第5章離散信號與系統的時域分析離散時間信號5.1離散系統的數學模型和模擬5.2離散系統的零輸入響應5.3離散系統的零狀態響應5.4在本章以前，我們所討論的系統均屬連續時間系統，這類系統用于傳輸和處理連續時間信號。此外，還有一類用于傳輸和處理離散時間信號的系統稱之為離散時間系統，簡稱離散系統。數字計算機以及數字通信系統和數字控制系統的主要部分均屬于離散系統。鑒于離散系統在精度、抗干擾能力和可集成化等諸方面，比連續系統具有更大的優越性。隨著數字技術和計算機技術的飛速發展，大量原屬于連續信號和系統的問題，越來越多地轉化成離散信號和系統的問題加以處理。

關于離散信號和系統的分析，在許多方面都與連續信號和系統的分析相類似，兩者之間具有一定的平行關系。在系統特性的描述方面，連續系統輸入-輸出關系的數學模型是微分方程。離散時間系統輸入-輸出關系的數學模型是差分方程；在系統分析方法方面，連續系統有時域、頻域和S域分析法，離散系統有時域、頻域和Z域分析法；在系統響應的分解方面，則都可以分解為零輸入響應和零狀態響應，等等。無疑，在進行離散信號與系統的學習時，經常把它與連續信號與系統相對比，這對于其分析方法的理解、掌握和運用是很有幫助的。但應該指出，既然是兩類不同的問題，離散信號與系統有自己的特殊性，必然存在一些差別，學習時也應該注意這些差別。本章討論離散信號與系統的時域分析。

5.1離散時間信號5.1.1離散時間信號的時域描述

連續時間信號，在數學上可以表示為連續時間變量t的函數，除個別間斷點外，這些信號的波形是光滑的曲線，如圖5.1-1（a）所示，這一類信號稱為模擬信號（analogsignal）。大多數客觀存在的信號都是屬于這一類信號。還有一類信號（如電報信號等），雖然它的時間取值是連續的，但它的幅度卻只限于有限個數值，這一類信號稱為量化信號（quantizedsignal），如圖5.1-1（b）所示。以上兩類信號都是連續時間信號。離散時間信號（簡稱離散信號，discretesignal）與連續時間信號不同，它僅在一系列離散的時刻才有定義，因此它是離散時間變量tk的函數，如圖5.1-1（c）所示的離散信號只在t1、t2、t3…時刻有定義，在t1和t2，t2和t3…之間則沒有定義。如果信號不僅在時間取值是離散的，而且在幅度上又是量化的，則稱為數字信號（digitalsignal），如圖5.1-1（d）所示，在數字通信和計算機中傳輸和處理的信號就是數字信號。今后所討論的離散信號，可以是數字信號，也可以不是。兩者在分析方法上并無區別。有些信號盡管它們實際上是連續的，但是如果滿足取樣定理的要求，僅對它們的取樣值感興趣，或者由于無法或沒有必要了解它們整個過程的連續變化情況，而只能或只需測得其取樣值，也可以把它們當作離散時間信號來看待。所以離散時間信號可以是連續時間信號經過離散化（即取樣）的結果。用f(tk)表示離散時間信號，其中tk表示離散的時刻，通常離散時刻之間的間隔T是均勻的，即T=tk+1-tk為常量，故可以用f(kT)來表示離散時間信號，簡寫為f(k)。也就是說離散時間信號抽象為離散變量k的函數，這里k的取值為整數。這樣做不僅簡便而且具有更為普遍的意義，即離散變量k可以不限于代表時間。離散信號在數學上可以表示為數值的序列，為了方便，序列f(k)與序列的第k個值兩者在符號上不加區別。離散信號的函數值是一個序列{…，3，1，0，0，1，3，6，…}(下面畫有短線的數值是序號k=0的數值)。它的圖形如圖5.1-2所示，為了醒目，這些離散值畫成一條條不同高度的垂線，其中每條垂線的端點才是實際的函數值。

