3.2.2函數模型的應用實例1．會利用給定的函數模型解決實際問題．(重點)2．能夠建立確定性函數模型解決問題及建立擬合函數模型解決實際問題．(重點、難點)[基礎·初探]教材整理函數模型的應用閱讀教材P101～P106，完成下列問題．1．常見的函數模型函數模型函數解析式(1)正比例函數模型f(x)＝kx(k為常數，k≠0)(2)反比例函數模型f(x)＝eq\f(k,x)(k為常數，k≠0)(3)一次函數模型f(x)＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)(4)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)(5)指數函數模型f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數，a≠0，b>0，b≠1)(6)對數函數模型f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數，m≠0，a>0，a≠1)(7)冪函數模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0，n≠1)(8)分段函數模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx，x∈Dn))2.建立函數模型解決問題的框圖表示圖3-2-61．某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物，已知該動物的繁殖數量y(只)與引入時間x(年)的關系為y＝alog2(x＋1)，若該動物在引入一年后的數量為100只，則第7年它們發展到()A．300只 B．400只C．600只 D．700只【解析】將x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7時，y＝100log2(7＋1)＝300.【答案】A2．據調查，某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次，其中變速車存車費是每輛一次元，普通車存車費是每輛一次元，若普通車存車數為x輛次，存車費總收入為y元，則y關于x的函數關系式是()A．y＝＋800(0≤x≤2000)B．y＝＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－＋800(0≤x≤2000)D．y＝－＋1600(0≤x≤2000)【解析】由題意知，變速車存車數為(2000－x)輛次，則總收入y＝＋(2000－x)×＝－＋1600(0≤x≤2000)．【答案】D[小組合作型]一次函數、二次函數模型的應用商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數是羊毛衫標價的一次函數，標價越高，購買人數越少．把購買人數為零時的最低標價稱為無效價格，已知無效價格為每件300元．現在這種羊毛衫的成本價是100元/件，商場以高于成本價的價格(標價)出售．問：(1)商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件多少元？(2)通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標價為每件多少元？【精彩點撥】(1)先設購買人數為n人，羊毛衫的標價為每件x元，利潤為y元，列出函數y的解析式，最后利用二次函數的最值即可求得商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件多少元即可；(2)由題意得出關于x的方程式，解得x值，從而即可解決商場要獲取最大利潤的75%，每件標價為多少元．【自主解答】(1)設購買人數為n人，羊毛衫的標價為每件x元，利潤為y元，則x∈(100,300]，n＝kx＋b(k＜0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)，y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100,300])，∵k＜0，∴x＝200時，ymax＝－10000k，即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件200元．(2)由題意得，k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，即x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150.所以，商場要獲取最大利潤的75%，每件標價為250元或150元．在函數模型中，二次函數模型占有重要的地位，根據實際問題建立二次函數解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數的單調性等方法來求函數的最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等問題.[再練一題]1．某水廠的蓄水池中有400噸水，每天零點開始由池中放水向居民供水，同時以每小時60噸的速度向池中注水，若t小時內向居民供水總量為100eq\r(6t)(0≤t≤24)，求供水開始幾小時后，蓄水池中的存水量最少.