2021-2022學年湖南省衡陽市常寧大堡中學高二數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是(

)A.抽簽法 B.系統抽樣法 C.分層抽樣法 D.隨機數法參考答案：C按照各種抽樣方法的適用范圍可知，應使用分層抽樣.選C考點：本題考查幾種抽樣方法概念、適用范圍的判斷，考查應用數學方法解決實際問題的能力.2.已知定義在R上的函數滿足以下三個條件：①對于任意的，都有；②對于任意的③函數的圖象關于y軸對稱，則下列結論中正確的是（

） A． B． C． D．參考答案：A略3.已知，則乘積可表示為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.若函數，則與的大小關系是（

）A. B.C. D.不確定參考答案：B【分析】先對函數求導，求出，進而可判斷出函數單調性，得出結果.【詳解】因為，所以，故，解得，所以，因此，函數單調遞增；故.故選B【點睛】本題主要考查導數的計算以及導數的應用，熟記導數計算公式、以及導數方法判斷函數單調性即可，屬于常考題型.5.若直線的參數方程為，則直線的斜率為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.一束光線自點P（1，1，1）發出，遇到平面xoy被反射，到達點Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）A． B． C． D．參考答案：D【分析】求出P關于平面xoy的對稱點的M坐標，然后求出MQ的距離即可．【解答】解：點P（1，1，1）平面xoy的對稱點的M坐標（1，1，﹣1），一束光線自點P（1，1，1）發出，遇到平面xoy被反射，到達點Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是：=．故選D．【點評】本題考查點關于平面對稱點的求法，兩點的距離公式的應用，考查計算能力．7.若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A8.拋物線的焦點坐標為A. B. C. D.參考答案：A拋物線，開口向右且焦點在軸上，坐標為.故選A.9.點P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，則PA與BD所成的角的度數為()A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

參考答案：C略10.在中，已知,,，則=

（

）

A．2

B．1

C．－1

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圓截直線所得的弦長為

.參考答案：12.已知，且,則實數的取值范圍

；參考答案：略13.若直線y=x+b與曲線恰有一個公共點，則b的取值范圍為．參考答案：（﹣1，3]∪{1﹣2}【考點】直線與圓的位置關系．【分析】曲線即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（y≤3），表示以A（2，3）為圓心，以2為半徑的一個半圓，由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，解得b=1+，b=1﹣．當直線過點（4，3）時，直線與曲線有兩個公共點，此時b=﹣1，結合圖象可得b的范圍．【解答】解：如圖所示：曲線y=3﹣即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（﹣1≤y≤3），表示以A（2，3）為圓心，以2為半徑的一個半圓，由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，可得=2，∴b=1+，b=1﹣．當直線過點（4，3）時，直線與曲線有兩個公共點，此時b=﹣1結合圖象可得﹣1＜b≤3或b=1﹣．故答案為：（﹣1，3]∪{1﹣}14.無論取何實數時，直線恒過定點，求定點的坐標為

.參考答案：15.已知某圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的體積為

．參考答案：由題意知：圓錐的母線長；圓錐的側面展開圖的弧長等于底面圓的周長，設底面圓的半徑為，則，；圓錐的高；所以圓錐的體積.

16.為虛數單位,設復數,在復平面內對應的點關于原點對稱,若,則____

。參考答案：略17.若點三點共線，則的值為_____________.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）數列{an}滿足Sn＝2n+2an(n∈N*)．(1)計算a1、a2、a3，（2）有同學猜想an＝；請根據你的計算確定的值，并用數學歸納法證明。參考答案：(1)當n＝1時，a1＝S1＝2+2a1，∴a1＝－2

……1分當n＝2時，a1＋a2＝S2＝2×2+2a2，∴a2＝－6

……2分當n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3+2a3，∴a3＝－14

……3分當n＝4時，a1＋a2＋a3+＝S4＝2×4+2a4，∴a4＝－30

……4分（2）＝n+1,由此猜想an＝(n∈N*)

………………7分證明：①當n＝1時，a1＝－2，結論成立，

……8分②假設n＝k(k≥1，且k∈N*)時，猜想成立，即ak＝成立，

當n＝k＋1時，

……9分ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)+2ak＋1－2k－2ak＝2－2ak+2ak＋1，∴ak＋1＝－2＋2ak＝－2+2（）＝2－即，當n＝k＋1時，猜想成立，

……12分根據，①和②對于一切的自然數n∈N*，猜想成立．

……14分19.如圖，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；(2)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；(3)是否存在常數λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．參考答案：略20.設是各項均不為零的（）項等差數列，且公差.（Ⅰ）若,且該數列前項和最大，求的值；（Ⅱ）若,且將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列，求的值；（Ⅲ）若該數列中有一項是，則數列中是否存在不同三項（按原來的順序）為等比數列？請說明理由.

參考答案：（Ⅰ）解法一：由已知得∴

…………3分∵

∴取最大時的值為30或31.

………………4分解法二：由已知得

∴.若取最大，則只需即解得.∵

∴當取最大時的值分別是30或31.（Ⅱ）當時，該數列的前4項可設為10、、、.若刪去第一項10，則由題意得，解得，不符合題意.…5分若刪去第二項，則由題意得解得，符合題意.…6分若刪去第三項，則由題意得解得，符合題意.

…7分若刪去第四項，則由題意得解得，不符合題意.…8分綜上所述，的值為或10.

……………9分略21.已知上是增函數，在[0，2]上是減函數.（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求證:參考答案：(Ⅰ）

上是增函數，在[0，2]上是減函數，

∴當取到極大值，………6分（Ⅱ）∵函數上是減函數，恒成立...………10分..………12分略22.已知一四棱錐P－ABCD的三視圖如下，E是側棱PC上的動點，是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？