【第【第1頁共11頁】概率論與數理統計試卷一二一二三四五六七八總分………… 一、單項選擇題〔從以下各題四個備選答案中選出一個正確答案，…… 并將其字母代號寫在該題【 】內。答案錯選或未選者，該題不得分。…線 每題2分，共10分〕… 1… 1. 設隨機變量X 的分布密度p(x)……………

(1x2)

，則Y2X的分布密度為 .【 】… (a) 1…… (14x2)……

；(b) 2(4x2)

； (c) 1

； (d) 1

arctanx．… 2.x1,x2,…,xn…相互獨立,1/2的指數分布,則訂n… n充分大時,Yn……

=1ni1

x的概率分布近似聽從 . 【 】i…… (a)N(2,4) (b)N(2,4/n) (c)N(1/2,1/4n) (d)N(2n,4n)……… 3.設總體X聽從正態分布N(2，其中2X,X,X…1 2 3

是總體X的…… 一個簡潔隨機樣本，則以下表達式中不是統計量的是 ． 【 】……… 〔a〕XX裝 1 2…

X；〔b〕min(X,X3 1

3

3 i2i1

〔d〕X2．… 4．在假設檢驗問題中，檢驗水平意義是 ． 【 】…0… H成立，經檢驗被拒絕的概率；0…0… 〔b〕H0………… H0…

不成立，經檢驗被拒絕的概率；※※※※號學名※※※※號學名姓級班※※※…… 5．在線性回歸分析中，以下命題中，錯誤的選項是 . 【 】〔a〕SSR越大，SSE越小； 〔b〕SSE越小，回歸效果越好；〔c〕r越大，回歸效果越好； 〔d〕r越小，SSR越大．〔210〕設離散型隨機變量X只取x1和x2兩個可能值(且x1<x2),又P{X=x1}=0.2,E(X)=2.6,方差D(X)=0.64,則x1= , x2= 。從10個數字0,1,2,3,…,9中任取兩個數字,其和大于10的概率為 .3.設A,B為兩個大事,P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B/A)=0.8,則P(A∩B)= .在單因素方差分析中，試驗因素A的r個水平的樣本總容量為n，則當原假設H0成立時，SSA2聽從 分布，MSAMSE聽從 分布.在線性回歸分析中，回歸平方和的含義是 .三、(10分，要求寫清步驟及結果).假設一條自動生產線生產的產76%84%之間的概率不小于90%，問:這批產品至少要生產多少件？(附：Φ(1.64)=0.95，其中Φ(x))四、(10分，要求寫清步驟及結果)為估量魚池內的魚數,第一次捕,2023尾,結果發500尾有記號,試用極大試然法估量魚池內的魚數。1，混合后從魚池內捕出的第i條魚有記號，提示:用Xi= i=1,2,…,2023.0，否則。〔2023Nx 12023NxN表示魚池的魚數, P{Xi=xi}= i i )五、(12分，要求寫清步驟及結果)某樹種的木材橫紋抗壓力遵從正態分布,9個,做橫紋抗壓力試,獲得以下數據(kg/cm2):482, 493, 457, 510, 446, 435, 418, 394, 469.試求：該木材的平均橫紋抗壓力的95%的置信區間. (附：t0.975(9-1)=2.306)參考答案與評分標準該題【 】內。答案錯選或未選者，該題不得分。每題2分，共10分〕設隨機變量X的概率密度p(x) 1 則Y2X的分布密度為 . 【b】(1x2)(a) 1 ；(b) 2 ； (c) 1 ； (d) 1arctanx．(14x2) (4x2) x1,x2,…,xn…相互獨立,1/2的指數分布,則

=1ni1

x的概率分布近似聽從 . 【b】i(a)N(2,4) (b)N(2,4/n) (c)N(1/2,1/4n) (d)N(2n,4n)設總體X聽從正態分布N(2，其中2X,X,X是總體X的一個1 2 3簡潔隨機樣本則以下表達式中不是統計量的是 ． 【C】3 X2〔a〕XX1 2

