學案6向心加速度[學習目標定位]1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和線速度、角速度的關系式.3.能夠運用向心加速度公式求解有關問題．一、對圓周運動的認識1．圓周運動的速度方向不斷變化，一定是變速運動，必定有加速度．2．實例分析(1)地球受太陽的引力方向指向地球軌跡圓的圓心；地球加速度的方向也指向圓心．(2)光滑桌面上的小球由于細線的牽引繞桌面上的圖釘做勻速圓周運動，小球受重力、支持力、拉力的作用，合力指向圓心，加速度的方向指向圓心．二、向心加速度1．定義：任何做勻速圓周運動的物體的加速度都指向圓心，這個加速度叫做向心加速度．2．大小：an＝eq\f(v2,r)＝ω2r.3．方向：總是沿著圓周運動的半徑指向圓心.一、向心加速度的方向[問題設計]如圖1甲所示，表示地球繞太陽做勻速圓周運動(近似的)；如圖乙所示，表示光滑桌面上一個小球由于細線的牽引，繞桌面上的圖釘做勻速圓周運動．分析地球和小球的運動，并回答以下問題：甲乙圖1(1)在勻速圓周運動過程中，地球、小球的運動狀態發生變化嗎？若變化，變化的原因是什么？(2)分析地球受到什么力的作用？這個力沿什么方向？小球受到幾個力的作用，合力沿什么方向？(3)根據牛頓第二定律，分析地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運動是一種什么性質的運動呢？答案(1)地球和小球的速度方向不斷發生變化，所以運動狀態發生變化．運動狀態發生變化的原因是因為受到力的作用．(2)地球受到太陽的引力作用，方向沿半徑指向圓心．小球受到重力、支持力、繩的拉力作用，合力等于繩的拉力，方向沿半徑指向圓心．(3)物體的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是沿半徑指向圓心．加速度的方向時刻指向圓心，所以方向不斷變化．勻速圓周運動是一種變加速曲線運動．[要點提煉]1．向心加速度的方向：總指向圓心，方向時刻改變．2．向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度的作用只改變速度的方向，對速度的大小無影響．3．圓周運動的性質：不論向心加速度an的大小是否變化，其方向時刻改變，所以圓周運動的加速度時刻發生變化，圓周運動是變加速曲線運動．二、向心加速度的大小[問題設計]1．閱讀教材“做一做：探究向心加速度大小的表達式”，了解向心加速度的推導過程．答案物體從A點經時間Δt沿圓周勻速率運動到B點，轉過的角度為Δθ，如圖所示，因為vA與OA垂直，vB與OB垂直，且vA＝vB，OA＝OB，所以△OAB與vA、vB、Δv組成的矢量三角形相似．用v表示vA和vB的大小，用Δl表示弦AB的長度，則有eq\f(Δv,v)＝eq\f(Δl,r)或Δv＝Δl·eq\f(v,r)用Δt除上式得eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(Δl,Δt)·eq\f(v,r)當Δt趨近于零時，eq\f(Δv,Δt)表示向心加速度an的大小，此時弧AB對應的圓心角Δθ很小，弧長和弦長相等，所以Δl＝rΔθ，代入上式可得an＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(rΔθ,Δt)·eq\f(v,r)＝ω2r，又由v＝ωr可得an＝eq\f(v2,r).2．請利用ω、v、T的關系推導向心加速度與ω或T的關系．答案由an＝eq\f(v2,r)和v＝ωr可得an＝ω2r由an＝ω2r和ω＝eq\f(2π,T)可得an＝(eq\f(2π,T))2r由an＝(eq\f(2π,T))2r和n＝eq\f(1,T)可得an＝(2πn)2r[要點提煉]1．向心加速度公式(1)基本公式：①an＝eq\f(v2,r)，②an＝ω2r(2)拓展公式：①an＝eq\f(4π2,T2)r，②an＝ωv.2．向心加速度的物理意義：描述線速度方向變化的快慢．3．向心加速度的公式也適用于非勻速圓周運動，且無論是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，向心加速度的方向都指向圓心．