2021-2022學年湖南省永州市舂陵中學高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合等于A. B.C. D.參考答案：C2.已知函數（）的部分圖像如圖所示，則的圖象可由的圖象.向右平移個長度單位

.向左平移個長度單位.向右平移個長度單位

.向左平移個長度單位參考答案：A試題分析：根據題中所給的圖像，可知，故選A.考點：函數圖像的平移.3.若復數是純虛數（是虛數單位，是實數），則

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.關于兩條不同的直線、與兩個不同的平面、,下列命題正確的是A．m//,n//且//,則m//n

B．m^,n^且^,則m//nC．m^,n//且//,則m^n

D．m//,n^且^,則m//n參考答案：C略5.焦點在x軸上的橢圓方程為+=1（a＞b＞0），短軸的一個端點和兩個焦點相連構成一個三角形，該三角形內切圓的半徑為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質．【分析】根據橢圓的性質AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根據三角形面積相等求得a和c的關系，由e=，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由橢圓的性質可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，SABC=AB?OC=?2c?b=bc，SABC=（a+a+2c）?r=?（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故答案選：C．6.函數的示意圖是（

）參考答案：C7.在中，，，已知點是內一點，則的最小值是（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B8.（多選題）如圖所示的曲線圖是2020年1月25日至2020年2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例的曲線圖，則下列判斷正確的是（

）A.1月31日陜西省新冠肺炎累計確診病例中西安市占比超過了B.1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例都呈遞增趨勢C.2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計確診病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累計確診病例的增長率大于2月6日到2月8日的增長率參考答案：ABC【分析】根據曲線圖可得ABC正確，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累計確診病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累計確診病例增加了，D說法不正確.【詳解】1月31日陜西省新冠肺炎累計確診病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例為，故A正確；由曲線圖可知，1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例都呈遞增趨勢，故B正確；2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計確診病例增加了例，故C正確；2月8日到2月10日西安新冠肺炎累計確診病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累計確診病例增加了，顯然，故D錯誤.故選：ABC【點睛】此題考查曲線圖，根據圖象特征判斷選項說法是否正確，關鍵在于識圖，弄清圖中的數據變化.9.集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈R|x2≤9},則P∩M

=(

)A.{1,2}

B.{0,1,2}

C.{x|0≤x<3}

D.{x|0≤x≤3}參考答案：B10.已知函數f（x）=+b+6，其中，a，b為常數，a＞1，b≠0，若f（lglog210）=8，則f（lglg2）的值為(

) A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4參考答案：B考點：對數的運算性質．專題：函數的性質及應用．分析：函數f（x）=+b+6，可得f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，再利用對數的運算性質即可得出．解答： 解：∵函數f（x）=+b+6，∴f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，而lg（log210）+lg（lg2）==0，∴f（lglog210）+f（lglg2）=12，∴f（lglg2）=12﹣8=4．故選：B．點評：本題考查了指數函數與對數函數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數f(x)=x的圖象過點(4,2)，令，記數列的前n項和為，則=

參考答案：12.已知對于任意的，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是________.參考答案：13.已知α是銳角，且cos（α+）=，則cos（α﹣）=．參考答案：【考點】兩角和與差的余弦函數．【分析】由已知利用誘導公式可求sin（α﹣）=，結合角的范圍，利用同角三角函數基本關系式計算可解．【解答】解：∵cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin（α﹣）=，∵α是銳角，α﹣∈（﹣，），∴cos（α﹣）===．故答案為：．【點評】本題主要考查了誘導公式，同角三角函數基本關系式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．14.

．參考答案：15.從某小區抽取100戶居民進行月用電量調查，發現其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖如圖所示。（I）直方圖中的值為

