→→→→→oooo→→→→→oooocosB與向量、析幾何相結的三角形問題知拓1.三形的角數系A＋；(2)cos(AB)＝C；(3)sinC.2.若G是△ABC的重，GA＋GC＝0.3.在中若A·BC<0，△ABC鈍三形

＋＋；(4)cos＝22在ABC中若

b,c

成差列則；若a,成比列則60；若,B,C

成差列則

B

o

5.在角中

0A90，90

，

sincosB,sincos

題分一)三與量的匯現高數教中,向量繼數后的條線,穿個中學學,在種題解中著泛作.而向與三知的匯,通常目三函為體,但條件涉一向知如向量坐中含角達然后給向之的行、直關,者向的量表函等,種況在前試中很見.【1南市、城屆三級一次擬在中，,B

的邊別ab,

已

B，B的值（1）（2）CA，

的．【案（1

cos

（2）10【析（1）正定得

5sinB．用倍公化得cos

）1

2rrr2rrr簡量

a

．根余定得B

，后據角角數系及角余弦式

的．（2）為

ABCA，所以cbbacos

，由弦理得2

，．從cosB

2ca522c2

35

，又

0

，以

2

．從

B

32Bcos452

．【評平向作一運工具經與數不式、角數數、析何知結．平向給的式含未數,由向量行或直充條可得到于未數關式在基上可求有函、不式三函、列綜問．【試刀設量

rra,c

滿

r

，

a

，

rrra,b

，

c

的最值于【案42

22二)三與列的匯數與角數交問也一常問,主題有大類一在三形,一些件數語給,見如角三角A,C成差列；邊a成比列等二數通種有角數,們以助角數周性和.【2】知

的長6，BC,CA

成比列則

BA

的值圍．【源全百校江省城學2018屆高上期末試學題【案

2753

【評“abc

成比列是了出

”一件所,題重是如把

BA

與個件系來【試刀△ABC內

C

所的分為若

ac

成差列證：

sinsinC

；若

ac

成比列求

cos

的小.【析(1)a,c成差列∴a＋c＝2b由弦理sinA＋＝2sinB∵sinB＝π－(A＋＝(＋∴sinA＋sinCA＋∵a,c成比列∴b

＝ac由弦理

a

2

2aa222ac22∵a＋c2≥2當僅當a＝c時等成)

a222ac

當且當a＝時號立)a12ac2

(且當＝時等成)即

12所cosB的小為

12

【評邊等關,常用正定轉,邊等關,利余弦理邊關系()角三函的匯【3設數

fx

Ⅰ)求

f

x

的調區；4

32223222Ⅱ)已的內分為BC，若f積，最值.

，且ABC能夠蓋的大面【析(Ⅰ)三形角和正展利二角式簡得fsin3

，令

，解區即；（）f

得A

，題可：

ABC

的切半為

，據線相結圖得

b

，結余定得

3

，用值等求值可【

解

析】(Ⅰ)333fxcosxsinxcos22x

kx

Z

f

的調區為

5

,k

Ⅱ)

