第9章一元線性回歸9.1

變量間關(guān)系的度量9.2一元線性回歸的估計和檢驗9.3利用回歸方程進行預測9.4用殘差檢驗模型的假定

regressionanalysis學習目標相關(guān)關(guān)系的分析參數(shù)的最小二乘估計回歸直線的擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗利用回歸方程進行預測用殘差證實模型的假定用SPSS進行回歸子代與父代一樣嗎？Galton被譽為現(xiàn)代回歸和相關(guān)技術(shù)的創(chuàng)始人。1875年，Galton利用豌豆實驗來確定尺寸的遺傳規(guī)律。他挑選了7組不同尺寸的豌豆，并說服他在英國不同地區(qū)的朋友每一組種植10粒種子，最后把原始的豌豆種子(父代)與新長的豌豆種子(子代)進行尺寸比較當結(jié)果被繪制出來之后，他發(fā)現(xiàn)并非每一個子代都與父代一樣，不同的是，尺寸小的豌豆會得到更大的子代，而尺寸大的豌豆卻得到較小的子代。Galton把這一現(xiàn)象叫做“返祖”(趨向于祖先的某種平均類型)，后來又稱之為“向平均回歸”。一個總體中在某一時期具有某一極端特征(低于或高于總體均值)的個體在未來的某一時期將減弱它的極端性(或者是單個個體或者是整個子代)，這一趨勢現(xiàn)在被稱作“回歸效應(yīng)”。人們發(fā)現(xiàn)它的應(yīng)用很廣，而不僅限于從一代到下一代豌豆大小問題子代與父代一樣嗎？正如Galton進一步發(fā)現(xiàn)的那樣，平均來說，非常矮小的父輩傾向于有偏高的子代；而非常高大的父輩則傾向于有偏矮的子代。在第一次考試中成績最差的那些學生在第二次考試中傾向于有更好的成績(比較接近所有學生的平均成績)，而第一次考試中成績最好的那些學生在第二次考試中則傾向于有較差的成績(同樣比較接近所有學生的平均成績)。同樣，平均來說，第一年利潤最低的公司第二年不會最差，而第一年利潤最高的公司第二年則不會是最好的如果把父代和子代看作兩個變量，找出這兩個變量的關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系建立適當?shù)臄?shù)學模型，就可以根據(jù)父代的數(shù)值預測子代的取值，這就是經(jīng)典的回歸方法要解決的問題?；貧w分析研究什么？研究某些實際問題時往往涉及到多個變量。在這些變量中，有一個變量是研究中特別關(guān)注的，稱為因變量，而其他變量則看成是影響這一變量的因素，稱為自變量假定因變量與自變量之間有某種關(guān)系，并把這種關(guān)系用適當?shù)臄?shù)學模型表達出來，那么，就可以利用這一模型根據(jù)給定的自變量來預測因變量，這就是回歸要解決的問題在回歸分析中，只涉及一個自變量時稱為一元回歸，涉及多個自變量時則稱為多元回歸。如果因變量與自變量之間是線性關(guān)系，則稱為線性回歸(linearregression)；如果因變量與自變量之間是非線性關(guān)系則稱為非線性回歸(nonlinearregression)

9.1變量間的關(guān)系

9.1.1變量間是什么樣的關(guān)系？

9.1.2用散點圖描述相關(guān)關(guān)系

9.1.3用相關(guān)系數(shù)度量關(guān)系強度第9章一元線性回歸怎樣分析變量間的關(guān)系？建立回歸模型時，首先需要弄清楚變量之間的關(guān)系。分析變量之間的關(guān)系需要解決下面的問題變量之間是否存在關(guān)系？如果存在，它們之間是什么樣的關(guān)系？變量之間的關(guān)系強度如何？樣本所反映的變量之間的關(guān)系能否代表總體變量之間的關(guān)系？9.1.1變量間是什么樣的關(guān)系？

從統(tǒng)計學的角度看，變量間的關(guān)系大體上分為：函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系

9.1變量間的關(guān)系xy函數(shù)關(guān)系是一一對應(yīng)的確定關(guān)系設(shè)有兩個變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x