；（II）在這些用戶中，用電量落在區間內的戶數為

。參考答案：（I）0.0044（II）70略16.已知函數，若存在實數滿足，，且，則_____________。參考答案：13【分析】作出函數的圖象，將、、、轉化為直線與曲線的四個交點的橫坐標，利用進行去絕對值得出的值，由曲線的對稱軸得出的值，再將兩個數值相加可得出答案。【詳解】作出函數的圖象如下圖所示：由于，則、、、可視為直線與曲線有四個交點時，四個公共點的橫坐標。由圖象可知，，由于，則，，所以，，即，得，由圖象知，曲線的圖象關于直線對稱，所以，，因此，，故答案為：。【點睛】本題考查函數的零點問題，考查零點的積與和的問題，在求零點積的時候，充分利用絕對值與對數的運算法則，采用去絕對值的辦法和對數的運算性質求解；在求零點和的時候，需要考查相應函數的對稱性，借助對稱性來解題。17.已知m>0,n>0,向量，且，則的最小值是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.[選修4—4：坐標系與參數方程]（本小題滿分10分）在平面直角坐標系中，圓的參數方程為為參數,,以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為若圓上的點到直線的最大距離為，求的值.參考答案：因為圓的參數方程為（為參數，），消去參數得，，所以圓心，半徑為，……3分因為直線的極坐標方程為，化為普通方程為，………6分圓心到直線的距離為，……8分又因為圓上的點到直線的最大距離為3，即，所以．…10分略19.某工廠有一批貨物由海上從甲地運往乙地，已知輪船的最大航行速度為海里/小時，甲地至乙地之間的海上航行距離為海里，每小時的運輸成本由燃料費和其它費用組成，輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比，比例系數為，其余費用為每小時元．（）把全程運輸成本（元）表示為速度（海里/小時）的函數．（）為使全程運輸成本最小，輪船應以多大速度行駛？參考答案：見解析（）∵速度為海里/小時，航行時間為小時，總燃料費為元，其余費用為元，∴．（）∵，當且僅當時，等號成立，，即輪船以海里/小時速度行駛時，全程運輸成本最小．20.（12分）已知橢圓C：+y2=1與x軸、y軸的正半軸分別相交于A、B兩點．點M、N為橢圓C上相異的兩點，其中點M在第一象限，且直線AM與直線BN的斜率互為相反數．（1）證明：直線MN的斜率為定值；（2）求△MBN面積的取值范圍．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）設直線AM的方程為y=k（x﹣1），直線BN的方程為y=﹣kx+1，分別與橢圓C聯立方程組，分別求出M點坐標、N點坐標，由此能求出直線MN的斜率．（2）設直線MN的方程為y=，（﹣1＜b＜1），記A，B到直線MN的距離分別為dA，dB，求出dA+dB=，聯立方程組，得x2+2bx+2b2﹣2=0，由此利用韋達定理、弦長公式能求出S△MBN的取值范圍．【解答】證明：（1）∵直線AM與直線BN的斜率互為相反數，∴設直線AM的方程為y=k（x﹣1），直線BN的方程為y=﹣kx+1，聯立方程組，解得M點坐標為M（），聯立方程組，解得N點坐標為N（），∴直線MN的斜率kMN==．解：（2）設直線MN的方程為y=，（﹣1＜b＜1），記A，B到直線MN的距離分別為dA，dB，則dA+dB=+=，聯立方程組，得x2+2bx+2b2﹣2=0，∴，|MN|=|xM﹣xN|=，S△MBN=S△AMN+S△BMN=|MN|?dA+|MN|?dB=|MN|（dA+dB）=2，∵﹣1＜b＜1，∴S△MBN∈（2，2]．【點評】本題考查直線斜率為定值的證明，考查三角形面積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、直線與橢圓位置關系、韋達定理、弦長公式的合理運用．21.在四棱錐P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4，點E為PC的中點．（1）求證：CD⊥平面PBD；（2）若直線EB與平面ABCD所成角的正切值為，試求三棱錐P﹣ABD的外接球的體積．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LG：球的體積和表面積；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取BC中點F，連接DF，在梯形ABCD中，可得CD==2，由BC2=BD2+CD2，得CD⊥BD，又PB⊥平面ABCD，得PB⊥CD，即可得CD⊥平面PBD；（Ⅱ）由直線EB與平面ABCD所成角的正切值，設三棱錐P﹣BAD的外接球半徑為R，可得（2R）2=PB2+AB2+AD2，得R，利用球的體積公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）如圖，取BC中點F，連接DF，在梯形ABCD中，∵AB=AD=2，BC=4，可得CD==2，則BC2=BD2+CD2，故CD⊥BD，又∵PB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PB⊥CD，PB?面PBD，DB?面PBD，且PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD；（Ⅱ）如圖，過D作DF⊥BC交BC于F，連接EF，則EF∥PB，EF⊥面ABCD∴∠EBC直線EB與平面ABCD所成角，∴tan∠EBC==，∵BF=2，∴EF=1，PB=2設三棱錐P﹣BAD的外接球半徑為R，可得（2R）2=PB2+AB2+AD2，∴，V球=．22.一個空間幾何體的三視圖及部分數據如圖所示．(1)請畫出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；(2)證明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中點，在棱AB上取中點E，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結論．參考答案：(1)幾何體的直觀圖如圖．四邊形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝1，四邊形AA1C1C是邊長為的正方形，且垂直于底面BB1C1C，∴其體積V＝×1××＝．(2)∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.