X；〔b〕min(X,X3 1

3

ii1

；〔d〕X2．在假設檢驗問題中，檢驗水平意義是 ． 【a】H0成立，經檢驗被拒絕的概率；H0成立，經檢驗不能拒絕的概率；H0不成立，經檢驗被拒絕的概率；H0不成立，經檢驗不能拒絕的概率．在線性回歸分析中，以下命題中，錯誤的選項是 . 【d 】〔a〕SSR越大，SSE越小； 〔b〕SSE越小，回歸效果越好；〔c〕r越大，回歸效果越好； 〔d〕r越小，SSR越大．2分，10〕設離散型隨機變量X只取x1和x2兩個可能值(且x1<x2),又P{X=x1}=0.2,E(X)=2.6,方差D(X)=0.64,則x1= 1 , x2= 3 。10100,1,2,3,…,9中任取兩個數字,10的概率為16C210

=0.356.P(B)=0.6,P(B/A)=0.8,P(AB)=0.2.在單因素方差分析中，試驗因素A的r個水平的樣本總容量為n，則當原假設H0成立時，SSA2聽從 X2(r1) 分布，MSAMSE聽從 F(r1,nr) 分布.在線性回歸分析中，回歸平方和的含義是xy的影響程度.90%，問這批產品至少要生產多少件？(附：Φ(1.64)=0.95，其中Φ(x))解：假設至少要生產nX表示nX~B(n,0.8.由題意，應當確定生產產品數n〔2分〕P X

〔2分〕0.76

0.840.90 ．．．．．．．．．．．．．n DeMoivre-Laplace定理，當nXN(0.8n,0.16n，故P X

0.04nX0.8n0.4 n0.4 n0.76n0.84P 2(0.1n)X0.8n0.4 n0.4 n n即 (0.1 n)0.95. ．．．．.．．．．．〔4分〕n0.1

1.64.從而n268.96n269件.．．〔2分〕,2023尾,做了,2023尾,500尾有記號,試用極大試然法估量魚池內的魚數。解：

i=1,2,…,2023.i 0，否則。

〔2023N

12023Nx用N表示魚池的魚數, P{Xi=xi}= i i2023

xi 似然函數

202312023

．．．．．．〔4分〕2023 xi

20232023 xi

i120232023x120232023(x)xｌn(2023/N)+2023(1x)ｌn(12023/N)．．．．．〔2分〕求導數:

dl=2023 x1+2023(1x)

2023

=0, ．．．．．．〔2dN N

N(N2023)分〕得: ^=

2023 2023

〔2分〕N =8000. ．．．．．．x 500/2023五、(12分，要求寫清步驟及結果) 某樹種的木材橫紋抗壓力遵從正態分布,隨機抽取該中木材的試件9個,做橫紋抗壓力試驗,獲得以下數單位kg/cm2): 482, 493, 457, 510 ,446, 435, 418, 394, 469.試求

(9-1)=2.306)0.975解：此為小樣本問題.總體X具有分布為N(,2),,2 均未知.用n(xn(x)s*

) ．．………………．．．．〔4分〕nn1(x)x=456, s*=37.0135, s=34.8967, ．．………………．．．．〔4分〕n s*n

t0.975

(9-1)=28.45,

．．………………．．．．〔2分〕[x,x]=[427.55,484.45].為此抽樣下的置信區間. ．．………………．．．．〔2分〕六、(15分，要求寫清步驟及結果) 苗床上,分別抽取10株苗木,測得苗高數據(單位:cm)如下表:行和施肥77.379.181.079.182.177.3475.9不施肥75.576.278.172.477.476.7456.3設苗木的苗高聽從正態分布,且為重復抽樣.(取顯著水平α=0.01)檢驗施肥苗床的苗木的苗高的方差是否一樣？問施肥苗床的苗木的苗高是否顯著高于不施肥苗床上苗木的苗高.0。975 0.95〔附：F 〔6-1，6-1〕=7.15，t (6+6-2)=1.8120。975 0.95:解:1. :0 1 2分〕

