2測量誤差和數據處理精品資料工程實際與實驗科學擬定(nǐdìng)實驗的方案選擇一定精度的儀器和適當的方法將測得的數據整理歸納、科學地分析尋求被研究體系變量間的關系規律局限性和意義儀器和感覺器官的限制，實驗測得的數據只能達到一定程度的準確性了解測量所能達到的準確度在實驗以后如何合理地進行數據處理研究誤差(wùchā)的意義精品資料1測量誤差的基本概念實際測量中，由于測量器具不準確、測量手段不完善，環境影響，測量操作不熟練及工作疏忽等因素(yīnsù)，都會導致測量結果與被測量真值不同。測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異，稱為測量誤差。精品資料誤差(wùchā)（Error）：誤差(wùchā)測得值真值＝－真值（TrueValue）：一個物理量的客觀大小或者真實數值分類：理論值約定真值三角形內角之和恒為180o一個整圓周角為360o國際千克基準1Kg精品資料約定(yuēdìng)真值(ConventionalTrueValue）指定(zhǐdìng)值、最佳估計值、約定值或參考值是指對于給定用途具有適當不確定度的、賦予特定量的值。這個術語在計量學中常用。由國家建立的實物標準（或基準）所指定的千克副原器質量的約定真值為1kg，其復現的不確定度為0.008mg。當今保存在國際計量局的鉑銥合金千克原器的最小不確定度為0.004mg誤差是針對真值而言的，真值一般都是指約定真值。

亦稱一、誤差的定義及表示法精品資料3.實際值A更高一級測量器具(qìjù)的測量值，也稱相對真值計量體系工作基準，上一級計量標準器具(qìjù)，計量標準器具(qìjù)，工作計量器具(qìjù)4.標稱值：測量器具(qìjù)上標定的數值標準砝碼、標準電阻、標準電池標稱值不是實際值如標準砝碼上標的1kg等。在標出測量器具(qìjù)的標稱值時，通常還要標出它的誤差范圍或精準度等級。精品資料5.示值由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值，也稱測量器具的測得值或測量值，它包括數值和單位。一般說，示值與測量儀表的計數有區別(qūbié)，計數是儀器刻度盤上直接讀到的數字。而對數字顯示儀表，通常示值和計數是統一的。精品資料6.測量誤差測量儀器的測得值與被測量真值之間的差異，稱為測量誤差。其存在具有必然性和普遍性。人們只能根據需要和可能(kěnéng)，將其限制在一定范圍內，而不可能(kěnéng)完全加以消除。精品資料7.單次測量和多次測量單次（一次）測量是用測量儀器對待測量進行一次測量的過程。在測量精度不高的場合，可進行單次測量。其并不能反映測量結果的精密度，一般只能(zhīnénɡ)給出一個量的大致概念和規律。多次測量是用測量儀器對同一被測量進行多次重復測量的過程。通常要求較高的精密測量都須進行多次測量。精品資料8.等精度測量(cèliáng)和非等精度測量(cèliáng)在保持測量(cèliáng)條件不變的情況下對同一被測量(cèliáng)進行的多次測量(cèliáng)過程稱為等精度測量(cèliáng)。測量(cèliáng)條件包括所有對測量(cèliáng)結果產生影響的客觀和主觀因素，等精度測量(cèliáng)的結果具有同樣的可靠性。與之相反測量(cèliáng)稱為非等精度測量(cèliáng)或不等精度測量(cèliáng)。等精度測量(cèliáng)和非等精度測量(cèliáng)在測量(cèliáng)初中都精品資料二、誤差的表示方法1.絕對誤差式中為絕對誤差，為測得值，為被測量真值。由于一般無法得到(dédào)，所以用實際值代替，因而絕對誤差更有實際意義的定義是:精品資料修正值誤差的相反數修正測量值可通過檢定，由上一級標準(biāozhǔn)給出可以是表格、曲線或函數精品資料舉例(jǔlì)精品資料2.相對誤差相對誤差是用來說明測量精度(jīnɡdù)的高低，可分為：（1）實際相對誤差（2）示值相對誤差精品資料（3）滿度相對誤差（引用誤差，基本誤差）測量(cèliáng)儀器量程內的最大絕對誤差與儀器滿度值（量程上限值）的百分比給出儀表量程內絕對誤差的最大值精品資料我國大部分儀表按照滿度誤差分級，依次劃分為7個等級0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5、5.0級。