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LTI系統的復頻域分析本章主要內容：

LTI系統的差分/微分方程描述和框圖描述

LTI系統的頻域分析線性時不變系統的時域、頻域

與復頻域分析2一、LTI系統的描述用描述系統；用線性常系數微分或差分方程（LCCDE）描述；用方框圖描述系統（等價于LCCDE描述）；用系統頻率響應或系統函數31.用單位沖激響應和單位脈沖響應表示LTI系統42.用微分和差分方程描述的因果LTI系統一個LTI系統的數學模型可以用線性常系數微分方程或線性常系數差分方程來描述。分析這類系統，就是要求解線性常系數微分方程或差分方程。對于因果系統，當輸入為0時，輸出也為0。也就是說對于因果LTI系統，其輸出的初始狀態為零，此時的輸出常稱為系統的零狀態響應。系統分析時，往往不是通過微分/差分方程的時域求解，而是通過頻域或復頻域分析來求解方程。但是對離散LTI系統，其差分方程的時域遞歸解法在數字濾波器的設計中有非常重要的應用。5（2）線性常系數差分方程(LinearConstant-CoefficientDifferenceEquation，LCCDE)

一般的線性常系數差分方程可表示為：

（1）線性常系數微分方程（LinearConstant-CoefficientDifferentialEquation）均為常數6（1）離散時間系統基本單元:A.加法器

B.放大器(乘以系數)

C.單位延時器一階差分方程:

相加延時相乘a3.

LTI系統的方框圖表示D7(2)連續時間系統一階微分方程:微分

相加相乘基本單元:A.加法器

B.放大器

C.積分器a8例：寫出右圖所示系統的差分方程由加法器可寫出等式：例：畫出由微分方程所描述的LTI系統的框圖將方程寫為：依上式可畫出系統框圖如右圖當系統框圖中有多個積分器或延時器時，就可以描述高階系統，其對應的方程為高階微分方程或差分方程。9例：某連續LTI系統的系統框圖如下，求系統的微分方程解由圖可知第一個和第二個積分器的輸入分別為，根據加法器的輸入輸出關系有

所以系統的微分方程為:+3-210二.LTI系統的頻域分析1.LTI系統的頻域分析和頻率響應

根據卷積特性,可以對LTI系統進行頻域分析,其過程為:1.由2.根據系統的描述，求出3.4.11從信號分解觀點分析對于任意x(t),可以分解為無窮多特征函數的線性組合，每一個特征函數對應的系數為頻域分析法：也是建立在線性系統具有疊加性、齊次性基礎上，與時域分析法不同處在于信號分解的基本函數不同。12

由于的傅氏變換就是頻率為的復指數信號通過LTI系統時，系統對輸入信號在幅度上產生的影響，所以稱為系統的頻率響應。

鑒于與是一一對應的，因而LTI系統可以由其頻率響應完全表征。僅當LTI系統是穩定系統時，即：其頻率響應存在13---幅頻特性（幅頻響應）---相頻特性（相頻響應）系統的輸出響應y(t)令：14對LCCDE兩邊進行傅立葉變換：由于故有2.

由LCCDE描述的LTI系統的頻域分析可見由LCCDE描述的LTI

系統其頻率特性是一個有理函數。由此可以看出，對由

LCCDE描述的LTI系統，當需要求得其時(比如時域分析時)，往往是由做反變換得到。對有理函數求傅立葉反變換通常采用部分分式展開和利用常用變換對進行。15例：描述已線性LTI系統的微分方程為：求系統的頻率響應，并求

時系統的響應解：系統方程兩邊作FTx(t)為單邊指數函數，其FT為系統的頻率響應函數由傅里葉逆變換求y(t)16例：

可見，對由微分方程所描述的系統通過求頻率響應可以方便地求出其單位沖激響應。17例：某連續LTI系統的系統框圖如下，求系統的單位沖激響應

解由傅立葉變換的微分特性首先寫出圖中各處信號的傅立葉變換，根據加法器的輸入輸出關系有

所以系統的單位沖激響應為:+-3-23.

