[目標定位]1.理解線速度、角速度、轉速、周期等概念，會對它們進行定量計算.2.知道線速度與角速度的關系，知道線速度與周期、角速度與周期的關系.3.理解勻速圓周運動的概念和特點．一、描述圓周運動的物理量及其關系1．線速度(1)定義：物體做圓周運動通過的弧長與所用時間的比值．(2)大小：v＝eq\f(Δs,Δt)，單位：m/s.(3)方向：沿圓周上該點的切線方向．(4)物理意義：描述物體沿圓周運動的快慢．2．角速度(1)定義：連接物體與圓心的半徑轉過的角度與所用時間的比值．(2)大小：ω＝eq\f(Δθ,Δt)，單位：弧度每秒，符號rad/s.(3)物理意義：描述物體繞圓心轉動快慢的物理量．3．周期和轉速(1)周期：做圓周運動的物體轉過一周所用的時間，用符號T表示，單位為秒(s)．(2)轉速：做圓周運動的物體單位時間內轉過的圈數．用n表示，單位為轉每秒(r/s)，或轉每分(r/min)．nr/s＝60nr/min.4．各個物理量間的關系(1)v、T的關系：v＝eq\f(2πr,T)；(2)ω、T的關系：ω＝eq\f(2π,T)；(3)v、ω的關系：v＝ωr；(4)ω、n的關系：ω＝2πn.深度思考月亮繞地球做圓周運動．地球繞太陽做圓周運動．如圖1所示關于各自運動的快慢，地球和月亮的“對話”：地球說：你怎么走得這么慢？我繞太陽運動1s要走km，你繞我運動1s才走km.圖1月亮說：不能這樣說吧！你一年才繞太陽轉一圈，我天就能繞你轉一圈，到底誰轉得慢？請問：地球說得對，還是月亮說得對？答案地球和月亮說的均是片面的，它們選擇描述勻速圓周運動快慢的標準不同．嚴格來說地球繞太陽運動的線速度比月亮繞地球運動的線速度大，而月亮繞地球轉動的角速度比地球繞太陽轉動的角速度大．例1關于做勻速圓周運動的物體的線速度、角速度、周期的關系，下面說法中正確的是()A．線速度大的角速度一定大B．線速度大的周期一定小C．角速度大的半徑一定小D．角速度大的周期一定小答案D解析由v＝ωr知，r一定時，v與ω成正比；v一定時，ω與r成反比，故A、C均錯．由v＝eq\f(2πr,T)知，r一定時，v越大，T越小，B錯．由ω＝eq\f(2π,T)可知，ω越大，T越小，故D對，故選D.處理線速度v、角速度ω、周期T、轉速n之間的關系問題時，抓住以下兩點：(1)寫出相應的表達式．(2)弄清楚表達式中哪個量是變化的，哪個量是不變的．例2甲、乙兩物體都做勻速圓周運動，其轉動半徑之比為1∶2，在相等的時間里甲轉過60°，乙轉過45°，則它們的角速度之比為________，線速度之比為________，周期之比為________．答案4∶32∶33∶4解析由ω＝eq\f(Δθ,Δt)得：eq\f(ω甲,ω乙)＝eq\f(60°,45°)＝eq\f(4,3)，由v＝ωr得：eq\f(v甲,v乙)＝eq\f(ω甲,ω乙)·eq\f(r甲,r乙)＝eq\f(4,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)由T＝eq\f(2π,ω)得：eq\f(T甲,T乙)＝eq\f(ω乙,ω甲)＝eq\f(3,4)二、對勻速圓周運動的理解1．勻速圓周運動：物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等的運動．2.例3關于勻速圓周運動，下列說法正確的是()A．勻速圓周運動是變速運動B．勻速圓周運動的速率不變C．任意相等時間內通過的位移相等D．任意相等時間內通過的路程相等答案ABD解析由線速度定義知，勻速圓周運動的速度大小不變，也就是速率不變，但速度方向時刻改變，故A、B對；做勻速圓周運動的物體在任意相等時間內通過的弧長即路程相等，C錯，D對．