1.4.3正切函數的性質與圖象解析式y=tanx圖象定義域___________________________值域__函數y=tanx的圖象和性質R解析式y=tanx周期___奇偶性_______單調性在開區間___________________上都是增函數π奇函數判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)正切函數的定義域和值域都是R.()(2)正切曲線是中心對稱圖形，有無數個對稱中心.()(3)正切曲線有無數條對稱軸，其對稱軸是()提示：(1)錯誤.正切函數的定義域為值域為R.(2)正確.點是其對稱中心.(3)錯誤.正切曲線沒有對稱軸.答案：(1)×(2)√(3)×【知識點撥】1.正切函數性質的拓展(1)對稱性：正切函數圖象的對稱中心是不存在對稱軸.(2)單調性：正切函數在每個區間內是單調增加的，但不能說其在定義域內是增加的.(3)漸近線：直線稱為正切曲線的漸近線，漸近線把正切曲線分成無數個不連續的部分.正切曲線在漸近線右側向下無限接近漸近線，在漸近線左側向上無限接近漸近線.2.“三點兩線法”作正切曲線的簡圖(1)“三點”分別為其中k∈Z；兩線為直線和直線其中k∈Z.(兩線也稱為正切曲線的漸近線，即無限接近但不相交).(2)作簡圖時，只需先作出一個周期中的兩條漸近線，然后描出三個點，用光滑的曲線連接得一條曲線，最后平行移動至各個周期內即可.類型一正切函數的定義域、值域問題

【典型例題】1.函數y=tan(sinx)的定義域為______，值域為______.2.函數y=tan2x-2tanx+3的最小值為______.3.求函數的定義域.【解題探究】1.解三角不等式的兩種常用方法是什么？2.如何求形如y=Atan2x+Btanx+C的函數最值？3.求與正切函數有關的定義域時應注意什么問題？探究提示：1.求解三角不等式,一種是利用三角函數線,另一種是利用三角函數圖象,先在一個周期內找到滿足不等式的解,再根據周期性加上周期的整數倍即可得完整解集,同時要注意定義域對解集的限制.2.一般是轉化為二次函數配方后求最值.3.除了按求函數定義域的一般要求外，還要保證正切函數有意義.【解析】1.因為sinx∈［-1,1］，所以y=tan(sinx)的定義域為R，值域為［tan(-1),tan1］.答案：R［tan(-1),tan1］2.y=(tanx-1)2+2，由于tanx∈R，所以當tanx=1時，函數取最小值2.答案：23.由得，所以的定義域為【拓展提升】求正切函數定義域的方法及求值域的注意點(1)求與正切函數有關的函數的定義域時,除了求函數定義域的一般要求外,還要保證正切函數y=tanx有意義,即而對于構建的三角不等式,常利用三角函數的圖象求解.解形如tanx＞a的不等式的步驟：(2)求解與正切函數有關的函數值域時,要注意函數的定義域,在定義域內求值域；對于求由正切函數復合而成的函數的值域時,常利用換元法,但要注意新“元”的范圍.【變式訓練】函數的值域是()A.［-1,1］B.［-1,0)∪(0,1］C.(-∞,1］D.［-1,+∞)【解析】選A.為增函數，故值域為［-1,1］.類型二正切函數的單調性的應用

【典型例題】1.比較大?。簍an167°______tan173°.2.求的單調區間.【解題探究】1.函數y=tanx的周期和單調區間分別是什么？2.常采用何種方法求形如y=Atan(ωx+φ)的單調區間？探究提示：1.周期是π，單調增區間為2.常采用“整體代換”的思想，令k∈Z，解得x的范圍即可.【解析】1.因為所以又y=tanx在上為增函數，所以所以tan167°＜tan173°.答案：＜2.由題意，即所以增區間為【互動探究】題2若改為如何求單調區間？【解析】

可化為由故減區間為【拓展提升】1.求函數y=Atan(ωx+φ)(A，ω，φ都是常數)的單調區間的方法(1)若ω＞0，由于y=tanx在每一個單調區間上都是增函數，故可用“整體代換”的思想，令解得x的范圍即可.(2)若ω＜0，可利用誘導公式先把y=Atan(ωx+φ)轉化為y=Atan［-(-ωx-φ)］=-Atan(-ωx-φ)，即把x的系數化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可.2.運用正切函數單調性比較大小的方法(1)運用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內.(2)運用單調性比較大小關系.【變式訓練】若則()A.f(0)>f(-1)>f(1)B.f(0)>f(1)>f(-1)C.f(1)>f(0)>f(-1)D.f(-1)>f(0)>f(1)【解題指南】y=tanx在上為增函數.根據誘導公式把轉化到上再比較大小.【解析】選A.又所以f(0)>f(-1)>f(1).類型三正切函數的奇偶性與周期

【典型例題】1.函數的周期是()2.函數y=|tanx|的圖象對稱于()A.原點B.y軸C.x軸D.直線y=x【解題探究】1.如何求函數y=Atan(ωx+φ)的最小正周期?2.怎樣判斷函數的對稱性？探究提示：1.2.先求出函數的定義域,再判斷此定義域是否關于原點對稱,然后根據奇偶函數的定義尋找f(-x)與f(x)的關系.【解析】1.選C.2.選B.由|tanx|=|tan(-x)|,所以y=|tanx|為偶函數，所以圖象關于y軸對稱.【拓展提升】與正切函數有關的函數的周期性、奇偶性問題的解決策略(1)一般地，函數y=Atan(ωx+φ)的最小正周期為常常利用此公式來求周期.(2)判斷函數的奇偶性要先求函數的定義域，判斷其是否關于原點對稱.若不對稱，則該函數無奇偶性，若對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關系.【變式訓練】下列函數中,既是以π為周期的奇函數，又是上的增函數的是()A.y=tanxB.y=cosx【解析】選A.由于y=tanx與是奇函數，但是只有y=tanx的周期為π，y=cosx與y=|sinx|是偶函數.【規范解答】正切函數性質的應用【典例】【條件分析】【規范解答】由于函數y=tanx的對稱中心為其中k∈Z.…………………2分故令其中

……………4分由于所以當k=2時，故函數解析式為………6分由于正切函數y=tanx在區間上為增函數.則令………………8分解得…………10分故函數的單調增區間為…………12分【失分警示】【防范措施】1.結合圖象把握性質：對于函數的性質，充分利用好圖象，掌握性質.如本例中正切函數的對稱中心和單調區間.2.整體代換的思想：在求三角函數的單調區間以及對稱軸、對稱中心時，要有充分的整體意識.如本例中的求φ值和求單調增區間.

【類題試解】函數f(x)=tan(3x+φ)圖象的一個對稱中心是其中試求函數f(x)的定義域、值域和單調性.【解析】由于函數y=tanx的對稱中心為其中k∈Z，故令其中由于故當k=1時，得故函數解析式為由得所以函數的定義域為值域為R.由于正切函數y=tanx在區間上為增函數,故令解得即函數的單調增區間為1.直線y=a(a為常數)與正切曲線y=tanωx(ω是常數且ω>0)相交，則相鄰兩交點間的距離是()【解析】選C.相鄰兩交點間的距離恰為該函數的周期，由y=tanωx，ω>0，得2.已知a=tan2，b=tan3，c=tan5，下列大小關系正確的是()A.a>b>cB.a<b<cC.b>a>cD.b<a<c【解析】選C.c=tan5=tan(5-π)，又y=tanx在上為增函數，所以tan(5-π)<tan2<tan3，即b>a>c.3.函數的一個對稱中心是()【解析】選C.由y=tanx的對稱中心是得當