[延伸思考]甲同學認為由公式an＝eq\f(v2,r)知向心加速度an與運動半徑r成反比；而乙同學認為由公式an＝ω2r知向心加速度an與運動半徑r成正比，他們兩人誰的觀點正確？說一說你的觀點．答案他們兩人的觀點都不正確．當v一定時，an與r成反比；當ω一定時，an與r成正比．(an與r的關系圖象如圖所示)一、對向心加速度的理解例1下列關于向心加速度的說法中正確的是()A．向心加速度的方向始終指向圓心B．向心加速度的方向保持不變C．在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的D．在勻速圓周運動中，向心加速度的大小不斷變化解析向心加速度的方向時刻指向圓心，A正確；向心加速度的大小不變，方向時刻變化，故B、C、D錯誤．答案A針對訓練關于向心加速度，下列說法正確的是()A．向心加速度是描述線速度大小變化快慢的物理量B．向心加速度是描述線速度的方向變化快慢的物理量C．向心加速度時刻指向圓心，方向不變D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝eq\f(vt－v0,t)來計算答案B解析加速度是描述速度變化快慢的物理量，向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量，因此A錯、B對．雖然向心加速度時刻指向圓心，但是沿不同的半徑指向圓心，所以方向不斷變化，C錯．加速度公式a＝eq\f(vt－v0,t)適用于平均加速度的計算，向心加速度是瞬時加速度，D錯．二、向心加速度大小的計算例2如圖2所示，一個大輪通過皮帶拉著小輪轉動，皮帶和兩輪之間無滑動，大輪的半徑是小輪的2倍，大輪上的一點S到轉動軸的距離是大輪半徑的eq\f(1,3).當大輪邊緣上P點的向心加速度是12m/s2時，大輪上的S點和小輪邊緣上的Q點的向心加速度分別是多少？圖2解析同一輪子上的S點和P點角速度相同：ωS＝ωP，由向心加速度公式an＝ω2r可得：eq\f(anS,anP)＝eq\f(rS,rP)，則anS＝anP·eq\f(rS,rP)＝12×eq\f(1,3)m/s2＝4m/s2.又因為皮帶不打滑，所以傳動皮帶的兩輪邊緣各點線速度大小相等：vP＝vQ.由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)可得：eq\f(anP,anQ)＝eq\f(rQ,rP).則anQ＝anP·eq\f(rP,rQ)＝12×eq\f(2,1)m/s2＝24m/s2答案4m/s224m/s2例3如圖3所示為A、B兩物體做勻速圓周運動的向心加速度隨半徑變化的圖象，其中A為雙曲線的一個分支，由圖可知()圖3A．A物體運動的線速度大小不變B．A物體運動的角速度大小不變C．B物體運動的角速度大小不變D．B物體運動的角速度與半徑成正比解析因為A為雙曲線的一個分支，說明a與r成反比，由a＝eq\f(v2,r)可知，A物體的線速度大小不變，故A對，B錯；而OB為過原點的直線，說明a與r成正比，由a＝ω2r可知，B物體的角速度大小不變，故C對，D錯．答案AC1．(對向心加速度的理解)關于向心加速度，下列說法正確的是()A．向心加速度是描述線速度變化的物理量B．向心加速度既改變線速度的方向，又改變線速度的大小C．向心加速度大小恒定，方向時刻改變D．物體做非勻速圓周運動時，向心加速度的大小也可用an＝eq\f(v2,r)來計算答案D解析加速度是描述速度變化快慢的物理量，向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量，因此A、B錯；只有勻速圓周運動的向心加速度大小才恒定，故C錯，D對．2．(對向心加速度的理解)如圖4所示，一圓環以直徑AB為軸做勻速轉動，P、Q、R是環上的三點，則下列說法正確的是()圖4A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aRB．任意時刻P、Q、R三點向心加速度的方向不同C．線速度vP＞vQ＞vRD．任意時刻P、Q、R三點的線速度方向均不同答案C解析圓環各處的角速度相等由a＝ω2r知aP＞aQ＞aR，故A錯誤；由v＝ωr知vP＞vQ＞vR，故C正確．