(1)矢量的比較，首先要想到方向問題．(2)“相等時間內…”的問題，為便于比較可以取一些特殊值，但是有時取特殊值也會犯錯，如本題中若取t＝T，則相等時間內位移相等，均為0，這樣看來C選項正確，所以舉例時要具有普遍性．(3)勻速圓周運動中的“勻速”，是指“勻速率”的意思，勻速圓周運動是變速運動．三、常見傳動裝置及其特點1．同軸轉動如圖2所示，A點和B點在同軸的一個圓盤上，圓盤轉動時：ωA＝ωB，eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)，并且轉動方向相同．圖22．皮帶傳動如圖3所示，A點和B點分別是兩個輪子邊緣上的點，兩個輪子用皮帶連起來，并且皮帶不打滑，則當輪子轉動時：vA＝vB，eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)，并且轉動方向相同．圖33.齒輪傳動如圖4所示，A點和B點分別是兩個齒輪邊緣上的點，兩個齒輪嚙合，則當齒輪轉動時，vA＝vB，eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r2,r1)，兩點轉動方向相反．圖4深度思考砂輪轉動時，砂輪上各個砂粒的線速度是否相等？角速度是否相等？答案砂輪上各點屬于同軸轉動，各點的角速度相等，由v＝ωr得，v∝r即線速度v正比于各點到軸的半徑r.例4如圖5所示為皮帶傳動裝置，皮帶輪為O、O′，RB＝eq\f(1,2)RA，RC＝eq\f(2,3)RA，當皮帶輪勻速轉動時，皮帶與皮帶輪之間不打滑，求A、B、C三點的角速度之比、線速度之比、周期之比．圖5答案2∶2∶32∶1∶23∶3∶2解析由題意可知，A、B兩點在同一皮帶輪上，因此ωA＝ωB，又皮帶不打滑，所以vA＝vC，故可得ωC＝eq\f(vC,RC)＝eq\f(vA,\f(2,3)RA)＝eq\f(3,2)ωA，所以ωA∶ωB∶ωC＝ωA∶ωA∶eq\f(3,2)ωA＝2∶2∶3.又vB＝RBωB＝eq\f(1,2)RAωA＝eq\f(vA,2)，所以vA∶vB∶vC＝vA∶eq\f(1,2)vA∶vA＝2∶1∶2，TA∶TB∶TC＝eq\f(2π,ωA)∶eq\f(2π,ωB)∶eq\f(2π,ωC)＝eq\f(1,2)∶eq\f(1,2)∶eq\f(1,3)＝3∶3∶2.求解傳動問題的思路：(1)分清傳動特點：若屬于皮帶傳動或齒輪傳動，則輪子邊緣各點線速度大小相等；若屬于同軸傳動，則輪上各點的角速度相等．(2)確定半徑關系：根據裝置中各點位置確定半徑關系，或根據題意確定半徑關系．(3)擇式分析：若線速度大小相等，則根據ω∝eq\f(1,r)分析，若角速度大小相等，則根據v∝r分析.1．(對勻速圓周運動的理解)(多選)關于勻速圓周運動，下列說法正確的是()A．勻速圓周運動是勻速運動B．勻速圓周運動是變速運動C．勻速圓周運動是線速度不變的運動D．勻速圓周運動是線速度大小不變的運動答案BD解析這里的“勻速”，不是“勻速度”，也不是“勻變速”，而是速率不變，勻速圓周運動實際上是一種速度大小不變、方向時刻改變的變速運動．故B、D正確．2．(圓周運動各物理量間的關系)汽車在公路上行駛一般不打滑，輪子轉一周，汽車向前行駛的距離等于車輪的周長．某國產轎車的車輪半徑約為30cm，當該型號的轎車在高速公路上行駛時，駕駛員面前速率計的指針指在“120km/h”上，可估算出該車輪的轉速約為()A．1000r/s B．1000r/minC．1000r/h D．2000r/s答案B解析由公式ω＝2πn，得v＝rω＝2πrn，其中r＝30cm＝m，v＝120km/h＝eq\f(100,3)m/s，代入得n＝eq\f(1000,18π)r/s，約為1000r/min.3.