，當變量x取某個數(shù)值時，

y取相應(yīng)的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量各觀測點落在一條線上

相關(guān)關(guān)系(幾個例子)子女的身高與其父母身高的關(guān)系從遺傳學角度看，父母身高較高時，其子女的身高一般也比較高。但實際情況并不完全是這樣，因為子女的身高并不完全是由父母身高一個因素所決定的，還有其他許多因素的影響一個人的收入水平同他受教育程度的關(guān)系收入水平相同的人，他們受教育的程度也不可能不同，而受教育程度相同的人，他們的收入水平也往往不同。因為收入水平雖然與受教育程度有關(guān)系，但它并不是決定收入的惟一因素，還有職業(yè)、工作年限等諸多因素的影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量與降雨量之間的關(guān)系在一定條件下，降雨量越多，單位面積產(chǎn)量就越高。但產(chǎn)量并不是由降雨量一個因素決定的，還有施肥量、溫度、管理水平等其他許多因素的影響相關(guān)關(guān)系

(correlation)9.1.2用散點圖描述相關(guān)關(guān)系9.1變量間的關(guān)系散點圖

(scatterdiagram)用散點圖描述變量間的關(guān)系(例題分析)【例9-1】為研究銷售收入與廣告費用支出之間的關(guān)系，某醫(yī)藥管理部門隨機抽取20家藥品生產(chǎn)企業(yè)，得到它們的年銷售收入和廣告費用支出(萬元)的數(shù)據(jù)如下。繪制散點圖描述銷售收入與廣告費用之間的關(guān)系

原始數(shù)據(jù)9.1.3用相關(guān)系數(shù)度量關(guān)系強度9.1變量間的關(guān)系散點圖

(銷售收入和廣告費用的散點圖)相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)度量變量之間線性關(guān)系強度的一個統(tǒng)計量若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計算的，稱為總體相關(guān)系數(shù)，記為若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱為相關(guān)系數(shù)，記為r也稱為Pearson相關(guān)系數(shù)

(Pearson’scorrelationcoefficient)樣本相關(guān)系數(shù)的計算公式

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：r

的取值范圍是[-1,1]|r|=1，為完全相關(guān)r=1，為完全正相關(guān)r=-1，為完全負正相關(guān)r=0，不存在線性相關(guān)關(guān)系-1r<0，為負相關(guān)0<r1，為正相關(guān)|r|越趨于1表示關(guān)系越強；|r|越趨于0表示關(guān)系越弱相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2：r具有對稱性。即x與y之間的相關(guān)系數(shù)和y與x之間的相關(guān)系數(shù)相等，即rxy=ryx性質(zhì)3：r數(shù)值大小與x和y原點及尺度無關(guān)，即改變x和y的數(shù)據(jù)原點及計量尺度，并不改變r數(shù)值大小性質(zhì)4：僅僅是x與y之間線性關(guān)系的一個度量，它不能用于描述非線性關(guān)系。這意味著，r=0只表示兩個變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說明變量之間沒有任何關(guān)系性質(zhì)5：r雖然是兩個變量之間線性關(guān)系的一個度量，卻不一定意味著x與y一定有因果關(guān)系相關(guān)系數(shù)的經(jīng)驗解釋|r|0.8時，可視為兩個變量之間高度相關(guān)0.5|r|<0.8時，可視為中度相關(guān)0.3|r|<0.5時，視為低度相關(guān)|r|<0.3時，說明兩個變量之間的相關(guān)程度極弱，可視為不相關(guān)上述解釋必須建立在對相關(guān)系數(shù)的顯著性進行檢驗的基礎(chǔ)之上相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗

(檢驗的步驟)檢驗兩個變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系采用t檢驗檢驗的步驟為提出假設(shè)：H0：；H1：0計算檢驗的統(tǒng)計量雙尾檢驗，計算P值，并于顯著性水平比較，并作出決策

若P<，拒絕H0相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗

(例題分析)【例9-3】檢驗銷售收入與廣告費用之間的相關(guān)系數(shù)是否顯著(0.05)提出假設(shè)：H0：；H1：0計算檢驗的統(tǒng)計量用Excel中的【TDIST】函數(shù)得雙尾P=2.743E-09<0.05，拒絕H0，銷售收入與廣告費用之間的相關(guān)系數(shù)顯著相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗

(SPSS輸出結(jié)果)相關(guān)分析SPSS

9.2一元線性回歸的估計和檢驗

9.2.1一元線性回歸模型

9.2.2參數(shù)的最小二乘估計

9.2.3回歸直線的擬合優(yōu)度

9.2.4顯著性檢驗第9章一元線性回歸9.2.1一元線性回歸模型9.2一元線性回歸的估計和檢驗什么是回歸分析？

(regressionanalysis)重點考察一個特定的變量(因變量)，而把其他變量(自變量)看作是影響這一變量的因素，并通過適當?shù)臄?shù)學模型將變量間的關(guān)系表達出來利用樣本數(shù)據(jù)建立模型的估計方程對模型進行顯著性檢驗進而通過一個或幾個自變量的取值來估計或預測因變量的取值一元線性回歸涉及一個自變量的回歸因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系被預測或被解釋的變量稱為因變量(dependentvariable)，用y表示用來預測或用來解釋因變量的一個或多個變量稱為自變量(independentvariable)，用x表示因變量與自變量之間的關(guān)系用一個線性方程來表示一元線性回歸模型

(linearregressionmodel)描述因變量y如何依賴于自變量x和誤差項

的方程稱為回歸模型一元線性回歸模型可表示為

y=b0+b1x+ey是x的線性函數(shù)(部分)加上誤差項線性部分反映了由于x的變化而引起的y的變化誤差項

是隨機變量反映了除x和y之間的線性關(guān)系之外的隨機因素對y的影響是不能由x和y之間的線性關(guān)系所解釋的變異性0和1稱為模型的參數(shù)一元線性回歸模型(基本假定)

因變量y與自變量x之間具有線性關(guān)系在重復抽樣中，自變量x的取值是事先給定的，而y是隨機變量，y的取值都對應(yīng)一個分布。誤差項滿足正態(tài)性。是一個服從正態(tài)分布的隨機變量，且期望值為0，即

~N(0,2)。對于一個給定的x值，y的期望值為E(y)=0+1x方差齊性。對于所有的x值，的方差σ2都相同獨立性。對于一個特定的x值，它所對應(yīng)的ε與其他x值所對應(yīng)的ε不相關(guān)；對于一個特定的x值，它所對應(yīng)的y值與其他x所對應(yīng)的y值也不相關(guān)一元線性回歸模型

(基本假定)x=x3時的E(y)x=x2時y的分布x=x1時y的分布x=x2時的E(y)x3x2x1x=x1時的E(y)0xyx=x3時y的分布0+1x估計的回歸方程

(estimatedregressionequation)總體回歸參數(shù)和

是未知的，必須利用樣本數(shù)據(jù)去估計用樣本統(tǒng)計量和代替回歸方程中的未知參數(shù)和，就得到了估計的回歸方程一元線性回歸中估計的回歸方程為其中：是估計的回歸直線在y

軸上的截距，是直線的斜率，它表示對于一個給定的x

的值，是y

的估計值，也表示x

每變動一個單位時，y的平均變動值

9.2.2參數(shù)的最小二乘估計9.2一元線性回歸的估計和檢驗參數(shù)的最小二乘估計

(methodofleastsquares)德國科學家KarlGauss(1777—1855)提出用最小化圖中垂直方向的誤差平方和來估計參數(shù)

使因變量的觀察值與估計值之間的誤差平方和達到最小來求得和的方法。即用最小二乘法擬合的直線來代表x與y之間的關(guān)系與實際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線都小KarlGauss的最小化圖參數(shù)的最小二乘估計

(

和的計算公式)根據(jù)最小二乘法，可得求解和的公式如下參數(shù)的最小二乘估計(SPSS輸出結(jié)果)進行回歸SPSS【例】求銷售收入與廣告費用的估計回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的含義參數(shù)的最小二乘估計

(例題分析)9.2.3回歸直線的擬合優(yōu)度9.2一元線性回歸的估計和檢驗變差因變量

y的取值是不同的，y取值的這種波動稱為變差。變差來源于兩個方面由于自變量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x對y的非線性影響、測量誤差等)的影響對一個具體的觀測值來說，變差的大小可以通過該實際觀測值與其均值之差來表示誤差分解圖誤差平方和的分解

(誤差平方和的關(guān)系)

誤差平方和的分解

(三個平方和的意義)總平方和(SST—totalsumofsquares)反映因變量的n個觀察值與其均值的總誤差回歸平方和(SSR—sumofsquaresofregression)反映自變量x

的變化對因變量y

取值變化的影響，或者說，是由于x

與y

之間的線性關(guān)系引起的y

的取值變化，也稱為可解釋的平方和殘差平方和(SSE—sumofsquaresoferror)反映除x

以外的其他因素對y

取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和判定系數(shù)R2

(coefficientofdetermination)回歸平方和占總誤差平方和的比例反映回歸直線的擬合程度取值范圍在[0,1]之間R21，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差決定系數(shù)平方根等于相關(guān)系數(shù)估計標準誤差

