學業分層測評(建議用時：45分鐘)學業達標]一、填空題1．10件產品中有7件正品、3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________．【解析】由超幾何分布的概率公式可得P(恰好取到一件次品)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,7),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)2．有同一型號的電視機100臺，其中一級品97臺，二級品3臺，從中任取4臺，則二級品不多于1臺的概率為________．(用式子表示)【解析】二級品不多于1臺，即一級品有3臺或者4臺，其概率為eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,97)＋C\o\al(4,97),C\o\al(4,100)).【答案】eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,97)＋C\o\al(4,97),C\o\al(4,100))3．下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是________．①將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數為X；②從7男3女的10名學生干部中選出5名優秀學生干部，女生的人數為X；③某射手的命中率為，現對目標射擊1次，記命中的次數為X；④盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時摸球的總次數．【解析】①③均為重復試驗，不符合超幾何分布總體的分類要求；②④總體分為明確的兩類，但④中的隨機變量X不是抽取樣本中一類元素的個數．【答案】②4．一個盒子里裝有相同大小的黑球10個，紅球12個，白球4個，從中任取2個，其中白球的個數記為X，則P(X≤1)＝________.【解析】由已知X～H(2,4,26)，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,22),C\o\al(2,26))，故P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,22)＋C\o\al(1,22)C\o\al(1,4),C\o\al(2,26))＝eq\f(319,325).【答案】eq\f(319,325)5．從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取3臺，其中兩種品牌的彩電齊全的概率是________．【解析】P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＋eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(9,10).【答案】eq\f(9,10)6．某校從學生會中的10名女生干部與5名男生干部中隨機選取6名學生干部組成“文明校園督察隊”，則組成4女2男的“文明校園督察隊”的概率是________．(用式子表示)【解析】組成4女2男的“文明校園督察隊”的概率為eq\f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,5),C\o\al(6,15)).【答案】eq\f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,5),C\o\al(6,15))7．在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質期．從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過了保質期飲料的概率為________．(結果用最簡分數表示)【解析】從這30瓶飲料中任取2瓶，設至少取到1瓶已過了保質期飲料為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,27)C\o\al(1,3),C\o\al(2,30))＋eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,30))＝eq\f(28,145).【答案】eq\f(28,145)8．50張彩票中只有2張中獎票，今從中任取n張，為了使這n張彩票里至少有一張中獎的概率大于，n至少為________.【導學號：29440040】【解析】用X表示中獎票數，P(X≥1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(n－1,48),C\o\al(n,50))＋eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(n－2,48),C\o\al(n,50))>，解得n≥15.【答案】15二、解答題9．老師要從10篇課文中隨機抽3篇讓學生背誦，規定至少要背出其中2篇才能及格．某同學只能背誦其中的6篇，試求：(1)抽到他能背誦的課文的數量的分布列；(2)他能及格的概率．【解】(1)設抽到他能背誦的課文的數量為X，X～H(3,6,10)．則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,6)C\o\al(3－k,4),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,6)C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6).所以X的分布列為X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(2)他能及格的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).10．袋中有形狀大小完全相同的4個紅球，3個黑球，從袋中隨機取球，設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球．(1)求得分X的概率分布；(2)求得分大于6分的概率．【解】(1)從袋中隨機取4個球有1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅四種情況，分別得分為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5,6,7,8.∴P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35).故所求概率分布為X5678Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)(2)根據隨機變量X的概率分布，可以得到得分大于6分的概率為P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq\f(12,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(13,35).能力提升]1．在六個數字1,2,3,4,5,7中，若隨機取出三個數字，則剩下三個數字都是奇數的概率是________．【解析】剩下三個數字都是奇數，則取出的三個數字為兩偶一奇．故P＝eq\f(C\o\al(2,2)·C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝.【答案】2．現有語文、數學課本共7本(其中語文課本不少于2本)，從中任取2本，至多有1本語文課本的概率是eq\f(5,7)，則語文課本有________本.【導學號：29440041】【解析】設語文課本有m本，任取2本書中的語文課本數為X，則X服從參數為N＝7，M＝m，n＝2的超幾何分布，其中X的所有可能取值為0,1,2，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,m)C\o\al(2－k,7－m),C\o\al(2,7))(k＝0,1,2)．由題意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,m)C\o\al(2,7－m),C\o\al(2,7))＋eq\f(C\o\al(1,m)C\o\al(1,7－m),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,2)×eq\f(7－m6－m,21)＋eq\f(m7－m,21)＝eq\f(5,7)，∴m2－m－12＝0，解得m＝4或m＝－3(舍去)．即7本書中語文課本有4本．【答案】43．某電視臺在一次對收看新聞節目觀眾的抽樣調查中，隨機抽取了45名電視觀眾，其中20至40歲的有18人，大于40歲的有27人．用分層抽樣方法在收看新聞節目的觀眾中隨機抽取5名，在這5名觀眾中再任取2名，則恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率為_____________________________________．【解析】由于是分層抽樣，所以5名觀眾中，年齡為20至40歲的有eq\f(18,45)×5＝2人．設隨機變量X表示20至40歲的人數，則X服從超幾何分布H(2,2,5)，故P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)4．從某批產品中，有放回地抽取產品二次，每次隨機抽取1件，假設事件A“取出的2件產品都是二等品”的概率P(A)＝.(1)求從該批產品中任取1件是二等品的概率；(2)若該批產品共10件，從中任意抽取2件，X表示取出的2件產品中二等品的件數，求X的概率分布．【解】(1)設任取一件產品是二等品的概率為p，依題意有P(A)＝p2＝，解得p1＝，p2＝－(舍去)．故從該批產品中任取1件是二等品的概率為.(2)若該批產品共10件，由(1)知其二等品有10×＝2件，故X的可能取值為0,1,2.P(X＝0