由于向心加速度總是指向圓心，所以P、R、Q處的向心加速度的方向都垂直于AB軸且指向AB軸，即P、Q、R三點向心加速度的方向相同，B錯誤；線速度方向都垂直于半徑，故P、Q、R三點的線速度方向相同，D錯誤．3．(向心加速度公式的應用)關于北京和廣州隨地球自轉的向心加速度，下列說法中正確的是()A．它們的方向都是沿半徑指向地心B．它們的方向都在平行于赤道的平面內指向地軸C．北京的向心加速度比廣州的向心加速度大D．北京的向心加速度與廣州的向心加速度大小相同答案B解析如圖所示，地球表面各點的向心加速度方向都在平行于赤道的平面內指向地軸，選項B正確，A錯誤；設地球半徑為R0，在地面上緯度為φ的P點，做圓周運動的軌道半徑R＝R0cosφ，其向心加速度為an＝ω2R＝ω2R0cosφ.由于北京的地理緯度比廣州的大，cosφ小，兩地隨地球自轉的角速度相同，因此北京隨地球自轉的向心加速度比廣州的小，選項C、D錯誤．4．(向心加速度大小的計算)滑板運動是深受青少年喜愛的運動，如圖5所示，某滑板運動員恰好從B點進入半徑為m的1/4圓弧軌道，該圓弧軌道在C點與水平光滑軌道相接，運動員滑到C點時的速度大小為10m/s.求他到達C點前、后瞬間的加速度(不計各種阻力)．圖5答案50m/s2，方向豎直向上0解析運動員到達C點前的瞬間做圓周運動，加速度大小a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(102,2)m/s2＝50m/s2，方向在該位置指向圓心，即豎直向上．運動員到達C點后的瞬間做勻速直線運動，加速度為0.題組一對向心加速度的理解1．下列關于向心加速度的說法中正確的是()A．向心加速度越大，物體速率變化得越快B．向心加速度的大小與軌道半徑成反比C．向心加速度的方向始終與線速度方向垂直D．在勻速圓周運動中向心加速度是恒量答案C解析向心加速度只改變速度方向，故A不正確．向心加速度可用an＝eq\f(v2,r)或an＝ω2r表示，不知線速度和角速度的變化情況，無法確定向心加速度的大小與軌道半徑的關系，故B錯誤．向心加速度的方向始終與線速度方向垂直，在圓周運動中始終指向圓心，方向在不斷變化，不是恒量，故勻速圓周運動不是勻變速運動，而是變加速運動，故C正確，D錯誤．2．做勻速圓周運動的兩物體甲和乙，它們的向心加速度分別為a1和a2，且a1＞a2，下列判斷正確的是()A．甲的線速度大于乙的線速度B．甲的角速度比乙的角速度小C．甲的軌道半徑比乙的軌道半徑小D．甲的速度方向比乙的速度方向變化快答案D解析由于不知甲和乙做勻速圓周運動的半徑大小關系，故不能確定它們的線速度、角速度的大小關系，A、B、C錯．向心加速度是表示線速度方向變化快慢的物理量，a1＞a2，表明甲的速度方向比乙的速度方向變化快，D對．3．下列說法正確的是()A．勻速圓周運動的速度大小保持不變，所以做勻速圓周運動的物體沒有加速度B．做勻速圓周運動的物體，雖然速度大小不變，但方向時刻在改變，所以必有加速度C．做勻速圓周運動的物體，加速度的大小保持不變，所以是勻變速(曲線)運動D．勻速圓周運動的加速度大小雖然不變，但方向始終指向圓心，加速度的方向發生了變化，所以勻速圓周運動既不是勻速運動，也不是勻變速運動答案BD解析加速度恒定的運動才是勻變速運動，向心加速度的方向時刻改變．勻速圓周運動是速度的大小不變、而速度的方向時刻變化的運動，所以B、D正確．4．關于勻速圓周運動，下列說法正確的是()A．由an＝eq\f(v2,r)可知，an與r成反比B．由an＝ω2r可知，an與r成正比C．由v＝ωr可知，ω與r成反比D．由ω＝2πn可知，ω與n成正比答案D解析物體做勻速圓周運動的向心加速度與物體的線速度、角速度、半徑有關．但向心加速度與半徑的關系要在一定前提條件下才能成立．當線速度一定時，向心加速度與半徑成反比；當角速度一定時，向心加速度與半徑成正比．對線速度和角速度與半徑的關系也可以同樣進行討論．正確選項為D.題組二向心加速度大小的計算5．A、B兩小球都在水平面上做勻速圓周運動，A球的軌道半徑是B球軌道半徑的2倍，A的轉速為30r/min，B的轉速為15r/min.則兩球的向心加速度之比為()A．1∶1B．2∶1C．4∶1D．8∶1答案D解析由題意知A、B兩小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以兩小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωeq\o\al(2,A)RA∶ωeq\o\al(2,B)RB＝8∶1，D正確．