等級滿度誤差去掉百分號滿度誤差不超過(chāoguò)0.5%，它的準確度為0.5級即︱γm︱≦0.5通常也可寫作±γm=0.5%精品資料儀表1：量程(liángchéng)范圍0～500℃，1.0級；儀表2：量程(liángchéng)范圍0～100℃，1.0級。結論：同一精度儀表(yíbiǎo)窄量程儀表(yíbiǎo)產生的絕對誤差小于同一精度寬量程儀表(yíbiǎo)產生的絕對誤差。精品資料儀表(yíbiǎo)1：量程范圍0～500℃，0.5級；儀表(yíbiǎo)2：量程范圍0～100℃，1.0級。儀表選擇時，在滿足(mǎnzú)測試要求的前提下，盡可能選擇小量程的儀表。精品資料測量誤差的等量化處理(chǔlǐ)絕對誤差處處相等(xiāngděng)？測量儀器在同一量程不同示值處的絕對誤差，不是處處相等(xiāngděng)的但在沒有修正值可利用的情況下，只能按最壞情況處理即認為測量儀器在同一量程不同示值處的絕對誤差是處處相等(xiāngděng)的。精品資料在使用儀表測量時，應選擇適當的量程(liángchéng)，使示值盡可能接近于滿度值，指針最好能偏轉在不小于滿度值2/3以上的區域。儀表各量程內絕對誤差的最大值精品資料國外儀表(yíbiǎo)準確度表示方法準確度=±（a%RDG+b%FS）RDG：READING示值FS：FULLSCALE滿度例如(lìrú)某溫度表的準確度為：±(0.2+0.0015t）℃參考ASHRAEHANDBOOKFundamentals,2005Chapter14精品資料例1：鑒定一個1.5級100mA的電流表，發現在50mA處的誤差最大，為1.4mA,其它刻度(kèdù)處的誤差均小于1.4mA,問這塊電流表是否合格？解：所以(suǒyǐ)：該電流表合格。精品資料例2：某待測電流(diànliú)約為100mA，現有0.5級量程為400mA和1.5級量程為100mA的兩個電流(diànliú)表，問用哪一個電流(diànliú)表測量較好？解：用400mA、0.5級電流表，可求得測量的最大誤差(wùchā)和相對誤差(wùchā)為:用100mA、1.5級電流表，可求得測量的最大誤差和相對誤差為:可見.應選1.5級100mA電流表。精品資料第二節測量誤差的來源(láiyuán)為什么要研究(yánjiū)誤差？真值到底是多少？誤差到底是多少？如何修正？如何減小誤差？精品資料研究(yánjiū)思路精品資料產生(chǎnshēng)誤差的原因精品資料一、儀器誤差（設備誤差）讀數誤差校準誤差刻度誤差分辨力有限造成的誤差數字表的量化誤差其他誤差儀器噪聲引起的誤差元器件老化(lǎohuà)引起的誤差環境變化造成的誤差響應時間長造成的動態誤差精品資料減小設備(shèbèi)誤差的方法正確地選擇測量方法正確地使用測量儀器及時檢定測量儀器在額定工作條件下按使用要求進行操作(cāozuò)增加顯示器的顯示位數精品資料二、人身誤差測量者感官(gǎnguān)的分辨能力、視覺疲勞、固有習慣等對實驗中的現象與結果判斷不準確造成的誤差改善方法提高操作者的操作技能和責任心采用更合適的測量方法采用數字式儀表取代指針式儀表以消除視覺誤差。精品資料三、影響誤差產生(chǎnshēng)原因－測量環境與標定環境不同環境溫度、濕度電源電壓電磁干擾當環境條件符合要求時，一般不考慮影響誤差精密測量時需要考慮。精品資料四、方法誤差（理論(lǐlùn)誤差）來源測量方法不當對測量設備操作使用不當測量所依據的理論(lǐlùn)不嚴格公式簡化不適當改善方法通過理論(lǐlùn)分析和計算進行消除改變測量方法。精品資料小結(xiǎojié)—誤差來源精品資料①系統誤差：凡是誤差的數值是固定的或者(huòzhě)按照一定規律變化的誤差。②隨機誤差：在測量過程中存在許多隨機因素對測量造成干擾，使測得值帶有大小和方向都難以預測的測量誤差。③粗大誤差：明顯歪曲測量結果的誤差第三節誤差(wùchā)分類精品資料射擊(shèjī)--比喻精品資料一、系統誤差在相同條件下，對同一對象進行多次測量（多次等精度測量同一恒定物理量），誤差的絕對值或符號保持不變，或者(huòzhě)當條件改變時按某一變化規律變化的誤差。分為恒定系差，累進系差，周期性系差和按復雜規律變化的系差幾種。精品資料N(t)AxN(t)AxN(t)AxN(t)Ax只有(zhǐyǒu)隨機誤差累進(lěijìn)系統誤差恒定系統誤差周期性系統誤差精品資料精品資料系差產生原因：測量儀器設計原理及制作上的缺陷測量時的環境條件如溫度、濕度及電源電壓等與儀器使用要求不一致采用近似的測量方法或近似的計算公式等測量人員估計讀數時習慣(xíguàn)偏于某一方向等原因所引起的誤差。