2．3映射的概念學習目標1.了解映射的概念，掌握映射的三要素(難點)；2.會判斷給出的兩集合，能否構成映射(重點)．預習教材P46－47，完成下面問題：知識點一映射的概念一般地，設A，B是兩個非空集合，如果按照某種對應法則f，對于A中的每一個元素，在B中都有唯一的元素與之對應，那么這樣的單值對應叫做從集合A到集合B的映射，記為f：A→B.【預習評價】下面各圖表示的對應構成映射的有________．解析①②③這三個圖所表示的對應都符合映射的定義，即A中的每一個元素在對應法則下，B中都有唯一的元素與之對應．對于④⑤，A中的每一個元素在B中有2個元素與之對應，所以不是A到B的映射；對于⑥，A中的元素a3，a4，在B中沒有元素與之對應，所以不是A到B的映射．答案①②③知識點二映射與函數的關系名稱區別與聯系函數映射區別函數中的兩個集合A和B必須是非空數集映射中的兩個集合A和B可以是數集，也可以是其他集合，只要非空即可聯系函數是一種特殊的映射；映射是函數概念的推廣，但不一定是函數【預習評價】函數與映射有何區別與聯系？提示函數是一種特殊的映射，即一個對應關系是函數，則一定是映射，但反之，一個對應關系是映射，則不一定是函數．題型一映射的判斷【例1】以下給出的對應是不是從集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是數軸上的點}，集合B＝R，對應關系f：數軸上的點與它所代表的實數對應；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐標系中的點}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，對應關系f：平面直角坐標系中的點與它的坐標對應；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圓}，對應關系f：每一個三角形都對應它的內切圓；(4)集合A＝{x|x是新華中學的班級}，集合B＝{x|x是新華中學的學生}，對應法則f：每一個班級都對應班里的學生．解(1)按照建立數軸的方法可知，數軸上的任意一個點，都有唯一的實數與之對應，所以這個對應f：A→B是從集合A到集合B的一個映射．(2)按照建立平面直角坐標系的方法可知，平面直角坐標系中的任意一個點，都有唯一的一個實數對與之對應，所以這個對應f：A→B是從集合A到集合B的一個映射．(3)由于每一個三角形只有一個內切圓與之對應，所以這個對應f：A→B是從集合A到集合B的一個映射．(4)新華中學的每一個班級里的學生都不止一個，即與一個班級對應的學生不止一個，所以這個對應f：A→B不是從集合A到集合B的一個映射．規律方法映射是一種特殊的對應，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地從A到B的映射與從B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應，可以是：一對一，多對一，但不能一對多．【訓練1】設集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，則下述對應法則f中，不能構成從A到B的映射的是________．①f：x→y＝x2 ②f：x→y＝3x－2③f：x→y＝－x＋4 ④f：x→y＝4－x2解析對于①，任一實數x都有唯一的x2與之對應，是映射，這個映射是一對一；對于②，任一x都有唯一3x－2與之對應，是映射，一對一．③類似于②.對于④，當x＝2時，由對應法則y＝4－x2得y＝0，在集合B中沒有元素與之對應，所以④不能構成從A到B的映射．答案④題型二利用對應法則求對應元素【例2】設集合A和B為坐標平面上的點集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，xy)，那么(1,2)在映射f作用下的對應元素為________；若在f作用下的對應元素為(－2，－3)，則它原來的元素為________．解析根據映射的定義，當x＝1，y＝2時，x＋y＝3，xy＝2，則(1,2)在映射f作用下的對應元素為(3,2)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－2，,xy＝－3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3，))即(－2，－3)所對應的原來的元素為(－3,1)或(1，－3)．答案(3,2)(－3,1)或(1，－3)規律方法求一個映射(f：A→B)中，A中元素在B中的對應元素或B中元素在A中的對應元素的方法，主要是根據對應法則列方程或方程組求解．【訓練2】已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是從A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素eq\r(2)在B中的對應元素和B中元素eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,4)))在A中的對應元素．解將x＝eq\r(2)代入對應法則，可求出其在B中的對應元素為(eq\r(2)＋1,3)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝\f(3,2)，,x2＋1＝\f(5,4)，))可得x＝eq\f(1,2).