數列第二章章末復習內容本章診療一、數列的概念精要總結1.數列的概念的理解。數列的數是按一定次序排列的，因此如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們是不同的數列，例如4，5，6，7，8，9，10與數列10,9,8,7,6.5.4是兩個不同的數列.數列的定義中并沒有規定數列中的數必須不同，因此同一個數在數列中可以重復出現；數列的性質與集合中的元素相比較：①確定性：一個數是或不是某一數列中的項是確定的的，集合中的元素也具有確定性；②可重復性：數列中的數可以重復，而集合中的元素是不能重復出現；③有序性：一個數列不僅與構成的數列“數”有關，而且與這些數的排列次序有關，而集合中的元素是無序的；④數列的每一項是數，而集合中的元素還可以代表除數字的其它事物.2.對數列通項公式的理解（1）數列的通項公式實際上是一個以正整數集或它的有限子集為定義域的函數的解析式.（2）如果知道數列中的通項公式，依次可以用去替代公式中的就可以求出這個數列中的各項，同時，可以利用數列的通項公式進行驗證某數是否是數列中的某項，是第幾項；（3）如所有的函數關系式都不一定有解析式一樣，并不是所有的數列都有通項公式，例如的近似值，精確到,,，所構成的數列為就寫不出數列的通項公式.（4）有的數列的通項公式，在形式上是不一定是唯一確定的，例如數列：的通項可以寫成也可以寫為，還可以寫為等，但是這些數列雖然形式不一樣但是實質是一樣的，表示同一數列，還應注意數列的通項還可以是分段函數的形式.3.數列與函數由于數列是以正整數集或它的有限子集為定義域的函數，當自變量按照從小到大的順序取值時，所對應的一列函數值，因此數列的圖像是以序號為橫坐標，相應的項為縱坐標的一系列孤立點，依據函數的特性來研究數列的問題，比如數列的單調性、圖像、最值等數列的概念易錯點，利用函數研究數列往往忽視數列的定義域4.遞推數列與通項公式（1）通項公式直接反映了與之間的關系，即是的函數，知道任意一個值，可以求出該項的值；而遞推數列則是間接反映數列的式子，它是數列任意兩個（或多個）相鄰項之間的推導關系，不能由直接推導，（2）.如何用遞推公式給出一個數列用遞推數列公式給出一個數列，必須給出①“基礎”——數列的第1項或前幾項；②遞推關系————數列的任一項與它的前一項（或前幾項）之間的關系，并且這個關系可以用一個公式來表示.（3）.給出了遞推公式求數列的通項公式，常用累加、累乘、周期性等知識求解①如果滿足的規律時，可以有累加.②滿足時，可以有累乘.③為周期數列，則周期為（T為正整數）時，，可將轉化為處理.2.錯例辨析例2下列說法哪些是正確的？哪些是錯誤的？并說明理由（1）數列1,2,3，4可以表示為{1,2,3,4}（2）數列1,1,2,2與數列2,2,1,1是相同的數列（3）數列的第21項是（4）數列是無窮數列錯解：（2）（4）正確剖析：上面全錯搞清數列的概念正解：（1）錯誤，數列的表示不能與集合表示，所以是錯誤的；（2）錯誤，兩個數列的次序不同是不同的數列；（3）正確，數列的奇數項是，所以第項是；（4）錯誤，數列是有窮數列.例3已知下面數列的前項和為，求數列的通項公式錯解：，所以通項為.剖析：由求一定要分兩種情況，當時，，對含有參數的問題要注意參數進行討論正解：，當時，.當時，適合此等式；當時，不適合此等式.時，；當時，.二、等差數列1.精要總結（1）從第二項起每一項與前一項的差是一個常數，那么這個數列是等差數列，常數必須相同，即表示為是同一個常數，(1)從函數角度看等差數列的通項公式等差數列的通項公式，可以表示為，所以是的一次函數，其圖像是一系列孤立點，當時，是單調遞增函數，當是單調遞減函數，當是常函數，此時數列是常數列.（2）有兩點可以確定一條直線知，知道數列中的任意兩項可以求出數列的通項來；由中共含有四個量，知三個量可以求出通項公式中的第四個量，即“知三求一”.利用等差數列的性質可以簡便易行，那么等差數列的性質有搞清等差數列的性質，在解決數列問題時，性質優先考慮，所以等差數列常用的性質（1），那么；（2）；（3）分別是公差為等差數列，那么數列是公差為

