湖南省長沙市喻家坳鄉聯校2021-2022學年高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式為（）A．B．C．D．

參考答案：D【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的圖像與性質．【分析】由函數的圖象的頂點坐標求出A和b，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式．【解答】解：根據函數f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）的圖象，可得A=5﹣3=2，b=3，=4﹣1=3，∴ω=．再根據五點法作圖可得+φ=π，∴φ=，故f（x）=2sin（x+）+3，故選：D．【點評】本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，屬于基礎題．2.已知i為虛數單位，復數z滿足（1+i）z=（1﹣i）2，則|z|為（）A． B．1 C． D．參考答案：A【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則、共軛復數的定義、模的計算公式即可得出．【解答】解：（1+i）z=（1﹣i）2，∴（1﹣i）（1+i）z=﹣2i（1﹣i），2z=﹣2﹣2i，即z=1﹣i．則|z|==．故選：A．3.函數在區間上是增函數，且，則（

）A.0,

B.,

C.,

D.1.參考答案：D4.設奇函數f(x)在(0，＋∞)上為單調遞減函數，且f(1)＝0，則不等式的解集為A．(－∞，－1]∪(0,1]

B．[－1,0]∪[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D．[－1,0)∪(0,1]參考答案：C5.過點(1,1)，且在軸上的截距為3的直線方程是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.右圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于

(

)

A．

B．C．

D．

參考答案：A7.已知雙曲線C：過點，且實軸的兩個端點與虛軸的一個端點組成一個等邊三角形，則雙曲線C的標準方程是（

）A．

B．C.

D．參考答案：C由雙曲線：過點，且實軸的兩個端點與虛軸的一個端點組成一個等邊三角形，可得：，解得：，∴雙曲線的標準方程是故選：C

8.設奇函數在上是增函數，且，則不等式的解集為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D9.已知是函數圖象的一個最高點,是與相鄰的兩個最低點．若，則的圖象對稱中心可以是（A）（B）（C）（D）參考答案：C【命題意圖】本小題考查三角函數的圖象和性質、解三角形、二倍角公式等基礎知識；考查學生的抽象概括能力、運算求解能力以及數據處理能力；考查數形結合思想、化歸與轉化思想以及函數與方程思想；考查數學抽象、直觀想象和數學分析等.【試題簡析】如圖，取的中點，連結，則，設，則，由余弦定理可得，，解得，，的中點都是圖象的對稱中心.故選.【錯選原因】錯選A：平時缺乏訓練，只記得正弦函數的對稱中心是

錯選B：誤把最高點的2當成了周期；

錯選D：這類同學可以求出函數的周期是6，但沒注意到函數并未過原點.10.在一次跳高比賽前，甲、乙兩名運動員各試跳了一次．設命題表示“甲的試跳成績超過2米”，命題表示“乙的試跳成績超過2米”，則命題表示（

）（A）甲、乙恰有一人的試跳成績沒有超過2米（B）甲、乙兩人的試跳成績都沒有超過2米（C）甲、乙至少有一人的試跳成績超過2米（D）甲、乙至少有一人的試跳成績沒有超過2米參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.x,y自變量滿足當時，則的最大值的變化范圍為____參考答案：（1）當x+y=S與y+2x=4有交點時，最大值在兩直線交點處取得，最小范圍是此時S=3時代入Z=7

(2)當x+y=S與y+2x=4沒有交點時最大值在B處取得代入綜上范圍是12.已知集合，集合，則集合

。參考答案：13.在銳角中，角的對邊分別為，已知，，，則的面積等于

．參考答案：條件即為，由余弦定理得，所以得，又A為銳角，所以．又，所以，得，故．在中，由正弦定理得，所以．故的面積．答案：14.已知（a，b∈R），其中i為虛數單位，則a+b=

． 參考答案：1【考點】復數相等的充要條件． 【分析】先對等式化簡，然后根據復數相等的充要條件可得關于a，b的方程組，解出可得． 【解答】解：，即=2﹣ai=b+i， 由復數相等的條件， 得，解得， ∴a+b=1， 故答案為：1． 【點評】本題考查復數相等的充要條件，屬基礎題，正確理解復數相等的條件是解題關鍵．15.已知函數，若恒成立，則的最大值為