根據離散變量k的取非零值范圍，序列可分為以下三種情況：若序列f(k)對所有的整數)都存在非零確定值，稱這類序列為雙邊序列。若，則f(k)稱為有始序列或右邊序列，反之若，則f(k)稱為有終序列或左邊序列。而的有始序列稱為因果序列，的有終序列稱為反因果序列。統稱為單邊序列。若f(k)僅在，整數)區間有非零確定值，稱這類序列為有限序列。5.1.2離散信號的一些基本運算在離散信號與系統分析中，常遇到序列的某些基本運算。1.序列相加序列f1(k)與f2(k)相加，是指兩個序列同序號的數值逐項相應相加，而構成一個新的序列f(k)，即（5.1-1）2.序列相乘序列f1(k)與f2(k)相乘，是指兩個序列同序號的數值逐項相應相乘，而構成一個新的序列f(k)，即（5.1-2）3.序列折疊與位移

f(k)的自變量k如果用-k代替，即得到一個新序列f(-k)，表示f(k)相對于縱軸翻轉，稱為序列折疊。如圖5.1-3（b）所示。序列向后（右）移位是指原序列f(k)逐項依次后移或右移m位，而得到一個新的序列f(k-m)；序列向前（左）移位是指原序列f(k)逐項前移或左移m位，而得到一個新的序列f(k+m)。分別如圖5.1-3（c）、（d）所示。4.

序列的差分序列f(k)的一階前向差分（forwarddifference）Δf(k)定義為（5.1-3）一階后向差分（backwarddifference）定義為(5.1-4）同理，可以定義二階前向差分，二階后向差分。(5.1-5）(5.1-6）依次類推，可以得到更高階的前向和后向差分。差分與連續系統中的微分相對應。5.序列求和（累加）序列的求和定義為（5.1-7）這是與連續系統中的積分相對應的運算。最后指出，對于離散信號，由于僅在為整數時才有意義，進行尺度變換或波形的展縮時可能會使部分信號丟失或改變，因此，一般情況下不研究離散信號的尺度變換。5.1.3常用的離散信號1.單位函數單位函數的定義為（5.1-8）這個信號也稱為單位樣值信號和單位脈沖序列，必須注意在k=0時的幅度為有限值1，而不是象那樣在t=0時的幅度為∞。同理，可以定義延時單位脈沖序列。

（1）篩選特性(5.1-10）（2）加權特性（5.1-11）應用此性質，很容易理解把任意離散信號f(k)表示為單位函數的延時加權和，即（5.1-12）2.單位階躍序列單位階躍序列定義為（5.1-13）012341k…圖5.1-6單位階躍序列單位階躍序列與單位函數有如下關系：（5.1-16）（5.1-17）（5.1-18）或式（5.1-16）的成立是明顯的，式（5.1-17）的正確性在于僅在n=0時為1，其余n取值時為0，所以當k<0時，求和式為零，而當時，求和式為1，即3.斜變序列4.正弦序列正弦序列的表達式為（5.1-19）

這里幅值A、初相φ的含義與模擬正弦信號相同，但正弦序列的數字角頻率Ω0的含義與一般模擬信號模擬角頻率ω0的概念不同。由于離散信號定義的時間為kT，顯然有

Ω0=ω0T（5.1-20）模擬角頻率ω0的單位是rad/s，而數字角頻Ω0的單位為rad/s·s=rad。

Ω0表示相鄰兩個樣值間弧度的變化量。5.指數序列指數序列的一般形式為式中，A和可以是實常數，也可以是復常數。根據A和的取值不同，指數序列有下面幾種情況：(1)

若A和均為實數，則(5.1-22)為實指數序列。(2)若，A=1，

，

為虛指數序列。(5.1-23)根據歐拉公式，式(5.1-23)可寫成(5.1-24)可見，虛指數序列的實部和虛部都是正弦序列，只有其實部或虛部為周期序列時虛指數序列才是周期的。即只有滿足2/Ω0為有理數時，虛指數序列才是周期序列。(3)若A和均為復數，則為一般形式的復指數序列。虛指數序列的實部和虛部的波形如圖5.1-10所示。6.Z序列

