“楊輝三角”與二項式系數的性質一、三維目標1.知識與技能(1)能認識楊輝三角，并能利用它解決實際問題．(2)記住二項式系數的性質，并能解決相關問題．2．過程與方法通過觀察、分析楊輝三角數表的特點，掌握二項式系數的性質．3．情感、態度與價值觀通過“楊輝三角”的學習，了解中華民族的歷史，增強愛國主義意識．二、重點、難點重點：二項式系數的性質．難點：楊輝三角的結構．教學時從先簡單(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展開式中系數出發，進一步過渡到楊輝三角的結構，讓學生由淺入深地認識楊輝三角，從而化解難點．引導學生建立“楊輝三角”與二項式系數的性質之間關系的直覺，通過例題與練習讓學生應用性質解決問題，更深地理解性質，以強化重點、化解難點．三、教學建議本節課是將二項式系數性質的討論與“楊輝三角”結合起來，主要是因為“楊輝三角”蘊含了豐富的內容，由它可以直觀看出二項式系數的性質，教學時應采用啟發探究式教學，讓學生在觀察中歸納總結二項式系數的性質，在教學時可以引導學生從函數的角度研究二項式系數的性質，可以畫出它的圖象，利用幾何直觀，數形結合地進行思考，這對學生發現規律、形成證明思路有很大好處．四、教學流程創設問題情境，提出問題．?引導學生回答所提問題，認識楊輝三角、理解二項式系數性質．?通過例1及互動探究，進一步認識楊輝三角的結構特點．?通過例2及變式訓練，使學生掌握展開式系數和的求法．?通過例3及變式訓練，使學生掌握二項式系數的綜合應用．?歸納整理，進行課堂小結，整體認識所學知識．?完成當堂雙基達標，鞏固所學知識，并進行反饋、矯正．課標解讀1.使學生建立“楊輝三角”與二項式系數之間的直覺，并探索其中的規律．2.掌握二項式系數的性質及其應用．3.掌握“賦值法”并會靈活運用.“楊輝三角”與二項式系數的性質【問題導思】(1)觀察“楊輝三角”發現規律①第一行中各數之和為多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎樣的結論？②觀察第3行中2與第2行各數之間什么關系？第4行中3與第2行各數之間什么關系？第5行中的4、6與第4行各數之間有什么關系？由此你能得出怎樣的結論？【提示】(1)①20,21,22,23,24，第n行各數之和為2n－1.②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相鄰兩行中，除1外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和，設Ceq\o\al(r,n＋1)表示任一不為1的數，則它“肩上”兩數分別為Ceq\o\al(r－1,n)，Ceq\o\al(r,n)，所以Ceq\o\al(r,n＋1)＝Ceq\o\al(r－1,n)＋Ceq\o\al(r,n).1．楊輝三角的特點(1)在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數相等．(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和，即Ceq\o\al(r,n＋1)＝Ceq\o\al(r－1,n)＋Ceq\o\al(r,n).2．二項式系數的性質(1)對稱性：在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)，Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，…，Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).(2)增減性與最大值：當k＜eq\f(n＋1,2)時，二項式系數是逐漸增大的．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值．當n是偶數時，中間一項的二項式系數Ceq\f(n,2)n取得最大值；當n是奇數時，中間兩項的二項式系數Ceq\f(n－1,2)n，Ceq\f(n＋1,2)n相等，且同時取得最大值．3．二項式系數的和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.與楊輝三角有關的問題圖1－3－1例1如圖1－3－1所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數組成一個鋸齒形數列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，記其前n項和為Sn，求S16的值．【思路探究】觀察數列的特點、它在楊輝三角中的位置，或者聯系二項式系數的性質，直接對數列求和即可．【自主解答】由題意及楊輝三角的特點可得：S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2))＋(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3))＋(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4))＋…＋(Ceq\o\al(2,9)＋Ceq\o\al(1,9))＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,9))＋(2＋3＋…＋9)＝Ceq\o\al(3,10)＋eq\f(8×2＋9,2)＝164.解決與楊輝三角有關的問題的一般思路：(1)觀察：對題目進行多角度觀察，找出每一行的數與數之間，行與行之間的數的規律．(2)表達：將發現的規律用數學式子表達．(3)結論：由數學表達式得出結論．本例條件不變，若改為求S21，則結果如何？【解】S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2))＋(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3))＋(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4))＋…＋(Ceq\o\al(2,11)＋Ceq\o\al(1,11))＋Ceq\o\al(2,12)＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋……Ceq\o\al(2,12))＋(2＋3＋…＋11)＝Ceq\o\al(3,13)＋eq\f(2＋11×10,2)＝286＋65＝351.設(1－2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2012·x2012(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2012的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2011的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2012|的值．【思路探究】先觀察所要求的式子與展開式各項的特點，用賦值法求解．