所以eq\r(2)在B中的對應元素為(eq\r(2)＋1,3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,4)))在A中的對應元素為eq\f(1,2).互動探究題型三映射的個數問題【探究1】已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,2}．(1)從A到B可以建立多少個不同的映射？從B到A呢？(2)若f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，則從A到B的映射中滿足條件的映射有幾個？解(1)從A到B可以建立8個映射，如下圖所示．從B到A可以建立9個映射，如圖所示．(2)欲使f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，需a，b，c中有兩個元素對應－1，一個元素對應2，共可建立3個映射．【探究2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2,3}，映射f：A→B滿足A中元素a在B中的對應元素是1，問這樣的映射有幾個．解由已知f(a)＝1，所以，①f(b)＝f(c)＝1時有1個；②f(b)＝f(c)＝2或f(b)＝f(c)＝3時各有1個，共2個；③f(b)＝1，f(c)＝2時有1個；④f(b)＝1，f(c)＝3時有1個；⑤f(c)＝1，f(b)＝2時有1個；⑥f(c)＝1，f(b)＝3時有1個；⑦f(b)＝2，f(c)＝3時有1個；⑧f(b)＝3，f(c)＝2時有1個．綜上可知，共有不同映射9個．【探究3】已知從集合A到集合B＝{0,1,2,3}的映射f：x→eq\f(1,|x|－1)，則集合A中的元素最多有幾個？解∵f：x→eq\f(1,|x|－1)是從集合A到集合B的映射，∴A中的每一個元素在集合B中都應該有對應元素．令eq\f(1,|x|－1)＝0，該方程無解，分別令eq\f(1,|x|－1)＝1,2,3，解得x＝±2，x＝±eq\f(3,2)，x＝±eq\f(4,3)，∴集合A中的元素最多有6個．【探究4】設M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}．(1)求從M到N的映射個數；(2)從M到N的映射滿足f(a)＞f(b)≥f(c)，試確定這樣的映射f的個數．解(1)M中元素a可以對應N中的－2,0,2中任意一個，有3種對應方法，同理，M中元素b，c也各有3種對應方法．因此從M到N的映射個數為3×3×3＝27.(2)滿足f(a)＞f(b)≥f(c)的映射是從M到N的特殊映射，可具體化，通過列表求解(如下表).f(a)f(b)f(c)0－2－22－2－220－2200故符合條件的映射有4個．規律方法(1)映射是一種特殊的對應，一對一，多對一均為映射，但一對多不構成映射．(2)判斷兩個集合的一種對應能否構成函數，首先判斷能否構成映射，且構成映射的兩個集合都是數集，這樣的映射才能構成函數．①如果集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，那么從集合A到集合B的映射共有nm個，從B到A的映射共有mn個．②映射帶有方向性，從A到B的映射與從B到A的映射是不同的．課堂達標1．若f：A中元素(x，y)對應B中的元素(x＋y，x－y)，則B中元素________與A中元素(1,2)對應，A中元素________與B中元素(1,2)對應．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝3，,1－2＝－1，))得B中元素(3，－1)與A中(1,2)對應．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\f(1,2)，))所以A中元素eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))與B中元素(1,2)對應．答案(3，－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))2．設集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－1，－2，－3}，試問，從集合A到集合B的不同映射有________個．解析每個元素都有3種對應，所以3×3×3＝27.答案273．設f，g都是由A到A的映射，其對應法則如下表：映射f的對應法則如下：A中元素1234對應元素3421映射g的對應法則如下：A中元素1234對應元素4312則f(g(1))＝________.解析因為g(1)＝4，所以f(g(1))＝f(4)＝1.答案14．設f：x→x2是集合A到集合B的函數，若B＝{1}，則A∩B＝________.解析由f：x→x2是集合A到集合B的函數，如果B＝{1}，則A＝{－1,1}或A＝{－1}或A＝{1}，所以A∩B＝?或{1}．答案?或{1}5．已知B＝{－1,3,5}，若集合A使得f：x→3x－2是A到B的映射，求集合A.解由f：x→3x－2，分別令：3x－2＝－1，3x－2＝3,3x－2＝5，得x＝eq\f(1,3)，eq\f(5,3)，eq\f(7,3).∴A是集合{eq\f(1,3)，eq\f(5,3)，eq\f(7,3)}的非空子集．即A為：{eq\f(1,3)}，{eq\f(5,3)}，{eq\f(7,3)}，{eq\f(1,3)，eq\f(5,3)}，{eq\f(1,3)，eq\f(7,3)}，{eq\f(5,3)，eq