精品資料二、隨機誤差也叫偶然誤差，是指對同一恒定量進行多次等精度測量時，其絕對值和符號(fúhào)無規則變化的誤差。就單次測量而言，隨機誤差沒有規律，但當測量次數足夠多時，則服從正態分布規律，隨機誤差的特點為對稱性、有界性、單峰性、抵償性。f()精品資料隨機誤差產生(chǎnshēng)原因隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關的大量因素共同造成。這些因素主要有：測量儀器－元器件產生噪聲，零件配合不穩、接觸不良環境溫度、電壓－無規則波動(bōdòng)測量人員感覺－無規則變化精品資料例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到(dédào)1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測量的隨差沒有規律，但多次測量的總體卻服從統計規律。可通過數理統計的方法來處理,即求算術平均值隨機誤差定義：測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差精品資料三、粗大(cūdà)誤差在一定的測量條件下，測得值明顯偏離實際值所形成的誤差稱為粗大(cūdà)誤差，也稱為疏失誤差，簡稱粗差。含有粗差的測得值稱為壞值，應剔除不用。精品資料產生粗差的主要原因：測量方法不當或錯誤測量操作疏忽和失誤(shīwù)測量條件的突然變化精品資料精品資料問：下列誤差屬于哪類誤差？（1）用一塊普通萬用表測量同一電壓，重復測量20次后所得結果的誤差。（2）觀測者抄寫記錄時錯寫了數據造成(zàochénɡ)的誤差。（3）在流量測量中，流體溫度、壓力偏離設計值造成(zàochénɡ)的流量誤差。精品資料幾種誤差同時(tóngshí)存在時的處理原則系統誤差遠大于隨機誤差的影響，此時可基本上按純粹系差處理，而忽略隨機誤差。系差極小或已得到修正，此時基本上可按純粹隨機誤差處理。系差和隨機誤差相差不遠，兩者均不可(bùkě)忽略，此時應分別按不同的辦法來處理，然后估計其最終的綜合影響。精品資料幾種誤差處理(chǔlǐ)原則原則(yuánzé)：粗大誤差和系統誤差應盡量避免隨機誤差不可避免粗大誤差確認誤差，測量結果剔除或者重測系統誤差找出誤差所在，修正測量結果隨機誤差不可避免，應用數理統計方法，處理測量結果精品資料測量結果(jiēguǒ)的表示精品資料第四節隨機誤差分析(fēnxī)精品資料精品資料一．測量(cèliáng)值的數學期望和標準差1．數學期望對被測量(cèliáng)x進行等精度n次測量(cèliáng)，得到n個測量(cèliáng)值x1，x2，x3，…，xn。則n個測得值的算術平均值為：精品資料當測量(cèliáng)次數時，樣本平均值的極限定義為測得值的數學期望。當測量次數時，測量值的數學期望等于被測量的真值。?分析(fēnxī)：精品資料根據隨機誤差的抵償特性，當時

=0，即所以，當測量次數時，測量值的數學期望等于被測量的真值。精品資料2．剩余(shèngyú)誤差（殘差）當進行有限(yǒuxiàn)次測量時，測得值與算術平均值之差。數學表達式：對上式兩邊求和得：所以可得剩余誤差得代數和為0。精品資料4．標準差（標準誤差，均方根(fānggēn)誤差）對方差開平方。σ反映了測量的精密度，σ小表示(biǎoshì)精密度高，測得值集中，σ大，表示(biǎoshì)精密度底，測得值分散。3.方差精品資料標準偏差意義標準偏差是代表(dàibiǎo)測量數據和測量誤差分布離散程度的特征數。標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數據越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數據越分散。精品資料δf(δ)二．隨機誤差的正態分布分析(fēnxī)1．正態分布高斯于1809年推導出描述隨機誤差統計特性(tèxìng)的解析方程式，稱高斯分布規律。隨機誤差曲線下面的面積對應誤差在不同區間出現的概率。精品資料(1):概率密度，它是變量x的函數，即表示測定值x出現的頻率；(2):為總體平均值，即無限次測定數據的數學期望，為曲線最大值對應的x值；在沒有系統誤差存在時，它就是真實值。