(圓周運動各物理量間的關系)甲、乙兩物體分別做勻速圓周運動，如果它們轉動的半徑之比為1∶5，線速度之比為3∶2，則下列說法正確的是()A．甲、乙兩物體的角速度之比是2∶15B．甲、乙兩物體的角速度之比是10∶3C．甲、乙兩物體的周期之比是2∶15D．甲、乙兩物體的周期之比是10∶3答案C解析由v＝ωr得eq\f(ω1,ω2)＝eq\f(v1,r1)∶eq\f(v2,r2)＝eq\f(v1,v2)·eq\f(r2,r1)＝eq\f(3,2)×eq\f(5,1)＝eq\f(15,2)，A、B錯誤；由ω＝eq\f(2π,T)得eq\f(T1,T2)＝eq\f(ω2,ω1)＝eq\f(2,15)，C正確，D錯誤．4．(傳動問題)如圖6是自行車傳動機構的示意圖，其中Ⅰ為半徑為r1的大齒輪，Ⅱ是半徑為r2的小齒輪，Ⅲ是半徑為r3的后輪，假設腳踏板的轉速為nr/s，則自行車前進的速度為()圖6\f(πnr1r3,r2) \f(πnr2r3,r1)\f(2πnr1r3,r2) \f(2πnr2r3,r1)答案C解析前進速度即為Ⅲ輪的線速度，由同一個輪上的角速度相等，同一鏈條上的線速度相等可以得ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn，v＝ω3·r3，所以v＝eq\f(2πnr1r3,r2).故選C.題組一對勻速圓周運動的理解1．(多選)做勻速圓周運動的物體，下列不變的物理量是()A．速度B．速率C．角速度D．周期答案BCD解析物體做勻速圓周運動時，速度的大小雖然不變，但它的方向在不斷變化，選項B、C、D正確．2．(多選)質點做勻速圓周運動，則()A．在任何相等的時間里，質點的位移都相等B．在任何相等的時間里，質點通過的路程都相等C．在任何相等的時間里，質點運動的平均速度都相同D．在任何相等的時間里，連接質點和圓心的半徑轉過的角度都相等答案BD題組二圓周運動各物理量間的關系3．(多選)一般的轉動機械上都標有“轉速×××r/min”，該數值是轉動機械正常工作時的轉速，不同的轉動機械上標有的轉速一般是不同的．下列有關轉速的說法正確的是()A．轉速越大，說明該轉動機械正常工作時轉動的線速度一定越大B．轉速越大，說明該轉動機械正常工作時轉動的角速度一定越大C．轉速越大，說明該轉動機械正常工作時轉動的周期一定越大D．轉速越大，說明該轉動機械正常工作時轉動的周期一定越小答案BD解析轉速n越大，角速度ω＝2πn一定越大，周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(1,n)一定越小，由v＝ωr知只有r一定時，ω越大，v才越大，B、D對．4．一個電子鐘的秒針角速度為()A．πrad/s B．2πrad/s\f(π,30)rad/s \f(π,60)rad/s答案C5．(多選)假設“神舟”十號實施變軌后做勻速圓周運動，共運行了n周，起始時刻為t1，結束時刻為t2，運行速率為v，半徑為r.則計算其運行周期可用()A．T＝eq\f(t2－t1,n) B．T＝eq\f(t1－t2,n)C．T＝eq\f(2πr,v) D．T＝eq\f(2πv,r)答案AC解析由題意可知飛船勻速圓周運動n周所需時間Δt＝t2－t1，故其周期T＝eq\f(Δt,n)＝eq\f(t2－t1,n)，故選項A正確；由周期公式有T＝eq\f(2πr,v)，故選項C正確．6．