【導學號：97030141】【解】設t小時后，蓄水池中的存水量為y噸，則y＝400＋60t－100eq\r(6t)(0≤t≤24)，設u＝eq\r(t)，則u∈[0，2eq\r(6)]，y＝60u2－100eq\r(6)u＋400＝60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u－\f(5\r(6),6)))2＋150，∴當u＝eq\f(5\r(6),6)，即t＝eq\f(25,6)時，蓄水池中的存水量最少．指數函數、對數函數模型的應用聲強級Y(單位：分貝)由公式Y＝10lgeq\f(I,10－12)給出，其中I為聲強(單位：W/m2)．(1)平時常人交談時的聲強約為10－6W/m2，求其聲強級；(2)一般常人能聽到的最低聲強級是0分貝，求能聽到的最低聲強為多少？(3)比較理想的睡眠環境要求聲強級Y≤50分貝，已知熄燈后兩個學生在宿舍說話的聲強為5×10－7W/m2，問這兩位同學是否會影響其他同學休息？【精彩點撥】由公式Y＝10lgeq\f(I,10－12)可以由I求Y，也可以由Y求I，計算I＝5×10－7W/m2時的聲強級并與50作比較就可以判斷兩位同學是否會影響其他同學休息．【自主解答】(1)當I＝10－6W/m2時，代入得Y＝10lgeq\f(10－6,10－12)＝10lg106＝60，即聲強級為60分貝．(2)當Y＝0時，即為10lgeq\f(I,10－12)＝0，所以eq\f(I,10－12)＝1，I＝10－12W/m2，則能聽到的最低聲強為10－12W/m2.(3)當聲強I＝5×10－7W/m2時，聲強級Y＝10lgeq\f(5×10－7,10－12)＝10lg(5×105)＝50＋10lg5＞50，所以這兩位同學會影響其他同學休息．1．有關對數函數的應用題一般是先給出對數函數模型，利用對數運算性質求解．2．在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等問題常可以用指數函數模型表示，通常可以表示為y＝N(1＋p)x，(其中N為基數，p為增長率，x為時間)的形式．[再練一題]2．目前某縣有100萬人，經過x年后為y萬人．如果年平均增長率是%，請回答下列問題：(1)寫出y關于x的函數解析式；(2)計算10年后該縣的人口總數(精確到萬人)；(3)計算大約多少年后該縣的人口總數將達到120萬(精確到1年)．【解】(1)當x＝1時，y＝100＋100×%＝100(1＋%)；當x＝2時，y＝100(1＋%)＋100(1＋%)×%＝100(1＋%)2；當x＝3時，y＝100(1＋%)2＋100(1＋%)2×%＝100(1＋%)3；……故y關于x的函數解析式為y＝100(1＋%)x(x∈N*)．(2)當x＝10時，y＝100×(1＋%)10＝100×≈.故10年后該縣約有萬人．(3)設x年后該縣的人口總數為120萬，即100×(1＋%)x＝120，解得x＝\f(120,100)≈16.故大約16年后該縣的人口總數將達到120萬．分段函數模型的應用經市場調查，某城市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量(件)與價格(元)均為時間t(天)的函數，且銷售量近似滿足g(t)＝80－2t(件)，價格近似滿足于f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t，0≤t≤10,25－\f(1,2)t，10<t≤20))(元)．(1)試寫出該種商品的日銷售額y與時間t(0≤t≤20)的函數表達式；(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．【精彩點撥】(1)由已知，由價格乘以銷售量可得該種商品的日銷售額y與時間t(0≤t≤20)的函數表達式；(2)由(1)分段求出函數的最大值與最小值，從而可得該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．【自主解答】(1)由已知，由價格乘以銷售量可得：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t))80－2t，0≤t≤10,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,2)t))80－2t，10<t≤20，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋3040－t，0≤t≤10,50－t40－t，10<t≤20，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋10t＋1200，0≤t≤10,t2－90t＋2000，10<t≤20，))(2)由(1)知①當0≤t≤10時，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函數圖象開口向下，對稱軸為t＝5，該函數在t∈[0,5)遞增，在t∈(5,10]遞減，∴ymax＝1225(當t＝5時取得)，ymin＝1200(當t＝0或10時取得)．②當10＜t≤20時，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，圖象開口向上，對稱軸為t＝45，該函數在t∈(10,20]遞減，t＝10時，y＝1200，ymin＝600(當t＝20時取得)，由①②知ymax＝1225(當t＝5時取得)，ymin＝600(當t＝20時取得)．1．建立分段函數模型的關鍵是確定分段的各界點，即明確自變量的取值區間．2．分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規律分別求出來，再將其合到一起．