山西省大同市天鎮縣逯家灣鎮逯家灣中學2022-2023學年高三數學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在長為12cm的線段AB上任取一點C，現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC,CB的長，則該矩形面積大于20cm的概率為.

(

)

A.

B.

C.

D.

參考答案：B略2.若實數x,y滿足，則的最小值是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C3.已知實數x、y，滿足條件，則2x-y的最大值是A．2 B．5 C．6 D．8參考答案：C4.已知集合，A∩B=（

）A．

B．(－1,2)

C.(2,3)

D．(2,4)參考答案：C求解二次不等式可得：，結合交集的定義可得：.表示為集合的形式即.本題選擇C選項.

5.雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，離心率為，則的最小值為（

）A

B

C

D

參考答案：C略6.正方體中為棱的中點（如圖1），用過點的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為參考答案：C7.已知0<a<b<l．則

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D8.從（其中）所表示的圓錐曲線（橢圓、雙曲線）方程中任取一個，則此方程是焦點在x軸上的雙曲線方程的概率為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.將標號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標號為1，2的卡片各放入一信封，則不同的方法共有A．72種

B．18種

C．36種

D．54種參考答案：A略10.若函數的反函數圖象過點（1，5），則函數的圖象必過點（

）.A．（1，1）

B．（1，5）

C．（5，1）

D．（5，5）參考答案：答案：C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x≥0，y≥0，且x+y=1，則的最小值為．參考答案：3考點：基本不等式．專題：導數的綜合應用．分析：由已知x≥0，y≥0，且x+y=1，可得0≤x≤1，y=1﹣x．代入可得==f（x），再利用導數研究其單調性即可得出．解答：解：∵x≥0，y≥0，且x+y=1，∴0≤x≤1，y=1﹣x．∴==f（x），∴f′（x）==≥0，∴函數f（x）在[0，1]上單調遞增．∴當x=0時，f（x）取得極小值即最小值3．故答案為：3．點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，屬于基礎題．12.（坐標系與參數方程選做題）以直角坐標系的坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系（），曲線的極坐標方程是，正六邊形的頂點都在上，且、、、、、依逆時針次序排列。若點的極坐標為，則點的直角坐標為

．參考答案：略13.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，O為極點，直線過圓C：的圓心C，且與直線OC垂直，則直線的極坐標方程為

．參考答案：（或）略14.已知實數x，y滿足條件則z=x2+（y+1）2的最小值為

．參考答案：5【考點】7C：簡單線性規劃．【分析】先根據條件畫出可行域，z=x2+（y+1）2，再利用幾何意義求最值，只需求出可行域內的點到點B（0，﹣1）距離的最值，從而得到z最值即可．【解答】解：先根據實數x，y滿足條件畫出可行域，z=x2+（y+1）2，表示可行域內點B到A（0，﹣1）距離的平方，當z是點A到直線2x+y﹣4=0的距離的平方時，z最小，最小值為d2==5，給答案為：5．15.設f（x）=，則f[f（﹣8）]=

．參考答案：-2【考點】函數的值．【分析】先求出f（﹣8）=﹣（﹣8）=2，從而f[f（﹣8）]=f（2），由此能求出結果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣8）=﹣（﹣8）=2，f[f（﹣8）]=f（2）=2+=﹣2．故答案為：﹣2．16.若△ABC的三條邊a，b，c所對應的角分別為A，B，C，且面積S△ABC=（b2+c2﹣a2），則角A=．參考答案：【考點】余弦定理．【專題】解三角形．【分析】根據余弦定理得b2+c2﹣a2=2bccosA，根據三角形的面積公式S=bcsinA和題意求出tanA，根據A的范圍和特殊角的三角函數值求出A的值．【解答】解：由余弦定理得，b2+c2﹣a2=2bccosA，因為S△ABC=（b2+c2﹣a2），所以bcsinA=×2bccosA，則sinA=cosA，即tanA=1，又0＜A＜π，則A=，故答案為：．【點評】本題考查余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，注意內角的范圍．17.在△ABC中，記BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，則