(3)σ:總體標準偏差，是正態分布曲線兩側的拐點(ɡuǎidiǎn)之一到直線x=距離。σ反映了測定值的分散程度。σ愈大，曲線愈平坦，測定值愈分散；σ愈小，曲線愈尖銳，測定值愈集中。式中變量(biànliàng)的意義：精品資料(4)x-:隨機誤差，若以x-為橫坐標，則曲線最高點對應的橫坐標為零，表示真實值不包含誤差，這時曲線成為隨機誤差的正態分布曲線。和是正態分布的兩個基本的參數。一般用N(,2)表示：總體平均值為，標準偏差為的正態分布。：反映測量值分布的集中趨勢(qūshì)。：反映測量值分布的分散程度。精品資料例如(lìrú)：δf(δ)精品資料精品資料精品資料精品資料從正態分布曲線可看出：①δ絕對值越小，愈大，說明絕對值小的誤差出現的概率大。②大小(dàxiǎo)相等符號相反的誤差出現的概率相等。δf(δ)精品資料③σ愈小，正態分布曲線愈尖銳(jiānruì)，σ愈大，正態分布曲線愈平緩。說明σ反映了測量的精密度。σ=1σ=2精品資料2．極限(jíxiàn)誤差Δ從上式可見，隨機誤差絕對值大于3σ的概率很小，只有0.3%，出現的可能性很小。因此定義(dìngyì)：為極限誤差，或稱最大誤差，也稱作隨機不確定度精品資料通常將的測得值判為壞值，應予以刪除。另外(lìnɡwài)，按照來判斷壞值是在進行大量等精度測量、測量數據屬于正態分布的前提下出來的，稱之為萊特準則。精品資料深刻理解隨機誤差的特點(tèdiǎn)單峰性誤差絕對值越小，出現密度越大，誤差絕對值越大，出現密度越小對稱性絕對值相同，符號相反的誤差出現的概率相等(xiāngděng)抵償性當測量次數n→∞時，誤差總和為零有界性誤差落[-3,3]的概率為0.99733也稱為極限誤差或者誤差限精品資料3．貝塞爾公式(gōngshì)采用殘差代替隨機誤差有限次測量(cèliáng)標準誤差的最佳估計值（近似標準誤差）標準差（標準誤差，均方根誤差）：貝塞爾公式精品資料算術(suànshù)平均值的標準差平均值標準誤差的最佳(zuìjiā)估計值（近似平均值標準誤差）精品資料隨機誤差的處理(chǔlǐ)數學(shùxué)期望

方差（標準差σ）隨機變量A定義式估計算術平均值的標準差精品資料隨機(suíjī)測量數據的置信度Kφ(K)0.00.000000.50.382921.00.682691.50.866392.00.954502.50.987582.580.990122.60.990683.00.99730隨機誤差大于3σ概率為0.0027，幾乎為零，故常將標準差的3倍作為正態分布下測量數據的極限(jíxiàn)誤差。精品資料三．有限(yǒuxiàn)次測量下測量結果表達式2）計算算術平均值、、；3）計算和；置信(zhìxìn)概率0.9973

置信概率0.9545置信概率0.68274）給出最終測量結果表達式：步驟：1）列出測量數據表；精品資料精品資料精品資料第五節系統誤差分析(fēnxī)N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累進(lěijìn)系統誤差恒定系統誤差周期性系統誤差一、分類：恒定系統誤差變化系統誤差精品資料系統誤差(systematicerror)新定義(dìngyì)：在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量結果的平均值減去被測量的真值1.系統誤差＝誤差—隨機誤差2.如真值一樣,系統誤差及其原因是不能完全知道3.系統誤差是誤差的期望值，隨機誤差是誤差的中心化變量精品資料二、系統誤差的判斷(pànduàn)1．理論分析法，可通過對測量方法的定性分析發現測量方法或測量原理引入的系統誤差。2．校準和比對法：測量儀器定期進行校準或檢定并在檢定書中給出修正值。3．改變測量條件法：根據在不同的測量條件下測得的數據進行比較，可能發現系統誤差。4．剩余(shèngyú)誤差觀察法：根據測量數據列剩余(shèngyú)誤差的大小及符號變化規律可判斷有無系統誤差及誤差類型，這種方法不能發現定值系統誤差。精品資料三．消除系統誤差產生(chǎnshēng)的根源要減少系統誤差要注意以下幾個方面。1．采用的測量方法及原理正確。2．選用的儀器儀表的類型正確，準確度滿足要求。3．測量儀器應定期校準、檢定，測量前要調零，應按照操作規程正確使用儀器。對于精密(jīngmì)測量必要時要采取穩壓、恒溫、電磁屏蔽等措施。4．條件許可，盡量采用數顯儀器。5．提高操作人員的操作水平及技能。