第三章復變函數的積分§1復積分的概念§2柯西積分定理§3柯西積分公式§4解析函數的高階導數§5解析函數與調和函數的關系設C為平面上給定的一條連續曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正向，那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線。如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負向,§3.1復積分的概念1復積分的定義xy0AB簡單閉曲線C的正向是指當曲線上的點P沿此方向前進時,鄰近P點的曲線的內部始終位于P點的左方.與之相反的方向就是曲線的負方向.關于曲線方向的說明:以后把兩個端點中的一個作為起點,另一個作為終點,除特殊聲明外,正方向總是指從起點到終點的方向.xy0PC((xy0ABzn-1zkzk-1z1z0zkxy0ABzn-1zkzk-1z1z0zk關于積分定義的說明:(1)如果C是x軸上的區間a≤x≤b，則f(z)=u(x)

為實函數。該積分就是實函數定積分。2.積分的計算及積分性質可通過兩個二元實變函數的線積分計算復積分的化簡:例1

解直線方程為例2

解積分路徑的參數方程為解例3

積分路徑的參數方程為重要結論：積分值與路徑圓周的中心、半徑無關.復變函數的積分性質.估值不等式而所以得證證明：例4解因此解例5

(1)積分路徑的參數方程為xy01+i(2)積分路徑的參數方程為xy01+i(3)積分路徑由兩段直線段構成x軸上直線段的參數方程為1到1+i直線段的參數方程為xy01+i注意2注意1這和數學分析中的曲線積分與路徑無關的關系？1.柯西積分定理:說明：該定理的主要部分是Cauchy于1825年建立；§3.2Cauchy積分定理它是復變函數理論的基礎。復習數學分析中的Green定理:證明

Cauchy積分定理:由Green公式例1解根據Cauchy積分定理,有例2解=0根據Cauchy積分定理得當時,解：例3求解故z2+2z+4解析，由柯西積分定理定理：設函數f(z)在單連通區域D內解析，z0與z1

為D內任意兩點，C1與C2為連結z0與z1的積分路線，C1與C2都含于D，則z0z1xy0C1C2即當f為D的解析函數時積分與路線無關，而僅由積分路線的起點z0與終點z1確定。定理：C1與C2是兩條簡單閉曲線，C2在C1的內部。f(z)在C1與C2圍成的二連域D內解析，而在D+C1+C2上連續，則DC1C2在區域內解析的函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區域內做連續變形而改變。故稱該定理為閉路變形原理。ABCDC1C2D1D2L1L2由柯西積分定理，得

L1=AB+BC+CD+DL1A

L2=AL2D+DC+CB+BA故L1+L2=BC+DL1A+AL2D+CB=C2-+C1

于是即2.復合閉路定理那末證明：設n=2,A1A2A3A4C1C2EFGIHJ當n為其它值時，可同樣證明。故例1解依題意知,xy01根據復合閉路原理,xy01C1C2例2

解圓環域的邊界構成一條復合閉路,根據復合閉路原理,xy0C23.

原函數的概念原函數之間的關系:那末它就有無窮多個原函數,根據以上討論可知:證明：解析函數在單連通域內的積分只與起點和終點有關,即：證明：在D內任取一點z+Δz，則有定理zz+Δzz0因為f(z)在D內連續，所以對任意給定的由點z的任意性，得證。Newton-Leibniz公式說明：有了以上定理,復變函數的積分就可以用與微積分學中類似的方法去計算.證明：根據Cauchy積分定理,例1解例2解例3解例4解利用分部積分法可得1.問題的提出根據閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C

的變化而改變,求這個值.§3.3Cauchy積分公式

2.Cauchy積分公式及其推論定理：證明：以點z0為中心，以充分小的r>0為半徑作圓L，使L及其內部均含于D內，則z0rLC而且故即（得證）推論1(平均值公式)一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的平均值推論2

設f(z)在由簡單閉曲線C1,C2所圍成的二連域D內解析，并在C1,C2上連續，C2在C1內部，z0為D內一點，則DC1z0C2C3例1解由Cauchy積分公式例2解由Cauchy積分公式高階導數公式的作用:不在于通過積分來求導,而在于通過求導來求積分.§4解析函數的高階導數證明：利用數學歸納法，當n=1時證明由導數的定義可知由柯西積分公式可知由條件可知，存在M>0,設則DCz0dDCz0d則而Δz→0,故從而依此類推，可以證明注意：解析函數的導數仍然是解析函數定理：柯西不等式證明：其中0<R1<R,由復積分的性質得故令R1→R得到劉維爾定理：設函數f(z)在全平面上解析且有界，則f(z)為一常數。證：則f(z)為一常數。例1證明：由柯西積分公式有其中0<r<1利用積分的性質有例2解根據復合閉路原理和高階導數公式,xy02C1C2例3解根據高階導數公式有根據復合閉路原理xyCC1C2xyCC1C2同理于是例4由Cauchy積分定理得解由Cauchy積分公式得§5解析函數與調和函數的關系設f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區域D內解析，則即u及v在D內滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義定理由上面的討論，已經證明了：定義上面定理說明：由解析的概念得：現在研究其反問題：如目錄定理

公式不用強記！可如下推出：類似地，然后兩端積分得，C-R方程C-R方程目錄

調和函數在流體力學和電磁場理論等實際問題中都有重要應用。本節介紹了調和函數與解析函數的關系。目錄例1解法1解法2解法3故答案：

本章主要內容有向曲線復合閉路定理原函數的概念復積分高階導數公式Cauchy積分定理積分的性質積分的計算閉路變形定理Cauchy積分公式積分公式及計算解根據Cauchy積分