[再練一題]3．國慶期間，某旅行社組團去風景區旅游，若旅行團人數在30人或30人以下，每人需交費用為900元；若旅行團人數多于30人，則給予優惠：每多1人，人均費用減少10元，直到達到規定人數75人為止．旅行社需支付各種費用共計15000元.【導學號：97030142】(1)寫出每人需交費用y關于人數x的函數；(2)旅行團人數為多少時，旅行社可獲得最大利潤？【解】(1)當0＜x≤30時，y＝900；當30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1200－10x；即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0<x≤30,1200－10x，30<x≤75.))(2)設旅行社所獲利潤為S元，則當0＜x≤30時，S＝900x－15000；當30＜x≤75，S＝x(1200－10x)－15000＝－10x2＋1200x－15000；即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0<x≤30,－10x2＋1200x－15000，30<x≤75.))因為當0＜x≤30時，S＝900x－15000為增函數，所以x＝30時，Smax＝12000；當30＜x≤75時，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，即x＝60時，Smax＝21000＞12000.所以當旅行團人數為60時，旅行社可獲得最大利潤．[探究共研型]擬合數據構建函數模型探究1畫函數圖象的一般步驟有哪些？【提示】列表、描點、連線．探究2學校食堂要了解全校師生的午間就餐情況，以備飯菜，你能用數學知識給予指導性說明嗎？【提示】第一步：收集樣本一周的數據，制成樣本點．如(1，x1)，(2，x2)，…，(7，x7)．第二步：描點，對上述數據用散點圖的形式，給予直觀展示．第三步：數據擬合，選擇一個合適的數學模型擬合上述樣本點．第四步：驗證上述模型是否合理、有效，并做出適當的調整．某企業常年生產一種出口產品，自2023年以來，每年在正常情況下，該產品產量平穩增長．已知2023年為第1年，前4年年產量f(x)(萬件)如下表所示：x1234f(x)(1)畫出2023～2023年該企業年產量的散點圖；(2)建立一個能基本反映(誤差小于這一時期該企業年產量變化的函數模型，并求出函數解析式；(3)2023年(即x＝5)因受到某國對我國該產品反傾銷的影響，年產量減少30%，試根據所建立的函數模型，確定2023年的年產量為多少？【精彩點撥】eq\x(描點)eq\o(→,\s\up14(依散點圖))eq\x(選模)eq\o(→,\s\up14(待定系數法))eq\x(求模)eq\o(→,\s\up14(誤差))eq\x(驗模)→eq\x(用模)【自主解答】(1)畫出散點圖，如圖所示．(2)由散點圖知，可選用一次函數模型．設f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝,b＝，))∴f(x)＝＋.檢驗：f(2)＝，且|－|＝<.f(4)＝，且|－|＝<.∴一次函數模型f(x)＝＋能基本反映年產量的變化．(3)根據所建的函數模型，預計2023年的年產量為f(5)＝×5＋＝10萬件，又年產量減少30%，即10×70%＝7萬件，即2023年的年產量為7萬件．函數擬合與預測的一般步驟是：1根據原始數據、表格，繪出散點圖.2通過考察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線.3求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式.4利用函數關系式，根據條件對所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據.[再練一題]4．某電視新產品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數x(1≤x≤4，x∈N*)之間關系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100x【解析】當x＝4時，A中，y＝400，B中，y＝700，C中，y＝800，D中，y＝1004.故選C.【答案】C1．在某個物理實驗中，測得變量x和變量y的幾組數據，如下表：xy－則對x，y最適合的擬合函數是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x【解析】根據x＝，y＝－，代入計算，可以排除A；根據x＝，y＝，代入計算，可以排除B，C；將各數據代入函數y＝log2x，可知滿足題意．【答案】D2．某工廠生產某種產品固定成本為2000萬元，并且每生產一單位產品，成本增加10萬元．又知總收入K是單位產品數Q的函數，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，則總利潤L(Q)的最大值是________萬元．【解析】因為L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500，所以，當Q＝300時，L(Q)的最大值為2500萬元．【答案】25003．某商人將彩電先按原價提高40%，然后在廣告上寫上“大酬賓，八折優惠”結果是每臺彩電比原價多賺了270元，則每臺彩電的原價為________元．【解析】設彩電