H:21 1

22

,．．

…．．．．〔1220 F=1 s*22s分〕

1.9422.0052

=0.936, ．．…．．．．〔4130 w={F>7.15}{F<1/7.15=0.14}; ．．1分〕

…．．．．〔２40 Fw1

中,承受H0

:2212

=2. ．．…．．．．〔1分〕0 1 2 1 12. 10提出假設:H = H: > , 0 1 2 1 1s*2s*2123.7624.019

=2.869; ．…〔4分〕230 w={T>1.812} 2分〕

…〔140Tw中,拒絕H

,承受H: >

.〔12 0 1 分〕

1 1 2七、(15分，要求寫清步驟及結果)3種不同的處理方法,每種方法做6次重復試驗,一年后,苗高數據如下表:處理處理方法yij(cm)行和1239.229.025.833.541.737.2T.=206.4137.327.723.433.429.235.6T.=186.62320.833.828.623.422.730.9T.=160.23試問不同的處理方法是否有顯著差異?請列出方差分析表.3.哪種處理方法最好？〔附:=0.05,F0.95(3-1,18-3)=3.68〕解：１．Ｔ＝553.2,x=30.73,x1=34.4,x2=31.1,x3=26.7;C=T2/n=17001.68;SST=3 6

2-C=17640.66 17001.68=638.98;x–ijx–i1j13SSA=6(xix)2i1

=179.08,MSA=SSA/2=89.54;SSE=SST-SSA=459.9,MSE=SSE/15=30.66, F=MSA/MSE=2.92;沒有顯著差異.2.平方和平方和SST=638.98SSA=89.54SSE=30.66臨界值3.682.92-不顯著由于不同的處理方法沒有顯著差異,所以談不上哪種處理方法最好.八、(18分，要求寫清步驟及結果)為爭論某種商品的單位家庭的月需x之間的關系,得數據如下:(α=0.05)Xi(元)1.02.02.02.32.52.62.83.03.33.5月需求量Yi〔500克〕5.03.53.02.72.42.52.01.51.31.2xylxx

，l ，l ；yyxyyy95%的置信區間.〔附：t

(10－2)=2.306，r0.975

(10－2)=0.6319，F0.05

0.95

(１,10－2)＝5.32) SSE〔提示：推測公式ty0

y)0

[11/n(x0

x)2/lxx

]~t(n2))

=55.3,lxx

=4.78,lxy

=-7.45,lyy

=11.929;〔4分〕^ ^ ^2.=lxy

/l =-1.56，=y-x=6.406，xx^ 〔4得閱歷線性回歸方程：y＝6.406－1.56x; ．…．分〕…3.提出假設:H=0 H0, ． 〔２…0 1分〕^ ^統計量:F=SSR/MSE=lxylxxlxxMSE

/(lyy

-lxy

)=290.25,

4.780.04l4.780.04lxxlyyT= =1.56 lxxlyy拒絕蜮:W={F>5.32}={|T|>2.306}={|r|>0.6319} ．…〔４分〕H:=0,即認為線性回歸方程顯著.0點估量

^y0=4.0686,

1

nn2SSE[11/n(x x)2/l0xx] 1 t0.975(10 2)=0.528, …〔２分〕得區間估量 : y0[3.5406,4.596]. …〔２分〕【第【第10頁共11頁】六(15分要求寫清步驟及結果) 底肥與不施底肥的兩塊苗床上,分別抽取10株苗木,測得苗高數據(單位:cm)如下表:行和施肥行和施肥77.379.181.079.182.177.3475.9不施肥75.576.278.172.477.476.7456.3………………設苗木的苗高聽從正態分布,且為重復抽樣.(取顯著水平α=0.05)問: ……檢驗施肥苗床的苗木的苗高的方差是否一樣？ ……問施肥苗床的苗木的苗高是否顯著高于不施肥苗床上苗木的苗高. ……〔附：F

〔6-1，6-1〕=7.15，t

(6+6-2)=1.812〕 線0。975

0