第二章§1一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下列說法正確的是()A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2兩點的距離之和為8的點的軌跡是橢圓B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2兩點的距離之和為6的點的軌跡是橢圓C．到F1(－4,0)，F2(4,0)兩點的距離之和等于點M(5,3)到F1，F2的距離之和的點的軌跡是橢圓D．到F1(－4,0)，F2(4,0)兩點距離相等的點的軌跡是橢圓解析：橢圓是到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡A中，|F1F2|＝8，故到F1，F2兩點距離之和為常數8的點的軌跡是線段1F中，到F1，F2的兩點距離之和為6，小于|F1F2|的距離，故這樣的軌跡不存在．C中，點(5,3)到F1，F2兩點的距離之和為eq\r(5＋42＋32)＋eq\r(5－42＋32)＝4eq\r(10)>|F1F2|＝8，故軌跡是橢圓．D中，軌跡是線段F1F2的垂直平分線．故選C.答案：C2．已知△ABC的頂點B，C在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點且橢圓的另一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長為()A．2eq\r(3) B．6C．4eq\r(3) D．12解析：根據橢圓定義知△ABC的周長l＝4a＝4eq\r(3).答案：C3．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件解析：將方程mx2＋ny2＝1轉化為eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，根據橢圓的定義，要使焦點在y軸上，必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＞0,\f(1,n)＞0,\f(1,n)＞\f(1,m)))?m＞n＞0，故選C.答案：C4．若△ABC的兩個頂點坐標為A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周長為18，則頂點C的軌跡方程為()\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)解析：因為|AB|＝8，|CA|＋|CB|＝18－8＝10，所以頂點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓(去掉長軸的兩個端點)．因2a＝10，2c＝8，所以b2＝9.所以頂點C的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．若方程eq\f(x2,k－4)＋eq\f(y2,9－k)＝1表示橢圓，則參數k的取值范圍是________．解析：依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－4＞0,9－k＞0,k－4≠9－k))，∴4＜k＜9且k≠eq\f(13,2).答案：4＜k＜9且k≠eq\f(13,2)6．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的點M到焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，則|ON|(O為坐標原點)的值為____________．解析：如圖所示．|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝eq\f(1,2)(2×5－|MF1|)＝4.答案：4三、解答題(每小題10分，共20分)7．求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點在x軸上，且經過點(2,0)和點(0,1)；(2)焦點在y軸上，與y軸的一個交點為P(0，－10)，P到它較近的一個焦點的距離等于2.解析：(1)因為橢圓的焦點在x軸上，所以可設它的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵橢圓經過點(2,0)和(0,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(22,a2)＋\f(0,b2)＝1,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4,b2＝1))，故所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)∵橢圓的焦點在y軸上，所以可設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，∵P(0，－10)在橢圓上，∴a＝10.又∵P到它較近的一個焦點的距離等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.∴所求橢圓的標準方程是eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1.8．已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內一定點B(3，0)，圓P過B點且與圓A內切，求圓心P的軌跡方程．解析：設|PB|＝r.∵圓P與圓A內切，圓A的半徑為10，∴兩圓的圓心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴點P的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓．∴2a＝10,2c＝|∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，即點P的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上是否存在點P，使P與橢圓的兩個焦點的連線互相垂直？若存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．解析：設橢圓的兩個焦點為F1、F2，依題意，a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，∴|F1F2如果所求P點存在，則|PF1|＋|PF2|