Z序列可表示為(5.1-26)式中，z為復數。通常稱之為復序列。若取z為極坐標的形式由歐拉公式，可寫成(5.1-28)顯然，Z序列與復指數序列只是表示形式不同，并無本質上的差別。

以后的討論將會表明，在離散信號與系統的分析中，與連續時間基本信號相對應的離散時間基本信號也具有非常相似的地位和作用。5.2離散系統的數學模型和模擬5.2.1離散系統的數學模型----差分方程

輸入和輸出都是離散信號的系統稱為離散系統，設輸入信號為x(k)，輸出信號為y(k)，離散時間系統可用圖5.2-1表示。我們把輸出y(k)看作是系統對輸入x(k)作用或處理的結果，表示為

y(k)=S[x(k)

]（5.2-1）在連續時間系統中，描述輸入和輸出關系的數學模型是微分方程。對于離散時間系統，由于變量k(或tk=kT)是離散的，因此必須采用另一種數學模型來描述，即差分方程來描述其輸入和輸出的關系。

與連續系統類似，離散系統同樣可以分為線性與非線性系統；時變與時不變系統，本書只討論線性時不變離散系統。線性時不變離散系統的差分方程是常系數線性差分方程，具有如下兩種形式：或寫成（5.2-2）在式（5.2-2）的差分方程中，各序列的序號自k以遞增方式給出，稱為前向(或左移序)差分方程。另一種形式（5.2-3）式（5.2-3）中，各序列的序號自k以遞減方式給出，稱為后向(或右移序)差分方程。

在常系數線性差分方程中，各序列的序號同時增加或減少同樣的數目，該差分方程所描述系統的輸入輸出關系不變。因此前向差分方程和后向差分方程的相互轉換是非常容易的，在應用中，究竟采用哪一種形式的差分方程比較方便，要根據具體情況來確定。

差分方程不僅僅用來描述離散系統，微分方程的數值解也往往可以借助于差分方程。

5.2.2離散時間系統的模擬既然差分方程與微分方程相似，則對于離散時間系統也可以象連續時間系統那樣用適當的運算單元連接起來加以模擬。離散系統的模擬通常用延時器、加法器和標量乘法器組成。加法器和標量乘法器的功能和符號與連續系統相同，延時器則與積分器相對應，它實際上是一個存儲器，它把信號存儲一個取樣時間T，常采用延時線或移位寄存器。延時器的時域表示符號如圖5.2-4（a）所示。若初始狀態不為零，則于延時器的輸出處用一加法器將初始狀態引入，如圖5.2-4（b）所示。

現在來討論如何運用延時器、加法器和標量乘法器對離散時間系統進行模擬。對于一般的二階離散時間系統，若方程為（5.2-8）則與連續時間系統的模擬一樣。引入輔助函數，使（5.2-9）應有（5.2-10）這樣，式（5.2-8）就可以用式（5.2-9）和（5.2-10）兩式來等效，式（5.2-8）差分方程所描述的系統就可以用下圖來模擬。x(k)q(k)q(k＋1)q(k＋2)y(k)5.3離散系統的零輸入響應與連續時間系統的時域分析法求解微分方程一樣，在離散時間系統的時域分析法求解差分方程時，也可以分別求解相應的齊次差分方程，求出僅由初始儲能引起的零輸入響應和求解非齊次差分方程，求出僅由激勵引起的零狀態響應，然后疊加求得全響應。即從求解齊次差分方程的過程來看，差分方程和微分方程的求解有很多相類似的地方，所不同的是微分方程齊次解具有est的形式，而差分方程的齊次解則有rk的形式，其中s和r分別是微分方程和差分方程的特征根；但在初始條件的描述方面，微分方程和差分方程有所不同。在計算差分方程的零輸入響應時，必須判別已知初始條件哪些是僅由初始儲能引起的，并遞推出所需的零輸入初始條件。5.4離散系統的零狀態響應