精品資料四．削弱(xuēruò)系統誤差的方法1．零示法:精品資料2．替代法（置換法）：在測量條件不變的情況下，用一標準已知量替代待測量，通過調整標準量使儀器示值不變，于是標準量的值等于被測量。這兩種方法(fāngfǎ)主要用來消除定值系統誤差。精品資料3．利用修正值或修正因數加以(jiāyǐ)消除。4．隨機化處理5．智能儀器中系統誤差的消除（1）直流零位校準。（2）自動校準。精品資料第六節粗大(cūdà)誤差分析精品資料精品資料2.粗大誤差的判斷原則統計學方法的基本(jīběn)思想是：給定一置信概率，確定相應的置信區間，凡是超過置信區間的誤差都認為是粗大誤差，并予以剔除萊特法則：精品資料第七節誤差(wùchā)的合成一．誤差合成由多個不同(bùtónɡ)類型的單項誤差求測量中的總誤差是誤差合成問題。1、隨機誤差合成

若測量結果中有k個彼此獨立的隨機誤差，各個隨機誤差互不相關，各個隨機誤差的標準方差分別為σ1、σ2、σ3、…、σk則隨機誤差合成的總標準差σ為：精品資料若以極限誤差表示(biǎoshì)，則合成的極限誤差為：當隨機誤差服從正態分布時，對應的極限(jíxiàn)誤差。精品資料2、系統誤差的合成(héchéng)（1）確定的系統誤差的合成又稱已定系統誤差，是指測量誤差的大小、方向和變化規律是可以掌握的。只要是已定的系統誤差，都應當用代數的方法(fāngfǎ)計算其合成誤差。表達式：由于所得結果是明確大小和方向的數值，故可直接在測量結果中修正，在一般情況下最后測量結果不應含有已定系統誤差的內容。

精品資料（2）不確定(quèdìng)系統誤差的合成不確定系統誤差又稱未定系統誤差，指測量誤差既具有系統誤差可知的一面，又具有不可預測的隨機誤差一面。在通常情況下，未定系統誤差多以極限誤差的形式給出誤差的最大變化(biànhuà)范圍。①絕對值合成法：當m大于10時，合成誤差估計值往往偏大。一般應用于m小于10。表達式：精品資料②方和根合成(héchéng)法一般(yībān)應用于m大于10。表達式：例5：0.5級，量程0~600kPa，分度值2kPa，h=0.05m，讀數300kPa，指針來回擺動±1個格，環境溫度30oC，偏離1oC的附加誤差為基本誤差的4%。精品資料儀表(yíbiǎo)精度等級引起的誤差：讀數誤差（即分度誤差）2kpa環境溫度引起誤差：安裝位置引起的誤差：前三項屬于(shǔyú)未定系統誤差，最后一項屬于(shǔyú)已定系統誤差。前三項按絕對值合成法：精品資料3．隨機誤差與系統誤差的合成(héchéng)其中(qízhōng)ε為已定系統誤差，e為未定系統誤差，l為隨機誤差的極限誤差。精品資料第八節測量數據(shùjù)的處理精品資料零的作用(zuòyòng)：*在1.0008中，“0”是有效數字；*在0.0382中，“0”定位作用(zuòyòng)，不是有效數字；*在0.0040中，前面3個“0”不是有效數字，后面一個“0”是有效數字。精品資料1.數字前的0不計,數字后的計入:0.02450(4位)2.數字后的0含義不清楚時,最好用指數形式表示(biǎoshì):1000(1.0×103，1.00×103,1.000×103)3.自然數可看成具有無限多位數(如倍數關系等)；常數亦可看成具有無限多位數，如4.對數與指數的有效數字位數按尾數計，如10-2.34(2位);pH=11.02,則[H+]=9.5×10-12幾項規定(guīdìng)精品資料若截取得到的近似數其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數末位(mòwèi)的半個單位，則該近似數從左邊第一個非零數字到最末一位數為止的全部數字，稱之為有效數字。例如：3.142 四位有效數字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數字，極限誤差≤0.00058.7×103 二位有效數字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數字，極限誤差≤0.005精品資料精品資料三、近似(jìnsì)運算法則精品資料

（數字下面“_”是指誤差(wùchā)所在位的數碼）精品資料精品資料二．等精度測量(cèliáng)結果的處理處理步驟：1）利用(lìyòng)修正值等方法對測得值進行修正；將數據列成表格。3）列出殘差：，并驗證2）求算術平均值：4）計算標準偏差：精品資料5）按照