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常系數非齊次線性微分方程第八節一、二、二階常系數線性非齊次微分方程:根據解的結構定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數.①—待定系數法一、

為實數,設特解為其中為待定多項式,代入原方程,得為m次多項式.(1)若

不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為Q(x)為m次待定系數多項式(2)若是特征方程的單根,為m次多項式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根

,是m次多項式,故特解形式為小結對方程①,此結論可推廣到高階常系數線性微分方程.即即當是特征方程的k重根時,可設特解代入方程即可確定系數：從而確定特解.特解的形式為將

提示因為f(x)Pm(x)ex3x1

0不是特征方程的根

所以非齊次方程的特解應設為

y*b0xb1

把它代入所給方程得

例1求微分方程y2y3y3x1的一個特解

解

齊次方程y2y3y0的特征方程為r22r30

[b0xb1]2[b0xb1]3[b0xb1]3b0x2b03b1

2b03b0x3b13b0x2b03b13x1

提示3b03

2b03b11

例2求微分方程y5y6yxe2x的通解

解

齊次方程y5y6y0的特征方程為r25r

60

其根為r12

r23

提示齊次方程y5y6y0的通解為YC1e2xC2e3x

因為f(x)Pm(x)exxe2x

2是特征方程的單根

所以非齊次方程的特解應設為

y*x(b0xb1)e2x

把它代入所給方程得2b0x2b0b1x

提示2b01

2b0b10因此所給方程的通解為二、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點第一步利用歐拉公式將f(x)變形第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的k

重根(

k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設則②有特解:第三步求原方程的特解

利用第二步的結果,根據疊加原理,原方程有特解:原方程

均為m次多項式.第四步分析因均為m次實多項式.本質上為實函數,小結:對非齊次方程則可設特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結論也可推廣到高階方程的情形.例4.的一個特解

.解:本題特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數,得于是求得一個特解例5.的通解.

解:特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數,得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設非齊次方程特解為內容小結為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設特解為3.上述結論也可推廣到高階方程的情形.思考與練習時可設特解為時可設特解為提示:1.(填空)

設2.求微分方程的通解(其中為實數).解:特征方程特征根:對應齊次方程通解:

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