山東省青島市第十九中學2023年高一數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設x∈R，若函數f（x）為單調遞增函數，且對任意實數x，都有f[f（x）﹣ex]=e+1（e是自然對數的底數），則f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3參考答案：C【考點】函數單調性的性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】利用換元法將函數轉化為f（t）=e+1，根據函數的對應關系求出t的值，即可求出函數f（x）的表達式，即可得到結論．【解答】解：設t=f（x）﹣ex，則f（x）=ex+t，則條件等價為f（t）=e+1，令x=t，則f（t）=et+t=e+1，∵函數f（x）為單調遞增函數，∴函數為一對一函數，解得t=1，∴f（x）=ex+1，即f（ln2）=eln2+1=2+1=3，故選：C．【點評】本題主要考查函數值的計算，利用換元法求出函數的解析式是解決本題的關鍵．2.下列函數中，是偶函數的是(

)．

．．

．參考答案：A略3.已知函數f（x）滿足2f（x）+f（﹣x）=3x+2，則f（2）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：D【考點】抽象函數及其應用；函數的值．【專題】函數的性質及應用．【分析】通過x=2與x=﹣2代入已知條件，解方程組即求出f（2）．【解答】解：函數f（x）滿足2f（x）+f（﹣x）=3x+2，則2f（2）+f（﹣2）=3×2+2=8，2f（﹣2）+f（2）=3×（﹣2）+2=﹣4，消去f（﹣2）可得3f（2）=20．解得f（2）=．故選：D．【點評】本題考查函數值的求法，抽象函數的應用，考查計算能力．4.若一個圓柱及一個圓錐的底面直徑、高都與球的直徑相等，則圓柱、球、圓錐的體積之比為（

）A.3：2：1；

B.2：3：1；

C.3：1：2；

D.不能確定。參考答案：C略5.把一根長度為6的鐵絲截成任意長度的3段，則這三段能構成三角形的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.若0＜m＜n，則下列結論正確的是（）A． B．2m＞2nC． D．log2m＞log2n參考答案：C【考點】不等關系與不等式．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據指數函數與對數函數的底數大于1時單調遞增，底數大于0小于1時單調遞減的性質進行做題．【解答】解：觀察B，D兩個選項，由于底數2＞1，故相關的函數是增函數，由0＜m＜n，∴2m＜2n，log2m＜log2n，所以B，D不對．又觀察A，C兩個選項，兩式底數滿足0＜＜1，故相關的函數是一個減函數，由0＜m＜n，∴，所以A不對，C對．故答案為C．【點評】指數函數與對數函數的單調性是經常被考查的對象，要注意底數大于1時單調遞增，底數大于0小于1時單調遞減的性質．7.如果一個函數滿足：（1）定義域為R；（2）任意，若，則；（3）任意，若，總有,則可以是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.求下列函數的定義域（1）；

（2）參考答案：（1）

（2）9.冪函數f（x）=xa的圖象經過點（8，2），則f（）的值為（）A． B． C． D．1參考答案：C【考點】函數的值．【分析】由已知先求出函數的解析式，將x=代入計算，可得答案．【解答】解：∵冪函數f（x）=xa的圖象經過點（8，2），∴8a=2，解得：a=，∴f（x）=，∴f（）=，故選：C10.已知各項不為0的等差數列{an}，滿足，數列{bn}是等比數列，且，則A．2 B．4 C．8 D．16參考答案：B根據等差數列的性質得：，變為：，解得（舍去），所以，因為數列是等比數列，所以，故選B.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則的值為_____參考答案：12.在等比數列中，，則

☆

．參考答案：13.設函數與在區間上都是減函數，則實數a的取值范圍是

．參考答案：14.已知函數在上是減函數,則實數a的取值范圍是

參考答案：15.已知為第二象限角，，則

參考答案：略16.要得到函數y=sin（2x﹣）的圖象，可將函數y=sin2x的圖象向右平移個單位．參考答案：【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數的圖像與性質．【分析】根據把函數y=sin2x的圖象向右平移個單位，可得函數y=sin2（x﹣）的圖象，從而得出結論．【解答】解：由于函數y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），故把函數y=sin2x的圖象向右平移個單位，可得函數y=sin（2x﹣）的圖象，故答案為．【點評】本題主要考查函數y=Asin（ωx+?）的圖象變換規律，屬于中檔題．17.設a＞0，b＞0，若是與3b的等比中項，則的最小值是__．參考答案：由已知,是與的等比中項，則則，當且僅當時等號成立故答案2【點睛】本題考查基本不等式的性質、等比數列的性質，其中熟練應用“乘1法”是解題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分，第1問5分，第2問7分）已知函數是二次函數，不等式的解集為，且在區間上的最小值是4.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）設，若對任意的，均成立，求實數的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）解集為，設，且對稱軸，開口向下，，解得，；……5分（Ⅱ），恒成立即對恒成立化簡，即對恒成立……8分令，記，則，二次函數開口向下，對稱軸為，當時，故………………10分，解得或……………………12分19.已知集合，．（1）分別求：，；（2）已知，若，求實數的取值集合．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

參考答案：：（1）

……………3分

………6分（2）

……………10分

20.某校從參加高三年級期中考試的學生中抽出50名學生，并統計了他們的數學成績（成績均為整數且滿分為100分），數學成績分組及各組頻數如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4． （Ⅰ）列出樣本的頻率分布表； （Ⅱ）估計成績在85分以上學生的比例； （Ⅲ）為了幫助成績差的學生提高數學成績，學校決定成立“二幫一”小組，即從成績[90，100]中選兩位同學，共同幫助[40，50）中的某一位同學，已知甲同學的成績為42分，乙同學的成績為95分，求甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的概率． 參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；用樣本的頻率分布估計總體分布． 【分析】（Ⅰ）根據題意計算可得[90，100]一組的頻數，根據題意中的數據，即可作出頻率分布表； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，成績在[85，100）的學生數，再結合題意，計算可得答案； （Ⅲ）根據題意，記成績在[40，50）上的2名學生為a、甲，在[90，100）內的4名學生記為1、2、3、乙，列舉“二幫一”的全部情況，可得其情況數目與甲乙兩名同學恰好在同一小組的情況數目，由古典概型公式，計算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根據題意，[90，100]一組的頻數為50﹣（2+3+14+15+12+4）=4， 作出頻率分布表如下： 分數頻數頻率[40，50）2[50，60）3[60，70）14[70，80）15[80，90）12[90，100]4（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，成績在[85，100）的學生數為+4=10， 則成績在85分以上的學生的比例為P1==20%， （Ⅲ）記成績在[40，50）上的2名學生為a、甲，在[90，100）內的4名學生記為1、2、3、乙， 則選取的情況有（1，2，a）、（1，2，甲）、（1，3，a）、（1，3，甲）、（1，乙，a）、（1，乙，甲）、 （2，3，a）、（2，3，甲）、（2，乙，a）、（2，乙，甲）、（3，乙，a）、（3，乙，甲），共12種； 其中甲乙兩名同學恰好在同一小組的情況有3種， 則甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的概率P2==． 【點評】本題考查古典概型的計算與頻率分布表的作法，關鍵是運用表中的數據，正確做出頻率分布表． 21.在海岸A處，發現北偏西75°的方向，與A距離2海里的B處有一艘走私船，在A處北偏東45°方向，與A距離(－1)海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船．此時，走私船正以10海里/小時的速度從B向北偏西30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？參考答案：由已知條件得，AB＝2，AC＝－1，∠BAC＝120°，∴BC＝.