但是注意在等差數列中，如果，不能推出.熟記等差數列的求和公式，關于的二次函數，但是沒有常數項，若有常數項就不是等差數列的前項和，可以根據二次函數求等差數列和的最大值與最小值；也可以根據數列的單調性根據通項的正負確定最大項與最小項，等差數列和的性質滿足每項的和仍成等差數列即仍成等差數列.1.等差數列的前項的和公式：是2.等差數列的前項和的推導過程相加可得這是數列求和的方法-----倒序相加求和.3.由等差數列求和公式若已知中的三個，可以求出其余的兩個.1.等差數列前項和的性質有：①與的關系滿足；②若項數為，則且；若項數為，則.③等差數列每項的和仍成等差數列，即仍成等差數列.2.等差數列的前項的和公式與函數的關系來解決等差數列的前項和的最值問題（1）二次函數法：用求二次函數最值的方法來求等差數列的前項和的最值問題，注意；（2）用圖像法：利用二次函數的圖像的對稱性來確定的值，使取最值；（3）通項法：當，時，為使的最大的正整數時，最大，這是因為：當時，即遞增；當時，即遞減；類似地，①當為最大值；②當為最小值.2.錯例辨析例4成等差數列的四個數之和為26，第二個數與第三個數之積為40，求這四個數.錯解：這四個數為，則由題設得解得所以所求的四個數為2,5,8,11.剖析：四個數成等差數列可以按設，但是注意公差不是，而是，再就是注意2,5,8,11.與與11,8,5,2.是不同的等差數列.正解：設這四個數為，則由題設得解得或所以，所求這四個數為2,5,8,11或11,8,5,2.例5在等差數列中，已知前項的和為，且求當取何值時，有最大值，并求出最大項.錯解：設公差為，因為，所以由等差數列的前項和公式得，即，所以，當時，所以當時，最大，剖析：事實上是不正確的，應當滿足正解：設公差為，因為，所以由等差數列的前項和公式得，即，因為，所以，即，又因為，又因為，所以，故當時有最大值，為.三、等比數列1.精要總結（1）在等比數列中公比，任何一項也不為零，從第二項起每一項與前一項的比是同一個常數，各項均不為零的常數列即是等差又是等比數列.（2）理解等比數列的通項公式，在通項公式中，知道中四個量中的三個可以求出另一量，可以推廣為：，三個數成等比數列,那么是的等比中項，所以.（3）等比數列的性質①在等比數列中，公比是，當或時，是遞增數列；當或，時，是單調遞減數列；當時，數列是常數列，當是擺動數列；②在等比數列中，（）③在等比數列中，當時，有.④若有窮等比數列中，則與首末等距離的兩項的積相等，即⑤在等比數列中，若成等差數列，那么成等比數列.（4）等比數列的前項和①等比數列的前項的和公式為，其中共涉及五個量，“知三求二”②前項和公式的應用中，要注意前項和公式的分類討論，即與時不同的表達形式，不可忽略的情況，③錯位相減和裂項消去法是數列求和的基本方法，其中錯位相減法要注意等式兩邊所乘的數不能為，首末兩位不能含糊不清.（5）等比數列和的性質等比數列的性質：①與指數函數對應；②成等比數列，公比為.③等比數列中，若項數為，則，若項數為，則，利用等比數列的性質解題，可以事半功倍.有關應用問題，關鍵在于理解題意，建立起函數關系，當函數關系與數列的通項公式相對應時，考慮這些項是否為特殊的等差、等比數列中的項，有關增長率問題，一般歸結為等比數列的求通項、求和問題，應用等比數列通項公式和前項和公式便可以解決.2.錯例辨析例6已知數列是非零等差數列，又a1,a3,a9組成一個等比數列的前三項，則的值是.錯解：忘考慮公差為零的情況.剖析：，正解：或，當時，，當時，.答案：1或例7在等比數列中，，求錯解：設公比為，則，兩式相乘可得剖析：一方面是和的等比中項，另一方面的符號確定在等比數列中的位置，錯解中沒有對的符號進行準確的判斷致誤.正解：同上當為奇數時，與的奇偶性相反，.當為偶數時，與的奇偶性相同，即與同號，故四、數列求和的方法1.精要總結對于數列求和遇到等差或等比數列的可以利用等差數列與等比數列的求和公式求和，那么不是等差或等比數列的求和可以有下面的方法①拆項相消求和，一般遇到分式或根式的數列把通項拆成兩項的差再求和，常用的，，注意拆成的兩項的差一定要與保持一致，否則配如適當的系數；②錯位相減求和，一般遇到等差數列與等比數列的積可以利用錯位相減求和，就是把寫出來，再同乘以公比，轉化為等比數列再求和，第一注意項數，再就是公比是參數時注意討論；③倒序相加求和；向等差數列求和公式的推導，到首末兩端等距離的項數的和相等，這樣的數列可以利用倒序相加求和；④分項分別求和：遇到復雜的數列可以把數列的通項拆成幾部分在分別求和，不論采用哪一種方法，一般先求數列通項，根據通項再求和.2.錯例辨析例8求