時，g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1的對稱軸．下面分兩種情況討論：（1）當時，對稱軸在區間的右側，此時g（t）=t2﹣（k﹣4）t+k﹣1在區間上單調遞減，1＜g