山西省大同市柴油機廠子弟學校2023年高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.定義在上的可導函數滿足：且，則的解集為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C2.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，則a的值為A．

B．

C．4

D．10參考答案：C3.在5道題中有3道理科題和2道文科題.不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.已知命題p：?x∈R，lnx+x﹣2=0，命題q：?x∈R，2x≥x2，則下列命題中為真命題的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q參考答案：C【考點】復合命題的真假．【分析】先判定命題p是真命題，得￢p是假命題；再判定命題q是假命題，得￢q是真命題；從而判定各選項是否正確．【解答】解：對于命題p：∵y=lnx與y=2﹣x在坐標系中有交點，如圖所示；即?x0∈R，使lnx0=2﹣x0，∴命題p正確，￢p是假命題；對于命題q：當x=3時，23＜32，∴命題q錯誤，￢q是真命題；∴p∧q是假命題，￢p∧q是假命題；p∧￢q是真命題，￢p∧￢q是假命題；綜上，為真命題的是C．故選：C．5.設等差數列的前項和為，若，，則（

）A．63

B．45

C．36

D．27參考答案：B6.某國企進行節能降耗技術改造，如表是該國企節能降耗技術改造后連續五年的生產利潤：年號x12345年生產利潤y（單位：千萬元）0.70.811.11.4預測第8年該國企的生產利潤約為（

）千萬元（參考公式及數據：,）A.1.88 B.2.21 C.1.85 D.2.34參考答案：C【分析】由所給數據求出，再求出線性回歸方程，即可預測第8年該國企的生產利潤。【詳解】由所給數據可得，，，所以線性回歸方程為當時，故選C.【點睛】本題考查線性回歸方程等知識，屬于簡單題。7.圓C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1與圓C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置關系是（）A．外離 B．相交 C．內切 D．外切參考答案：D【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題．【分析】先根據圓的標準方程得到分別得到兩圓的圓心坐標及兩圓的半徑，然后利用圓心之間的距離d與兩個半徑相加、相減比較大小即可得出圓與圓的位置關系．【解答】解：由圓C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1與圓C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16得：圓C1：圓心坐標為（﹣2，2），半徑r=1；圓C2：圓心坐標為（2，5），半徑R=4．兩個圓心之間的距離d==5，而d=R+r，所以兩圓的位置關系是外切．故選D【點評】考查學生會根據d與R+r及R﹣r的關系判斷兩個圓的位置關系，會利用兩點間的距離公式進行求值．8.已知函數的定義域為，值域為，則在平面直角坐標系內，點的運動軌跡與兩坐標軸圍成的圖形的面積為

（

）

A． B．

C．

D．參考答案：C略9.已知點到和到的距離相等，則的最小值為A.

B.

C.

D.參考答案：D10.若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值(▲)A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知方程，有且僅有四個解，，，，則______．參考答案：由圖可知,且時,與只有一個交點,令,則由,再由,不難得到當時與只有一個交點,即,因此點睛：(1)運用函數圖象解決問題時，先要正確理解和把握函數圖象本身的含義及其表示的內容，熟悉圖象所能夠表達的函數的性質.(2)在研究函數性質特別是單調性、最值、零點時，要注意用好其與圖象的關系，結合圖象研究.12.設直線是曲線的一條切線，則實數．參考答案：ln2-113.兩個不重合的平面可以把空間分成________部分.參考答案：3或414.已知函數f（x）=sin（2x﹣），那么f′（）的值是_________．參考答案：略15.一物體的運動方程是，則該物體在時的速度為參考答案：略16.設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（M?D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），則稱f（x）為M上的t高調函數．如果定義域為R的函數f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）為R上的4高調函數，那么實數a的取值范圍是．參考答案：﹣1≤a≤1【考點】函數單調性的性質．【分析】根據分段函數的意義，對f（x）的解析式分段討論，可得其分段的解析式，結合其奇偶性，可得其函數的圖象；進而根據題意中高調函數的定義，可得若f（x）為R上的4高調函數，則對任意x，有f（x+4）≥f（x），結合圖象分析可得4≥4a2；解可得答案．【解答】解：根據題意，當x≥0時，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，則當x≥a2時，f（x）=x﹣2a2，0≤x≤a2時，f（x）=﹣x，由奇函數對稱性，有則當x≤﹣a2時，f（x）=x+2a2，﹣a2≤x≤0時，f（x）=﹣x，圖象如圖：易得其圖象與x軸交點為M（﹣2a2，0），N（2a2，0）因此f（x）在[﹣a2，a2]是減函數，其余區間是增函數．f（x）為R上的4高調函數，則對任意x，有f（x+4）≥f（x），故當﹣2a2≤x≤0時，f（x）≥0，為保證f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a2；有﹣2a2≤x≤0且x+4≥2a2可得4≥4a2；解可得：﹣1≤a≤1；故答案為﹣1≤a≤1．17.已知向量與互相垂直，則x=________．參考答案：1【分析】兩向量垂直，其數量積的等于0.【詳解】【點睛】本題考查兩向量垂直的數量積表示，屬于基礎題。