=__________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知x為實數，用表示不超過x的最大整數，例如=1，=2，=1．對于函數f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（），則稱函數f（x）是Ω函數．（Ⅰ）判斷函數f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函數；（只需寫出結論）（Ⅱ）已知f（x）=x+，請寫出a的一個值，使得f（x）為Ω函數，并給出證明；（Ⅲ）設函數f（x）是定義在R上的周期函數，其最小周期為T．若f（x）不是Ω函數，求T的最小值．參考答案：【考點】函數的周期性；抽象函數及其應用．【專題】新定義；轉化思想；歸納法；函數的性質及應用．【分析】（Ⅰ）根據Ω函數的定義直接判斷函數f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函數；（Ⅱ）根據Ω函數的定義，分別求k=1，a=，進行證明即可；（Ⅲ）根據周期函數的定義，結合Ω函數的條件，進行判斷和證明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函數，g（x）=sinπx不是Ω函數；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）法一：取k=1，a=∈（1，2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣則令=1，m==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此時f（）=f（）=f（1）所以f（x）是Ω函數．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣法二：取k=1，a=∈（0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣則令=﹣1，m=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此時f（﹣）=f（）=f（﹣1），所以f（x）是Ω函數．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（說明：這里實際上有兩種方案：方案一：設k∈N?，取a∈（k2，k2+k），令=k，m=，則一定有m﹣=﹣k=∈（0，1），且f（m）=f（），所以f（x）是Ω函數．）方案二：設k∈N?，取a∈（k2﹣k，k2），令=﹣k，m=﹣，則一定有m﹣=﹣﹣（﹣k）=﹣∈（0，1），且f（x）=f（），所以f（x）是Ω函數．）（Ⅲ）T的最小值為1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因為f（x）是以T為最小正周期的周期函數，所以f（T）=f（0）．假設T＜1，則=0，所以f（）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以必有T≥1，而函數l（x）=x﹣的周期為1，且顯然不是Ω函數，綜上，T的最小值為1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【點評】本題主要考查與周期函數有關的新定義試題，考查學生的運算和推理能力，綜合性較強，有一定的難度．19.（本小題滿分12分）在三棱柱中，側面為矩形，，D為的中點，BD與交于點O，側面．(I)證明：；(Ⅱ)若，求直線與平面ABC所成角的正弦值．

參考答案：(1)證明：由題意,

注意到,所以,

所以,

所以,

……3分又側面，又與交于點，所以,又因為,所以.……………6分(2)如圖，分別以所在的直線為軸，以為原點，建立空間直角坐標系則，，，，，又因為，所以

…………8分所以，，設平面的法向量為，則根據可得是平面的一個法向量,設直線與平面所成角為，則………………12分20.（本題滿分14分）如圖，已知、分別為橢圓的上、下焦點，其中也是拋物線的焦點，點M是與在第二象限的交點，且（I）求橢圓的方程；（II）已知點和圓，過點P的動直線與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足：，（且），求證：點Q總在某條定直線上。參考答案：（1）解法一：令M為，因為M在拋物線上，故，①又，則

②由①②解得，

ks5u橢圓的兩個焦點為，，點M在橢圓上，由橢圓定義，得，又，橢圓的方程為解法二：同上求得M，而點M在橢圓上，故有，即又，即，解得橢圓的方程為（2）證明：設，，由，可得⑥

⑤

即

由，可得⑧

⑦

即⑤×⑦得，

⑥×⑧得兩式相加，得又點A，B在圓上，，且即，故點Q總在直線上方法二：由，可得，所以由，可得，所以所以，所以（*）當斜率不存在時，由特殊情況得到當斜率存在時，設直線為代入（*）得，而，消去，得而滿足方程，所以Q在直線上21.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥側面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求證：AB⊥BC；（2）若直線AC與平面A1BC所成的角為，求銳二面角A﹣A1C﹣B的大小．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（1）取A1B的中點D，連接AD，由已知條件推導出AD⊥平面A1BC，從而AD⊥BC，由線面垂直得AA1⊥BC．由此能證明AB⊥BC．（2）連接CD，由已知條件得∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．【解答】（本小題滿分14分）（1）證明：如右圖，取A1B的中點D，連接AD，…因AA1=AB，則AD⊥A1B…由平面A1BC⊥側面A1ABB1，且平面A1BC∩側面A1ABB1=A1B，…得AD⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，所以AD⊥BC．…因為三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，則AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，從而BC⊥側面A1ABB1，又AB?側面A1ABB1，故AB⊥BC．…（2）解：連接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，則CD是AC在平面A1BC內的射影∴∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，則…在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且點D是A1B中點∴，且，∴…過點A作AE⊥A1C于點E，連DE由（1）知AD⊥平面A1BC，則AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個平面角，…且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B為銳二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小為．…22.某服裝廠生產一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出場單價就降低0.02元，根據市場調查，銷售商一次訂購量不會超過600件．(1)設一次訂購x件，服裝的實際出廠單價為p元，寫出函數p＝f(x)的表達式；(2)當銷售商一次訂購多少件服裝時，該廠獲得的利潤最大？其最大利潤是多少？參考答案：(1)當0＜x≤100時，p＝60；當100＜x≤600時，p