f

A3A

，以

由弦理知a2

由意知的內圓徑

的角BC

的邊別b,

，如所可：

bb

2

2

bc

5

4bc

或

（）ABbc

，當僅

時

AB

的小為

令可這轉：

r

bc代bc

；4bcABbc

或

（；當僅

時

AB

的小為

【牛刀小】已知

中，角

，B

，

所對的邊分別

，

，

c

，若

bcosAc

，

cos

Atan222A2sin2B22

．【案

【析由

bcosAc

可，

5acosBbA

，5Bbcosc

，余弦理得

5a

a22222b2ac

c

，化得6

，ABC，ABC

Atancos22A2tan222

22

tanB

AsinA2tancos

a2ab22b

2222

a22

9525

22

92

，答為.四)三形解幾的匯【4江蘇常2018屆三學期已ABC中，AB

3，ABC所平內在

使PBPC2

，

面的大為_________．【案

【析設

a，BC所直為軸其中線所直為軸建立角標系（如所示），則B

，設

P

，由PBPC2

，

{

(xx

，

{

x

2

y

2

x2y23

3222y

2

，則

{

72

2

2

y

，32y32則

3

，即a2

，解

，

3

，即面積最值

7

CBCB【刀試已知圓：169

與正半y正半的點別

AB

動點

P

是橢上一,

PAB

面的大.【析先求點標再直線程根橢的數程示出到線距,示面,后最

P

的標然再點【評與圓點關范或最問,用數程行三代后,可利正弦有性范或最.五遷運已

O

是角

的接圓,

60

ABmAOsinCB

則數

的為____.8

BBB5222BBB5222【案【析設AB的中為，則

AODO

，代，可得m（*，sinCBsinB由ABDO得·DO，將*式邊乘

，簡ABADDOsinCB

，即

BCAmcsinCB

，由弦理上得因，

BC2CAmsinCsin

C

，所

cosBcos

，所

BcosAcosCsinC

sin

．答：

．屆三京聯體校研如圖直l上三點直l外一，知AB

BC，，．則PA=_____【案

34【解析，,cosAPBAPB，則55ABBC可得sin＝且PA＝ABABcos

cos229

則PA即案

【江省京多2017-2018學高上期第次考已

的邊成比

2

的比列則

最的弦為__________．【案【析由設邊分為a,

2a

且2a為最邊所對角

由弦理:

a22

江蘇省通皋高年第次考】△中若成差列則cosC的小為________

，，tanAtanCB【案【析∵

4，，成差列∴tanACtanBAtantan

，Acos4cosCBAABC4cosC，可得sinsinsinABAsin

，C

sinC22c2，正定和弦理得4sinAsinab4

，簡2

2

c

，

C

a

2

22ab126ab63

，答為.5.【蘇南市2018屆三學學期學調考在ABC中，＝3，AC＝2，∠＝120

，

BM

．

，實的值為_____．【案

10

22122221226.如,徑1的形的圓角120°,點在AB,則

上且30

若【案

3【析如所,建直坐系∵30

OC

．

C,sin30

即

,1，120

∴Acos120sin120,即，又B

3122．3

解得

．

3

故案

3

．7.如所在面邊ABCD中AB，BC為ACD正三形面的大為．11

【案

3【析在ABC中，∠=α，ACBβ由弦理：2=12+2??4cos，∵ACD為正角，∴2

?4cos，由弦理：

1ACsinsinα

，∴?β=sinα∴?β=sinα∵(cosβ)2=2(1sin2βCDsin2α=5?4cos?2?α)∵<∠，β為角CD?β=2?cos，∴

SBCD

CDCD22

sinsin

，當

時

(S)3VBCDmax

．如圖現一為圓角湖OA與OB為半的形面AOB.現欲在AB

上不于B

的

，漁沿弧

AC

（

AC

在形

AOB

的

上半OC和段（其/

在形湖內處個殖域——殖區I和養殖域II.若

，

AOB

，

求所需網（圖弧AC、半OC和線CD長度之）最值______.12

【案

3【

解

析】

由

CDP，AOB

，AOC

，

得2OCD，在

VOCD

中由弦理得

2CD（333設網長為

2（333所

f

2（為3

所以33令f，得

，以所以．66

0）

（，）f所最大值

極值3，答為

．在

V

中，角BC

所對的邊別為b,c

，若

a

，

c2

，且，VABC的面積．【案

13

062260622610．△ABC中，A、B、C所的為a、b、c若a、b、c成等數，且cos

，則

tanAC

的是【案【析因bc

成比列所2ac

，正定，2BsinC

，因

3cos且，以sinB，則5tansinsinCAsinAsin；故填.sinsinCsinBB33【2018屆蘇泰中高10月考在中角,

所的分為a,b,

，為銳三形，滿

ac

，

tanAtan

的值圍是．7【案【解析】由正弦定理得：

sinsin2AsinC

由降冪公式得AB

sinC

，結和化得

在三角形中得B2,以

由三形為銳角三角形得：

A

B3

1,BBtanAsin

，∵

B

，

33BtB,1

，函

y在遞減所t

7，填

12【江省皋2017--2018學年度三級一期學量研在求角的小14

中

若

CD

，足

，

CD

，

面的小.【析（1由

，兩平CB

，即

CB

，到

2即CA

。所

（2）直

ADC

中

CD4sinA

，在角

中BC

CDsin

，又

A

，以

Bsin

AA

，所S

ABC

12sinBAcosAsin2A

，由+

得

2A

，

A

，當僅A

時

max

，從

min

．【江省啟東中2018屆三上第二次月考】已數fx2coscosxx3

求數

f

的小周；在

ABC

中角C

的邊別,b,

若角

滿

，C6

且，的面.【析(1)

fx2cosx2sincos336cos2x63所，數最正期

2

Qf

,2sin2A.3215

2212

2因A為銳，以333

所，A6

，A,由弦理

c得出asinsin所，

BcosCAsinC

所

162acsin2314【蘇丹陽級學2018屆高上期中的內B，C對分為a，b，c．量

m，

nA

，且n．（1）A的大；（2）

，

的．【析（1因m，所m，sinbA

．由弦理，

sinB

，所sinAB3B

．在ABC中，

B

，