小波分析與信號處理理學院羅永

小波分析是純數學、應用數學和工程技術的完美結合。從數學來說是大半個世紀“調和分析”的結晶（包括傅里葉分析、函數空間等）。小波變換是20世紀最輝煌科學成就之一。在計算機應用、信號處理、圖象分析、非線性科學、地球科學和應用技術等已有重大突破，預示著小波分析進一步熱潮的到來。現代信號處理從這里起步1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發表“熱傳導解析理論”論文傅里葉生于法國中部歐塞爾一個裁縫家庭，9歲時淪為孤兒，就讀于地方軍校，1795年任巴黎綜合工科大學助教，1798年隨拿破侖軍隊遠征埃及，回國后被任命為格倫諾布爾省省長，由于對熱傳導理論的貢獻于1817年當選為巴黎科學院院士。周期函數的傅里葉級數展開考慮下面的熱傳導方程的求解問題該偏微分方程的解表示長度為的導體在位置、時間時的溫度。其中時導體的初始溫度為，導體在端點處的溫度保持不變，分別為與。

為方便求解，不妨設。解：用分離法求解該微分方程，即假設Fourier的猜想周期函數的傅里葉級數展開最終得到熱傳導方程的通解為那么有帶入原方程得求解后得當時有從而可得函數的傅里葉級數展開。Fourier的猜想傅里葉變換分析的直觀說明：把一個信號的波形分解為許多不同頻率正弦波之和。一個周期函數可以表示為加權的正弦和余弦和的形式1910年Haar提出最簡單的小波

最早的小波類型早于小波概念的提出小波分析發展歷史小波變換就是將“原始信號s”變換成“小波系數w”，w=[wa

,wd]包括近似(approximation)系數wa與細節(detail)系數wd近似系數wa---平均成分（低頻）細節系數wd---變化成分（高頻）

小波變換基本原理小波分解和小波基小波分解和小波基

小波基D小波基A原始信號小波系數wd小波系數wa正變換：原始信號在每個小波基張成的子空間上投影，獲得“小波系數”分量反變換：所有“小波分解”合成原始信號原信號=小波系數wa×小波基A+小波系數wd×小波基D基于Matlab小波工具箱的小波分解信號分解與重構小波多分辨率分析當在某一個分辨度檢測不到的現象，在另一個分辨度卻很容易觀察處理。參考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995小波多分辨率分析

時間A時間B小波的時間和頻率特性運用小波基，可以提取信號中的“指定時間”和“指定頻率”的變化。時間：提取信號中“指定時間”（時間A或時間B）的變化。顧名思義，小波在某時間發生的小的波動。頻率：提取信號中時間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。小波基性質“時頻局域性”圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中）和時間采樣基（下）的比較傅里葉變換(Fourier)基小波基時間采樣基小波基表示發生的時間和頻率小波基性質小波變換小波圖像分解與重構Fourier變換頻率分析

小波的3個特點時頻分析功能小波變換，既具有頻率分析的性質，又能表示發生的時間。可以分析確定時間發生的現象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質）多分辨率分析小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提取（圖象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）運算速度小波變換比快速Fourier變換還要快一個數量級。信號長度為M時，Fourier變換（左）和小波變換（右）計算復雜性分別如下公式：小波變換的優勢反映傅立葉變換缺點的一個例子：傅立葉變換的缺點：用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部時域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時間的變化信號頻率成分的變化情況。傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩信號的突變成分。傅立葉變換小波低頻小波高頻傅立葉變換與小波變換比較解決傅立葉變換缺點的方法：小波基可以通過給定濾波系數生成

小波基（尺度函數和小波函數）可以通過給定濾波系數生成。有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是對稱的，有的是非對稱的。小波的近似系數和細節系數可以通過濾波系數直接導出，而不需要確切知道小波基函數，這是I.

Daubechies等的重要發現，使計算簡化，是快速小波分解和重建的基礎。

小波變換的分類：連續小波變換時間、控制窗口大小的參數和時移參數都連續的小波變換。離散參數小波變換（二進小波變換）時間連續，控制窗口大小的參數和時移參數離散的小波變換。離散小波變換時間、控制窗口大小的參數和時移參數都離散的小波變換。小波變換分類MATLAB小波工具箱

安裝MatlabR2009

列出在MATLAB中已有的小波函數。

wavemngr(￠read￠)

輸出結果：

ans＝

Haar

haar

Daubechies db

Symlets sym

Coiflets coif

BiorSplines bior

ReverseBior rbio

Meyer meyr

DMeyer dmey

Gaussian gaus

Mexican_hat mexh

Morlet morl

ComplexGaussian cgau

Shannon shan

FrequencyBSpline fbsp

ComplexMorlet cmor

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

%下面列出在MATLAB中存在的所有小波函數

wavemngr(￠read￠，1)

輸出結果：

ans＝

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Haar haar

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Daubechies db

db1

db2

db3

db4

db5

db6

db7

db8

db9

db10 db**

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Symlets

sym

--------------------------------------

sym2

sym3

sym4

sym5

sym6

sym7

sym8

sym**

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Coiflets

coif

---------------------------------------

coif1

coif2

coif3

coif4

coif5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

BiorSplines

bior

------------------------------------------

bior1.1

bior1.3

bior1.5

bior2.2

bior2.4

bior2.6

bior2.8

bior3.1

bior3.3

bior3.5

bior3.7

bior3.9

bior4.4

bior