溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業十橢圓的簡單幾何性質(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.橢圓(m+1)x2+my2=1的長軸長是()A.2m-1m-1 C.2mm 【解析】選C.橢圓方程可簡化為x211+m+y21m=1,由題意知m>0,所以11+m2.已知橢圓C的左、右焦點的坐標分別是(-2,0),(2,0),離心率是63A.x23+y2=1 +C.x23+y22=1 D.【解析】選A.因為ca=63,且c=所以a=3,b=a2所以橢圓C的方程為x23+y3.已知橢圓2x2+y2=2的兩個焦點為F1,F2,且B為短軸的一個端點,則△F1BF2的外接圓方程為()+y2=1 B.(x-1)2+y2=4+y2=4 +(y-1)2=4【解析】選A.由2x2+y2=2得x2+y22=1,所以b=1,c=(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圓方程為x2+y,A分別為橢圓的一個焦點和頂點,若橢圓的長軸長是6,且cos∠OFA=23A.x236+B.x29+C.x220+y236=1或D.x29+y25=1或【解析】選D.當焦點在x軸上時,cos∠OFA=|OF||AF|=cc2+因為2a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5.所以橢圓方程為x29+同理,當焦點在y軸上時,橢圓方程為x25+5.橢圓x29+y2 1925或21 D.19【解析】選C.當橢圓的焦點在x軸上時,a2=9,b2=4+k,得c2=5-k.由ca=5-k3=4當焦點在y軸上時,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5.由ca=k-54+k【誤區警示】認真審題,防止丟解在求橢圓方程或利用方程研究橢圓性質時,一定要注意橢圓的位置是否確定,若沒有確定,則應該有兩解.6.(2023·全國卷Ⅰ)直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()【解析】選B.設橢圓的標準方程為=1(a>b>0)，右焦點F(c,0)，則直線l的方程為=1，即bx+cy-bc=0，由題意可知b，又a2=b2+c2，得b2c2=b2a2，所以e=7.(2023·衡水高二檢測)已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,滿足MF1→A.(0,1) B.0C.0,22 【解析】選C.設橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a,b,c,因為MF1→所以M點的軌跡是以原點O為圓心,半焦距c為半徑的圓.又M點總在橢圓內部,所以該圓內含于橢圓,即c<b,c2<b2=a2-c2,故e2<12,所以0<e<28.橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P為橢圓M上任一點,且PF1→A.14,12C.22,1 【解析】選B.設P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),則PF1→=(-c-x,-y),PF2→=(c-x,-y),PF1→·PF2→=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原點的距離的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(PF1→·PF2→)max=b2,所以c2≤b二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2023·臺州高二檢測)若橢圓的兩焦點為F1(-4,0),F2(4,0),點P在橢圓上,且△PF1F2的最大面積是12,則橢圓的短半軸長為________.【解析】設P點到x軸的距離為h,則S△PF1F2=1當P點在y軸上時,h最大,此時S△P因為|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.答案:310.(2023·嘉興高二檢測)已知橢圓x24+y23=1的左頂點為A1,右焦點為F2,點P為該橢圓上一動點,則當PF2→·P【解析】由已知得a=2,b=3,c=1,所以F2(1,0),A1(-2,0),設P(x,y),則PF2→=(1-x)(-2-x)+y2.又點P(x,y)在橢圓上,所以y2=3-34x2得PF2→·PA1→=14又x∈[-2,2],所以當x=-2時,PF2→所以P(-2,0),求得|PA1→答案:3三、解答題(每小題10分,共20分)11.已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,∠F1PF2=60°.(1)求橢圓離心率的范圍.(2)求證:△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關.【解析】(1)不妨設橢圓方程為x2a2|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=2a.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3·m=4a2-3a2=a2(當且僅當m=n時取等號).所以c2a2≥14,又0<e<1,所以e的取值范圍是12(2)由(1)知mn=43b2,所以S△PF1F2=即△PF1F2的面積只與短軸長有關.12.已知橢圓x2+y2b2=1(0<b<1)的左焦點為F,左、右頂點分別為A,C,上頂點為B,過F,B,C三點作☉P,且圓心在直線x+y=0上【解題指南】根據圓的性質,得圓心P為FC的垂直平分線與BC的垂直平分線的交點,因此分別算出FC,BC的垂直平分線方程,得到它們的交點,代入直線x+y=0解出b2,即可得出此橢圓的方程.【解析】設圓心P的坐標為(m,n),因為☉P過點F,B,C三點,所以圓心P既在FC的垂直平分線上,也在BC的垂直平分線上,FC的垂直平分線方程為x=1-c因為BC的中點為12,b所以BC的垂直平分線方程為y-b2=1由①,②聯立,得x=1-c2,y=b2-c2b因為P(m,n)在直線x+y=0上,所以1-c2+可得(1+b)(b-c)=0,因為1+b>0,所以b=c,結合b2=1-c2得b2=12所以橢圓的方程為x2+y212=1,即x2【能力挑戰題】設橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率e=32,已知點P0,3【解題指南】先設出橢圓的標準方程,根據離心率得到a,b的關系,再設M(x,y)為橢圓上的點,用兩點間距離表示出|PM|,最后利用二次函數知識求解橢圓的標準方程.【解析】設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),M(x,y)為橢圓上的點,由ca=32得a=2b,|PM|2=x若0<b<12,則當y=-b時|PM|2最大,即-b-322=7,所以b=7若b≥12,則當y=-12時,4b2+3=7,b從而a2=4.所求方程為x24+y【補償訓練】已知橢圓C的中心在原點,一個焦點為F(-2,0),且長軸長與短軸長的比是2∶3.(1)求橢圓C的方程.(2)設點M(m,0)在橢圓C的長軸上,點P是橢圓上任意一點.當|MP【解析】(1)由題意知c解得a所以橢圓C的方程為x216+(2)設P(x0,y0),