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分） 已知函數．（1）當時，求函數的單調區間；（2）若函數在處取得極值，對,恒成立，求實數的取值范圍；（3）當時，求證：．參考答案：（1）得0<x<,得x>∴在上遞減，在上遞增.（2）∵函數在處取得極值，∴，

∴，

令，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．（3）證明：，令，則只要證明在上單調遞增，又∵，顯然函數在上單調遞增．∴，即，∴在上單調遞增，即，∴當時，有．19.某高校共有學生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據（單位：小時）．（1）應收集多少位女生的樣本數據？（2）根據這300個樣本數據，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據的分組區間為：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]①估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率P；②假設該校每個學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率都為P，試求從中任選三人至少有一人每周平均體育運動時間超過4小時的概率（3）在樣本數據中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：K2=．

男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225總計21090300參考答案：【考點】獨立性檢驗．【分析】（1）根據分層抽樣原理計算應收集的女生數；（2）①由頻率分布直方圖計算對應的頻率值即可；②根據n次對立重復實驗的概率模型計算概率值；（3）計算對應的數值，填寫列聯表，計算觀測值K2，即可得出結論．【解答】解：（1）300×=90，所以應收集90位女生的樣本數據；（2）①由頻率分布直方圖得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75；②假設該校每個學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率都為0.75，從中任選三人至少有一人每周平均體育運動時間超過4小時的概率為P=1﹣0.754=；（3）由（2）知，300位學生中有300×0.75=225人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時，又因為樣本數據中有210份是關于男生的，90份是關于女生的，所以每周平均體育運動時間與性別列聯表如下：每周平均體育運動時間與性別列聯表

男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225總計21090300結合列聯表可算得K2==≈4.762＞3.841，所以有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．20.（12分）設分別是橢圓C：的左、右焦點.

（1）設橢圓C上的點到兩點距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；(2)設是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點B的軌跡方程。參考答案：（1）由于點（在橢圓上，所以，2a=4,

解得a=2,

b=.所以橢圓C的方程為

焦點坐標分別為（—1，0），（1，0）………6分（2）設的中點為B(x，y),則點(2x+1,2y)在橢圓上。把點坐標代入橢圓中得故線段的中點B的軌跡方程為………………12分略21.已知，:,:．（I）若是的充分條件，求實數的取值范圍；（Ⅱ）若，“或”為真命題，“且”為假命題，求實數的取值范圍參考答案：（I）是的充分條件是的子集的取值范圍是

………5分（Ⅱ）當時，，由題意可知一真一假，……………6分真假時，由………7分假真時，由………9分所以實數的取值范圍是………10分22.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經過點P（1，），且兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形．（1）求橢圓的方程．（2）過定點（0，-）的動直線l，交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T．若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：(1)；(2)答案見解析.試題分析：（）由題可知，則，橢圓經過點，帶入可得，由此可知所求橢圓方程為；(2)分別求出與軸平行時和與軸垂直時得圓得方程，聯立可求得兩圓得切點，進而推斷所求的點如果存在只能是，當直線與軸垂直時，以為直徑的圓過點，當直線不垂直于軸時設直線的方程為，與橢圓的方程聯立求得，證明出,即以為直徑得圓恒過點.試題解析：（1）∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，∴，∴，又∵橢圓經過點，代入可得，∴，故所求橢圓方程為．（2）當與軸平行時，以為直徑的圓的方程：，當與軸垂直時，以為直徑的