機器人學導論

(第三、四章）新疆大學機械工程學院第三章操作臂運動學 操作臂運動學研究的是手臂各連桿間的位移關系，速度關系和加速度關系。本章只討論位移關系。PUMA560機器人3.1概述什么是操作臂運動學？操作臂運動學研究操作臂的運動特性，而不考慮使操作臂產生運動時施加的力。例如：知道操作臂的連桿長度和關節轉角，怎么求它的位姿？方法在操作臂運動學中，將要研究操作臂的位置、速度、加速度以及位置變量的所有高階導數(對于時間或其他變量)。因此，操作臂運動學涉及所有與運動有關的幾何參數和時間參數。正運動學知道操作臂的關節轉角，去確定操作臂末端執行器的位姿。3.2連桿描述操作臂可以看成由一系列剛體通過關節連接而成的一個運動鏈，我們將這些剛體稱為連桿。通過關節將兩個相鄰的連桿連接起來。3.2連桿描述當兩個剛體之間的相對運動是兩個平面之間的相對滑動時，連接相鄰兩個剛體的運動副稱為低副。圖3-1所示為六種常用的低副關節。關節類型（低副）1.轉動副2.移動副3.圓柱副4.平面副5.螺旋副6.球面副3.2連桿描述在進行操作臂的結構設計時，通常優先選擇僅具有一個自由度的關節作為連桿的連接方式。大部分操作臂中包括轉動關節或移動關節。在極少數情況下，采用具有n個自由度的關節，這種關節可以看成是用n個單自由度的關節與n-1個長度為0的連桿連接而成的。關節的行為能夠用單一參數來描述：對于移動關節是關節轉角，對于移動關節是位移3.2連桿描述從操作臂的固定基座開始為連桿進行編號，可以稱固定基座為連桿0。第一個可動連桿為連桿1，以此類推，操作臂最末端的連桿為連桿n。3.2連桿描述在機器人運動學中，連桿被看作是定義兩個相鄰關節軸之間關系的剛體。一個連桿的運動參數是由連桿兩端關節軸的相對關系決定的，可以用兩個參數描述這種關系:連桿的長度a連桿轉角α3.2連桿描述在上頁圖中，關節軸i一1和關節軸i之間公垂線的長度為ai-1,即為連桿長度。連桿轉角:假設作一個平面，并使該平面與兩關節軸之間的公垂線垂直，然后把關節軸i一1和關節軸i投影到該平面上，在平面內軸i-1按照右手法則繞ai-1轉向軸i，測量兩軸線之間的夾角。用轉角ai-1定義連桿i一1的扭轉角。3.3關于連桿連接的描述相鄰兩個連桿之間有一個公共的關節軸。沿兩個相鄰連桿公共軸線方向的距離可以用一個參數描述，該參數稱為連桿偏距。在關節軸i上的連桿偏距記為di。用另一個參數描述兩相鄰連桿繞公共軸線旋轉的夾角，該參數稱為關節角，記為θi。即連桿偏距di。連桿偏距的表示方法如圖所示。當關節i為移動關節時，連桿偏距是一個變量。描述相鄰兩連桿連接關系的第二個參數是ai-1的延長線和ai之間繞關節軸1旋轉所形成的夾角，即關節角θi，如圖所示。3.4、連桿參數和連桿坐標系(續)首、末連桿連桿參數機器人的每個連桿都可以用四個運動學參數來描述，其中兩個參數用于描述連桿本身，另外兩個參數用于描述連桿之間的連接關系。通常，對于轉動關節，為關節變量，其他三個連桿參數是固定不變的;對于移動關節，

為關節變量，其他三個連桿參數是固定不變的。這種用連桿參數描述機構運動關系的規則稱為Denavit-Hartenberg參數3.4、連桿參數和連桿坐標系(續)三、連桿坐標系3.4、連桿參數和連桿坐標系(續)首、末連桿3.4、連桿參數和連桿坐標系(續)中間連桿3.4、連桿參數和連桿坐標系(續)連桿坐標系與連桿參數間的關系需要注意的是，連桿坐標系的規定不是唯一的，總體上說建立坐標系應該做到“瞻前顧后，模型最簡”

3.4、連桿參數和連桿坐標系(續)連接基座連接手爪3.5、連桿變換和運動學方程3.2連桿變換和運動學方程相對于動坐標系而言，遵循“從左到右”的原則。3.5連桿變換和運動學方程(續)D-H坐標系舉例例1.下圖所示為一個平面三桿操作臂。因為三個關節均為轉動關節，因此有時稱該操作臂為RRR(或3R)機構。右圖為連桿坐標系的布局D-H坐標系舉例D-H坐標系舉例下面舉例