由方框圖描述的LTI系統的頻率特性18例：求下圖系統的頻率響應解設第2個積分器的輸出為w(t),相應的傅立葉變換為

由兩個加法器可以寫出如下關系式：19互聯系統的*級聯:

*并聯:H1(j)H2(j)H1(j)H2(j)20*反饋聯結:21一個信號所攜帶的全部信息分別包含在其頻譜的模和相位中。LTI系統對輸入信號所起的作用包括兩個方面:1.改變輸入信號各頻率分量的幅度；

2.改變輸入信號各頻率分量的相位。在工程實際中，不同的應用場合，對幅度失真和相位失真有不同的敏感程度，也會有不同的技術指標要求。因此，導致信號失真的原因有兩種：幅度失真：由于頻譜的模改變而引起的失真。2.相位失真：由于頻譜的相位改變引起的失真。4.無失真傳輸22(1)線性與非線性相位當相位特性僅僅是附加一個線性相移時，只引起信號在時間上的平移。如連續時間LTI系統：則此時并未丟失信號所攜帶的任何信息，只是發生時間上的延遲，因而在工程應用中是允許的。信號在傳輸過程中，相位特性或幅度特性發生改變都會引起信號波形的改變，即發生失真。

如果系統的相位特性是非線性的，由于不同頻率分量受相位特性影響所產生的時移不同，疊加起來一定會變成一個與原來信號很不相同的信號波形。23(2)信號的不失真傳輸條件

如果系統響應與輸入信號滿足下列條件，可視為在傳輸中未發生失真：這就要求系統的頻率特性為如果一個系統的幅頻特性是一個常數，稱這種系統為全通系統。24——時域表征

據此可得出信號傳輸的不失真條件：

0

通常，系統若在被傳輸信號的帶寬范圍內滿足不失真條件，則認為該系統對此信號是不失真系統。——頻域表征

0255.理想頻率選擇性濾波器1.頻率成形濾波器（改變各分量的幅度與相位）2.頻率選擇性濾波器（去除某些頻率分量）濾波：通過系統改變信號中各頻率分量的相對大小和相位，甚至完全去除某些頻率分量的過程稱為濾波。濾波器可分為兩大類：理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個（或幾個）頻段內，頻率響應為常數，而在其它頻段內頻率響應等于零。26連續時間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性低通高通帶阻帶通濾波器的通帶(passband):

允許信號完全通過的頻段;阻帶(stopband):完全不允許信號通過的頻段。271理想低通的頻率響應例.

中心頻率可變的帶通濾波器：各種濾波器的特性都可以從理想低通特性而來。281等效帶通濾波器

相當于從中直接用一個帶通濾波器濾出的頻譜。表明整個系統相當于一個中心頻率為的帶通濾波器，改變即可實現中心頻率可變。29理想濾波器的時域特性以理想低通濾波器為例連續時間理想低通濾波器1由傅里葉變換可得:301.系統函數的概念：以卷積特性為基礎，可以建立LTI系統的拉氏變換分析方法，即其中是的拉氏變換，稱為系統函數或轉移函數、傳遞函數。三、用拉氏變換分析與表征LTI系統

---LTI系統的復頻域分析這就是LTI系統的傅里葉分析。即是系統的頻率響應。如果、、

的ROC包括軸，以代入，即有31如果時，則系統是反因果的。因果系統的是右邊信號，的ROC必是最右邊極點的右邊反因果系統的是左邊信號，的ROC必是最左邊極點的左邊應該強調指出，由ROC的特征，反過來并不能判定系統是否因果。ROC是最右邊極點的右邊并不一定系統因果。只有當是有理函數時，逆命題才成立（見下面例2）2.用系統函數表征LTI系統：(1)因果性：如果時，則系統是因果的。連同相應的ROC也能完全描述一個LTI系統。系統的許多重要特性在及其ROC中一定有具體的體現。32(2)穩定性：如果系統穩定，則有。因此必存在。意味著

的ROC必然包括軸。綜合以上兩點，可以得到：因果穩定系統的，其全部極點必須位于S平面的左半邊。例1.某系統的,顯然該系統是因果的，確定系統的穩定性。顯然，ROC是最右邊極點的右邊。ROC包括軸系統也是穩定的。的全部極點都在S平面的左半邊。33例2.若有的ROC是最右邊極點的右邊，但是非有理函數.而，故系統是非因果的。由于ROC包括軸，該系統仍是穩定的。而對系統仍是非有理函數，ROC是最右邊極點的右邊，但由于，系統是因果的。34結論：LTI系統的系統函數是有理函數，若其全部極點位于S平面的左半平面，則系統是因果、穩定的。2.若LTI系統為因果系統，則系統函數的ROC是最右邊極點的右邊。若系統反因果，則系統函數的ROC是最左邊極點的左邊。

3.如果LTI系統是穩定的，則系統函數的ROC必然包括軸。353.由LCCDE描述的LTI系統的復頻域分析對是一個有理函數進行拉氏變換有：36例3：已知系統函數為，求系統的零、極點，并判斷系統的穩定性解：零點：極點：系統的極點都在s平面的左半平面，系統是穩定的。xxσjω-3-2-101-137例4：給定因果LTI系統的微分方程為