兩個小球固定在一根長為L的桿的兩端，繞桿上的O點做圓周運動，如圖1所示，當小球1的速度為v1時，小球2的速度為v2，則轉軸O到小球2的距離為()圖1\f(v1L,v1＋v2) \f(v2L,v1＋v2)\f((v1＋v2)L,v1) \f((v1＋v2)L,v2)答案B解析設小球1、2做圓周運動的半徑分別為r1、r2，則v1∶v2＝ωr1∶ωr2＝r1∶r2，又因r1＋r2＝L，所以小球2到轉軸O的距離r2＝eq\f(v2L,v1＋v2)，B正確．7．(多選)甲、乙兩個做勻速圓周運動的質點，它們的角速度之比為3∶1，線速度之比為2∶3，那么下列說法中正確的是()A．它們的半徑之比為2∶9B．它們的半徑之比為1∶2C．它們的周期之比為2∶3D．它們的周期之比為1∶3答案AD解析由v＝ωr，得r＝eq\f(v,ω)，eq\f(r甲,r乙)＝eq\f(v甲ω乙,v乙ω甲)＝eq\f(2,9)，A對，B錯；由T＝eq\f(2π,ω)，得T甲∶T乙＝eq\f(2π,ω甲)∶eq\f(2π,ω乙)＝eq\f(1,3)，C錯，D對．題組三傳動問題8．(多選)如圖2所示為常見的自行車傳動示意圖．A輪與腳蹬相連，B輪與車軸相連，C為車輪．當人蹬車勻速運動時，以下說法中正確的是()圖2A．A輪與B輪的角速度相同B．A輪邊緣與B輪邊緣的線速度相同C．B輪邊緣與C輪邊緣的線速度相同D．B輪與C輪的角速度相同答案BD解析A、B兩輪以鏈條相連，其邊緣線速度相同，B、C同軸轉動，其角速度相同．9.(多選)如圖3所示，靜止在地球上的物體都要隨地球一起轉動，a是位于赤道上的一點，b是位于北緯30°上的一點，則下列說法正確的是()圖3A．a、b兩點的運動周期相同B．它們的角速度是不同的C．a、b兩點的線速度大小相同D．a、b兩點線速度大小之比為2∶eq\r(3)答案AD解析如題圖所示，地球繞自轉軸轉動時，地球上各點的周期及角速度都是相同的．地球表面物體做圓周運動的平面是物體所在緯度線平面，其圓心分布在整條自轉軸上，不同緯度處物體做圓周運動的半徑是不同的，b點半徑rb＝eq\f(\r(3)ra,2)，由v＝ωr，可得va∶vb＝2∶eq\r(3).10．(多選)如圖4所示為某一皮帶傳動裝置．主動輪的半徑為r1，從動輪的半徑為r2.已知主動輪做順時針轉動，轉速為n，轉動過程中皮帶不打滑．下列說法正確的是()圖4A．從動輪做順時針轉動B．從動輪做逆時針轉動C．從動輪的轉速為eq\f(r1,r2)nD．從動輪的轉速為eq\f(r2,r1)n答案BC解析主動輪順時針轉動時，皮帶帶動從動輪逆時針轉動，A項錯誤，B項正確；由于兩輪邊緣線速度大小相同，根據v＝2πrn，可得兩輪轉速與半徑成反比，所以C項正確，D項錯誤．題組四綜合應用11．如圖5所示的傳動裝置中，B、C兩輪固定在一起繞同一軸轉動，A、B兩輪用皮帶傳動，三個輪的半徑關系是rA＝rC＝2rB.若皮帶不打滑，求A、B、C三輪邊緣上a、b、c三點的角速度之比和線速度之比．圖5答案1∶2∶21∶1∶2解析a、b兩點比較：va＝vb由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2b、c兩點比較ωb＝ωc由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，va∶vb∶vc＝1∶1∶212．如圖6所示，鉆床的電動軸上的塔輪1、2、3和鉆軸上的塔輪4、5、6的直徑分別是d1＝d6＝160mm，d2＝d5＝180mm，d3＝d4＝200mm，電動機的轉速n＝900r/min.求：圖6(1)皮帶在2、5兩輪時，鉆軸的轉速是多少？(2)皮帶在1、4兩輪時，鉆軸的轉速是多少？(3)皮帶在3、6兩輪時，鉆軸的轉速是多少？答案(1)900r/min(2)720r/min(3)1125r/min解析皮帶