(standarderrorofestimate)實際觀察值與回歸估計值誤差平方和的均方根反映實際觀察值在回歸直線周圍的分散狀況對誤差項的標準差的估計，是在排除了x對y的線性影響后，y隨機波動大小的一個估計量反映用估計的回歸方程預測y時預測誤差的大小

計算公式為9.2.4顯著性檢驗9.2一元線性回歸的估計和檢驗線性關(guān)系的檢驗檢驗自變量與因變量之間的線性關(guān)系是否顯著將回歸均方(MSR)同殘差均方(MSE)加以比較，應(yīng)用F檢驗來分析二者之間的差別是否顯著回歸均方：回歸平方和SSR除以相應(yīng)的自由度(自變量的個數(shù)k)殘差均方：殘差平方和SSE除以相應(yīng)的自由度(n-k-1)線性關(guān)系的檢驗

(檢驗的步驟)

提出假設(shè)H0：1=0線性關(guān)系不顯著2.計算檢驗統(tǒng)計量F確定顯著性水平，并根據(jù)分子自由度1和分母自由度n-2求統(tǒng)計量的P值作出決策：若P<，拒絕H0。表明兩個變量之間的線性關(guān)系顯著回歸系數(shù)的檢驗和推斷在一元線性回歸中，等價于線性關(guān)系的顯著性檢驗采用t檢驗檢驗x與y之間是否具有線性關(guān)系，或者說，檢驗自變量x對因變量y的影響是否顯著理論基礎(chǔ)是回歸系數(shù)

的抽樣分布回歸系數(shù)的檢驗和推斷

(樣本統(tǒng)計量的分布)

是根據(jù)最小二乘法求出的樣本統(tǒng)計量，它有自己的分布的分布具有如下性質(zhì)分布形式：正態(tài)分布數(shù)學期望：標準差：由于未知，需用其估計量se來代替得到的估計的標準差回歸系數(shù)的檢驗和推斷

(檢驗步驟)

提出假設(shè)H0:b1=0(沒有線性關(guān)系)H1:b1

0(有線性關(guān)系)計算檢驗的統(tǒng)計量

確定顯著性水平，計算出統(tǒng)計量的P值，并做出決策P<，拒絕H0，表明自變量是影響因變量的一個顯著因素回歸系數(shù)的檢驗和推斷

(b1和b0的置信區(qū)間)

b1在1-置信水平下的置信區(qū)間為

b0在1-置信水平下的置信區(qū)間為輸出結(jié)果Excel

9.3利用回歸方程進行預測

9.3.1平均值的置信區(qū)間

9.3.2個別值的預測區(qū)間第9章一元線性回歸區(qū)間估計對于自變量

x的一個給定值x0，根據(jù)回歸方程得到因變量y的一個估計區(qū)間區(qū)間估計有兩種類型置信區(qū)間估計(confidenceintervalestimate)預測區(qū)間估計(predictionintervalestimate)9.3.1平均值的置信區(qū)間9.3利用回歸方程進行預測平均值的置信區(qū)間利用估計的回歸方程，對于自變量x的一個給定值x0

，求出因變量y

的平均值的估計區(qū)間，這一估計區(qū)間稱為置信區(qū)間(confidenceinterval)

E(y0)

在1-置信水平下的置信區(qū)間為式中：se為估計標準誤差個別值的預測區(qū)間利用估計的回歸方程，對于自變量x的一個給定值x0

，求出因變量y

的一個個別值的估計區(qū)間，這一區(qū)間稱為預測區(qū)間(predictioninterval)

y0在1-置信水平下的預測區(qū)間為注意！置信區(qū)間和預測區(qū)間置信區(qū)間和預測區(qū)間

(例題分析)點預測值置信線預測線置信區(qū)間和預測區(qū)間

(例題分析)預測時需要注意的問題在利用回歸方程進行估計或預測時，不要用樣本數(shù)據(jù)之外的x值去預測相對應(yīng)的y值因為在一元線性回歸分析中，總是假定因變量y與自變量x之間的關(guān)系用線性模型表達是正確的。但實際應(yīng)用中，它們之間的關(guān)系可能是某種曲線此時我們總是要假定這條曲線只有一小段位于x測量值的范圍之內(nèi)。如果