求一、建立D-H坐標系

X1Z1Z2X2Z3X3

X1Z1Z2X2Z3X3二、列寫D-H參數表三、寫出連桿變換矩陣四、寫出運動方程（求出）3.4、PUMA560機器人運動學方程3.4PUMA560機器人運動方程PUMA560變換矩陣將各個連桿變換矩陣相乘便得到PUMA560手臂變換矩陣什么是機器人運動學正解？什么是機器人運動學反解第四章操作臂逆運動學在上一章中討論了已知操作臂的關節角，計算工具坐標系相對于用戶工作臺坐標系的位置和姿態的問題。在本章中，將研究難度更大的運動學逆問題:已知工具坐標系相對于工作臺坐標系的期望位置和姿態，如何計算一系列滿足期望要求的關節角?第3章重點討論操作臂的運動學正問題，而本章重點討論操作臂的運動學逆問題。運動學逆問題多解性，剔除多余解原則根據關節運動空間合適的解選擇一個與前一采樣時間最接近的解根據避障要求得選擇合適的解逐級剔除多余解可解性所有具有轉動和移動關節的系統，在一個單一串聯中總共有6個（或小于6個）自由度時，是可解的，一般是數值解，它不是解析表達式，而是利用數值迭代原理求解，它的計算量要比解析解大如若干個關節軸線相交和或多個關節軸線等于0或90°的情況下，具有6個自由度的機器人可得到解析解運動學反解1）解的存在性和工作空間（靈活工作空間，可達工作空間）

通常將反解存在的區域稱為機器人的工作空間。當操作臂的自由度小于6時．其靈活空間的體積為零．不能在三維空間內獲得一般的目標的位姿2）解的唯一性和最優解機器人操作臂運動學反解的數目決定于關節數目、連桿參數和關節變量的活動范圍。在避免碰撞的前提下，通常按“最短行程’的準則來擇優、即使每個關節的移動量為最小。由于工業機器人前面三個連桿的尺寸較大，后面三個較小。故應加權處理，遵循“多移動小關節、少移動大關節”的原則。3）可解性（封閉解，數值解）所有包含轉動關節和移動關節的串聯型6自由度機構都是可解的.(數值解)封閉解存在的兩充分條件：1）三個相鄰關節軸交于一點2）三個相鄰關節軸相互平行三、求解方法操作臂運動學反解的方法可以分為兩類：封閉解和數值解、在進行反解時總是力求得到封閉解。因為封閉解的計算速度快，效率高，便于實時控制。而數值法不具有些特點為。操作臂的運動學反解封閉解可通過兩種途徑得到：代數解和幾何解。代數解法與幾何解法代數解法仍以第三章所介紹的三連桿平面操作臂為例，其坐標和連桿參數如下代數解法按第三章的方法，應用這些連桿參數可以求得這個機械臂的運動學方程：為了集中討論逆運動學問題，我們假設腕部坐標系相對于基坐標系的變換，即已經完成。這個操作臂通過三個量x,y和φ很容易確定這些目標點。如下給出的就確定了目標點的位姿，這個變換矩陣如下。令和相等，可以求得四個非線性方程，進而求出θ1，θ2和θ3：將和同時平方，然后相加，得到解得：上式有解的條件是上式右邊的值必須在-1和1之間S2的表達式為最后利用2幅角反正切公式計算θ2，得注意如果x=y=0,則是（4-27）不確定，此時θ1可取任意值。最后，由式（4-8）（4-9）能夠求出θ1，θ2，θ3的和：由于θ1，θ2已知，從而可以解出θ3總之，用代數方法求解運動學方程是求解操作臂的基本方法之一。幾何解在幾何方法中，為求出操作臂的解，須將操作臂的空間幾何參數分解成為平面幾何參數。用這種方法在求解操作臂時（特別是α1=0或±90°）是相當容易的。然后應用平面幾何方法可以求出關節角度。應用余弦定理可得討論：①為了保證解存在，目標點(x,y)應滿足②在滿足解存在的前提下，有兩個解

為了求出,首先計算出和由圖易得，

幾何解法其中當時取“+”號

當時取“－”號

可由解出關節角PUMA560機器人運動學反解PUMA560機器人運動學反解PUMA560機器人運動學反解3.8關節空間和操作空間n個自由度的操作臂的末端位姿由n個關節變量所決定，這n個關節變量統稱為n維關節矢量，記為q所有的關節矢量構成的空間稱為關節空間。末端操作手的位姿x是在直角坐標空間中描述的，因此，稱該空間為操作空間或作業定向空間。機器人各關節驅動器的位置統稱為驅動矢量s，由這些矢量組成的空間稱為驅動空間。例：描述第三章中如下圖所示的三連桿操作臂的子空間。

已知的子空間為：式中，x,y給出了腕關節的位置，φ給出了連桿末端的姿態。當x,y可以任意取值時就得到了子空間。3.9坐標系的標準命名為了規范起見，有必要給機器人和工作空間專門命名和確定專門的“標準”坐標系。圖3-27所示為一典型的情況，機器人抓持某種工具，并把工具末端移動到操作者指定的位置。圖3-27所示的五個坐標系就是需要進行命名的坐標系。基坐標系{B}工作臺坐標系{S}腕部坐標系{W}工具坐標系{T}目標坐標系{G}工具的定位機器人的首要功能之一是能夠計算它所