【自主解答】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2012＝(－1)2012＝1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2012＝32012.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2011)＝1－32012，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2011＝eq\f(1－32012,2).(3)∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,2023)(－2x)r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,2012)·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2012|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2012＝32012.1．本題根據問題恒等式的特點采用“特殊值”法即“賦值法”，這是一種重要的方法，適用于恒等式．2．“賦值法”是解決二項展開式中項的系數常用的方法，根據題目要求，靈活賦給字母不同值．一般地，要使展開式中項的關系變為系數的關系，令x＝0可得常數項，令x＝1可得所有項系數之和，令x＝－1可得偶次項系數之和與奇次項系數之和的差．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6.【解】(1)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2187，②由①、②得a1＋a3＋a5＋a7＝－1094，a0＋a2＋a4＋a6＝1093.例3已知f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)n展開式中各項的系數和比各項的二項式系數和大992.(1)求展開式中二項式系數最大的項；(2)求展開式中系數最大的項．【思路探究】求二項式系數最大的項，利用性質知展開式中中間項(或中間兩項)是二項式系數最大的項；求展開式中系數最大的項，必須將x，y的系數均考慮進去，包括“＋”、“－”號．【自主解答】令x＝1，則二項式各項系數的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項的二項式系數之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5為奇數，所以展開式中二項式系數最大的項為中間兩項，它們分別是假設Tr＋1項系數最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r－1,5)·3r－1，,C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r＋1,5)·3r＋1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5！,5－r！r！)×3≥\f(5！,6－r！r－1！)，,\f(5！,5－r！r！)≥\f(5！,4－r！r＋1！)×3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,r)≥\f(1,6－r)，,\f(1,5－r)≥\f(3,r＋1).))∴eq\f(7,2)≤r≤eq\f(9,2)，∵r∈N，∴r＝4.1．求二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質，當n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大；當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大．2．求展開式中系數最大項與求二項式系數最大項是不同的，需根據各項系數的正、負變化情況，一般采用列不等式組，解不等式的方法求得．求(1＋2x)7的展開式中的二項式系數最大項與系數最大項．【解】在二項式系數Ceq\o\al(0,7)，Ceq\o\al(1,7)，Ceq\o\al(2,7)，…，Ceq\o\al(7,7)中，最大的是Ceq\o\al(3,7)與Ceq\o\al(4,7)，故二項式系數最大項是第4項與第5項，即T4＝Ceq\o\al(3,7)(2x)3＝280x3與T5＝Ceq\o\al(4,7)(2x)4＝560x4.設第r＋1項的系數最大，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Tr＋1≥Tr，,Tr＋1≥Tr＋2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,7)2r≥C\o\al(r－1,7)2r－1，,C\o\al(r,7)2r≥C\o\al(r＋1,7)2r＋1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3r≤16，,3r≥13，))由于r是整數，故r＝5，所以系數最大的是第6項，即T6＝Ceq\o\al(5,7)(2x)5＝672x5.忽視二項式系數和致誤例4已知(2x－1)n二項展開式中，奇次項系數的和比偶次項系數的和小38，則Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)的值為()A．28B．28－1C．27D．27－1【錯解】設(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，由題意知B－A＝38.令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，∴(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…)＝(－3)n∴B－A＝(－3)n＝38，∴n＝8.由二項式系數性質可得，aeq\o\al(1,n)＋aeq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n＝28【答案】A【錯因分析】誤將Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)看作是二項展開式各項二項式系數和，忽略了Ceq\o\al(0,n).【防范措施】(1)解答本題應認真審題，搞清已知條件以及所要求的結論，避免失誤．(2)解決此類問題時，要對二項式系數的性質熟練把握，尤其是賦值法，要根據題目的要求，靈活賦給字母所取的不同值．【正解】設(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項的系數和為A，偶次項的系數和為B.則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二項式系數性質可得：Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n－Ceq\o\al(0,n)＝28－1.【答案】B二項式系數的有關性質的形成過程體現了觀