離散時間系統求解零狀態響應，可以直接求解非齊次差分方程得到。求解方法與經典法計算連續時間系統零狀態響應相似。即首先求齊次解和特解，然后代入僅由激勵引起的初始條件[若激勵在k=0時接系統，根據系統的因果性，零狀態條件為y(-1)=y(-2)=...=0]確定待定系數。但當激勵信號較復雜，且差分方程階數較高時，上述求解非齊次差分方程的過程相當復雜，因此，與連續時間系統的時域分析一樣，離散時間系統計算零狀態響應也常用卷積分析法。

5.4.1離散信號的分解與卷積和連續時間系統的卷積分析法其基本過程是：將激勵信號x(t)分解為一系列加權的沖激信號，根據系統對各個沖激的響應，疊加得到系統對激勵信號x(t)的零狀態響應。這個疊加是連續疊加，表現為求卷積積分。在離散時間系統中，情況也大體相似，略有不同的是，激勵信號本來就是一個離散的序列。因此，第一步分解工作十分容易進行，離散的激勵信號中的每一個離散量施加于系統，系統輸出一個與之相應的響應，每一響應也均是一個離散序列，最后把這些響應序列疊加起來，就得到系統對任意激勵信號的零狀態響應。這個疊加是離散疊加(即求和運算，而不是積分運算)，疊加的過程表現為求卷積和。

在連續時間系統中，用卷積分析法計算零狀態響應時，單位沖激函數(t)和單位沖激響應h(t)起著十分關鍵的作用，在離散時間系統中，相應的單位函數和單位函數響應同樣起著十分重要的作用。如果已知離散時間系統對單位函數(k)的零狀態響應為h(k)。根據線性時不變系統的零狀態響應疊加性和時不變性，則系統對x(n)(k-n)的零狀態響應為y(n)(k-n)，則系統對任意激勵信號的零狀態響應為（5.4-1）式（5.4-1）稱為和的卷積和（convolutionsum）或離散卷積（discreteconvolution），用卷積符號記為（5.4-2）顯然，由式(5.1-12)，與單位函數的卷積和仍然是本身，即可見，離散時間系統的零狀態響應可由激勵信號x(k)與系統的單位函數響應h(k)的卷積和獲得。這一點也與連續時間系統通過卷積積分求零狀態響應相一致。同樣可以證明卷積和的代數運算與卷積積分的代數運算亦相同，也服從交換律、分配律和結合律。

對于因果系統來說，由于單位函數(k)僅存在于

k=0時刻，故當

k<0時單位函數響應h(k)=0；k<n時，h(k-n)=0。若x(k)是有始信號，且

k<0時，x(k)=0，則式（5.4-1）中求和取值區間只需從0到k即可，即（5.4-6）更一般的情況，k<k1時，x(k)=0；而k<k2時，h(k)=0。則有類似于式（2.3-14）的結論，即（5.4-7）計算卷積和也可以使用圖解法，其運算過程與卷積積分的過程相似。只是求和運算代替了積分運算。設兩個離散函數（序列）為x(k)和h(k)，則其卷積和計算步驟如下：

1.換元：將x(k)和h(k)中的變量k更換成變量n；2.折疊：作出h(n)相對于縱軸的鏡象h(-n)；

3.位移：將折疊后的h(-n)沿n軸平移一個k值，得h(k-n)；4.相乘：將移位后的h(k-n)序列乘以x(k)；

5.求和：把h(k-n)和x(k)相乘所得的序列相加，即為k值下的卷積值。例5.4-2離散時間系統的激勵信號x(k)={2,1,5}，單位函數響應h(k)={3,14,2}，試求其零狀態響應。

解:在這個例題中，兩個序列都是有限序列，可以應用一種優于例5.4-1的方法，即依照普通