6．一小球被細線拴著做勻速圓周運動，其半徑為R，向心加速度大小為an，則()A．小球相對于圓心的位移不變B．小球的線速度大小為eq\r(Ran)C．小球在時間t內通過的路程s＝eq\r(\f(an,Rt))D．小球做圓周運動的周期T＝2πeq\r(\f(R,an))答案BD解析小球做勻速圓周運動，各時刻相對圓心的位移大小不變，但方向時刻在變．由an＝eq\f(v2,R)得v2＝Ran，所以v＝eq\r(Ran)小球在時間t內通過的路程s＝vt＝teq\r(Ran)小球做圓周運動的周期T＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2πR,\r(Ran))＝2πeq\r(\f(R,an))7．如圖1所示為摩擦傳動裝置，B輪轉動時帶動A輪跟著轉動，已知轉動過程中輪緣間無打滑現象，下列說法中正確的是()圖1A．A、B兩輪轉動的方向相同B．A與B轉動方向相反C．A、B轉動的角速度之比為1∶3D．A、B輪緣上點的向心加速度之比為3∶1答案BC解析A、B兩輪屬齒輪傳動，A、B兩輪的轉動方向相反，A錯，B對．A、B兩輪邊緣的線速度大小相等，由ω＝eq\f(v,r)知，eq\f(ω1,ω2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(1,3)，C對．根據a＝eq\f(v2,r)得，eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(1,3)，D錯．8．如圖2所示，一半徑為R的球體繞軸O1O2以角速度ω勻速轉動，A、B為球體上兩點．下列說法中正確的是()圖2A．A、B兩點具有相同的角速度B．A、B兩點具有相同的線速度C．A、B兩點具有相同的向心加速度D．A、B兩點的向心加速度方向都指向球心答案A解析A、B兩點隨球體一起繞軸O1O2轉動，轉一周所用的時間相等，故角速度相等，有ωA＝ωB＝ω，選項A正確．A點做圓周運動的平面與軸O1O2垂直，交點為圓心，故A點做圓周運動的半徑為rA＝Rsin60°；同理，B點做圓周運動的半徑為rB＝Rsin30°，所以A、B兩點的線速度分別為：vA＝rAω＝eq\f(\r(3),2)Rω，vB＝rBω＝eq\f(1,2)Rω，顯然vA＞vB，選項B錯誤．A、B兩點的向心加速度分別為：aA＝rAω2＝eq\f(\r(3),2)Rω2，aB＝rBω2＝eq\f(1,2)Rω2，顯然，A、B兩點的向心加速度不相等，且它們的向心加速度方向指向各自平面的圓心，并不指向球心，故選項C、D錯誤．9．如圖3所示，一小物塊以大小為a＝4m/s2的向心加速度做勻速圓周運動，半徑R＝1m，則下列說法正確的是()圖3A．小物塊運動的角速度為2rad/sB．小物塊做圓周運動的周期為πsC．小物塊在t＝eq\f(π,4)s內通過的位移大小為eq\f(π,20)mD．小物塊在πs內通過的路程為零答案AB解析因為a＝ω2R，所以小物塊運動的角速度為ω＝eq\r(\f(a,R))＝2rad/s，周期T＝eq\f(2π,ω)＝πs，選項A、B正確；小物塊在eq\f(π,4)s內轉過eq\f(π,2)，通過的位移為eq\r(2)m，在πs內轉過一周，通過的路程為2πm，選項C、D錯誤．題組三綜合應用10．如圖4所示，質量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點的過程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么()圖4A．加速度為零B．加速度恒定C．加速度大小不變，方向時刻改變，但不一定指向圓心D．加速度大小不變，方向時刻指向圓心答案D解析由題意知，木塊做勻速圓周運動，木塊的加速度大小不變，方向時刻指向圓心，D正確，A、B、C錯誤．11．一小球質量為m，用長為L的懸繩(不可伸長，質量不計)固定于O點，在O點正下方eq\f(L,2)處釘有一顆釘子．如圖5所示，將懸線沿水平方向拉直無初速度釋放后，當懸線碰到釘子后的瞬間，則()圖5A．小球的角速度突然增大B．小球的線速度突然減小到零C