04f(x)1－11參考答案：略16.若函數的圖像為，則下列結論中正確的序號是_____________．①圖像關于直線對稱；②圖像關于點對稱；③函數在區間內不是單調的函數；④由的圖像向右平移個單位長度可以得到圖像．參考答案：①②試題分析：對于①：若函數的對稱的對稱軸方程為，當時，，故①正確；對于②，若函數的對稱中心為，當時，對稱中心為，故②正確；對于③，函數的遞增區間為，所以函數在區間單調遞增，故③錯；對于④，的圖像向右平移個單位長度后得到的函數解析式為，故④錯，所以應填①②.考點：三函數的圖象與性質.【名師點睛】本題考查三角函數的圖象與性質，屬中檔題；與三角函數的性質與圖象相結合的綜合問題，一般方法是通過三角恒等變換將已知條件中的函數解析式整理為的形式，然后借助三角函數的性質與圖象求解.17.設f（x）是周期為2的奇函數，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），則=

．參考答案：【考點】函數的周期性；函數奇偶性的性質；函數的值．【專題】計算題．【分析】由題意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知條件進行運算．【解答】解：∵f（x）是周期為2的奇函數，當0≤x≤1時，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查函數的周期性和奇偶性的應用，以及求函數的值．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分7分）選修4-4：矩陣與變換已知矩陣M所對應的線性變換把點A(x,y)變成點A‘(13,5),試求M的逆矩陣及點A的坐標參考答案：依題意得由得,故從而由得故為所求.19.設數列{an}滿足：

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設數列{bn}是等差數列，是其前n項和，，求參考答案：20.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊依次為a，b，c，其中b=2．（Ⅰ）若asin2B=bsinA，求B；（Ⅱ）若a，b，c成等比數列，求△ABC面積的最大值．參考答案：【分析】（Ⅰ）根據二倍角公式和正弦定理可得cosB，繼而求出B，（Ⅱ）據題意得出，b2=ac，利用余弦定理，基本不等式求解cosB≥，根據余弦函數的單調性得出答案【解答】解：（Ⅰ）由，得，由正弦定理得，得，又∵B∈（0，π），∴，（Ⅱ）若a，b，c成等比數列，則有b2=ac=4，∴，當且僅當a=c=2時等號成立，∵y=cosx在（0，π）單調遞減，且，∴B的最大值為．∴，當時，△ABC面積取得最大值．21.對x∈R，定義函數sgn（x）=（1）求方程x2﹣3x+1=sgn（x）的根；（2）設函數f（x）=[sgn（x﹣2）]?（x2﹣2|x|），若關于x的方程f（x）=x+a有3個互異的實根，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】函數與方程的綜合運用；函數的圖象；根的存在性及根的個數判斷．【分析】（1）利用已知條件，列出方程，逐一求解即可．（2）求出函數的解析式，得到a的表達式，畫出圖象，通過a的范圍討論函數零點個數即可．【解答】解：（1）當x＞0時，sgn（x）=1，解方程x2﹣3x+1=1，得x=3（x=0不合題意舍去）；當x=0時，sgn（x）=0，0不是方程x2﹣3x+1=0的解；當x＜0時，sgn（x）=﹣1，解方程x2﹣3x+1=﹣1，得x=1或x=2（均不合題意舍去）．綜上所述，x=3是方程x2﹣3x+1=sgn（x）的根．

…（2）由于函數，則原方程轉化為：．數形結合可知：①當a＜﹣2時，原方程有1個實根；②當a=﹣2時，原方程有2個實根；③當﹣2＜a＜0時，原方程有3個實根；④當a=0時，原方程有4個實根；⑤當時，原方程有5個實根；⑥當時，原方程有4個實根；⑦當時，原方程有3個實根；⑧當時，原方程有2個實根；⑨當時，原方程有1個實根．故當時，關于x的方程f（x）=