公道中學應用題備選梁習云劉勤1、一個質地均勻的正四面體（側棱長與底面邊長相等的正三棱錐）骰子四個面上分別標有1，2，3，4這四個數字，拋擲這顆正四面體骰子，觀察拋擲后能看到的數字．（1）若拋擲一次，求能看到的三個面上數字之和大于6的概率；（2）若拋擲兩次，求兩次朝下面上的數字之積大于7的概率；（3）若拋擲兩次，以第一次朝下面上的數字為橫坐標，第二次朝下面上的數字為縱坐標，求點（）落在直線下方的概率．解：（1）記事件“拋擲后能看到的數字之和大于6”為A，拋擲這顆正四面體骰子，拋擲后能看到的數字構成的集合有{2，3，4}，{1，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，共有4種情形，其中，能看到的三面數字之和大于6的有3種，則（2）記事件“拋擲兩次，兩次朝下面上的數字之積大于7”為B，兩次朝下面上的數字構成的數對有共有16種情況，其中能夠使得數字之積大于7的為（2，4），（4，2）（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）共6種，則P（B）=（3）記事件“拋擲后點（a,b）在直線x-y=1的下方”為C，要使點（a,b）在直線`x-y=1的下方，則須b<a-1，當b=1時，a=3或4；當b=2時，a=4，則所求的概率P（C）=2．某個公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，∠C＝90°，AB＝200米，BC＝100(1)現在準備養一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點D，E，F，如圖(1)，使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面積S△DEF的最大值；(2)現在準備新建造一個荷塘，分別在AB，BC，CA上取點D，E，F，如圖(2)，建造△DEF連廊(不考慮寬度)供游客休憩，且使△DEF為正三角形，求△DEF邊長的最小值．解(1)Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝200米，BC＝100∴cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,2)，可得B＝60°∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B＝60°設eq\f(CE,CB)＝λ(0＜λ＜1)，則CE＝λCB＝100λ米，Rt△CEF中，EF＝2CE＝200λ米，C到FE的距離d＝eq\f(\r(3),2)CE＝50eq\r(3)λ米，∵C到AB的距離為eq\f(\r(3),2)BC＝50eq\r(3)米，∴點D到EF的距離為h＝50eq\r(3)－50eq\r(3)λ＝50eq\r(3)(1－λ)米可得S△DEF＝eq\f(1,2)EF·h＝5000eq\r(3)λ(1－λ)米2∵λ(1－λ)≤eq\f(1,4)[λ＋(1－λ)]2＝eq\f(1,4)，當且僅當λ＝eq\f(1,2)時等號成立，∴當λ＝eq\f(1,2)時，即E為AB中點時，S△DEF的最大值為1250eq\r(3)米2(2)設正△DEF的邊長為a，∠CEF＝α，則CF＝a·sinα，AF＝eq\r(3)－a·sinα.設∠EDB＝∠1，可得∠1＝180°－∠B－∠DEB＝120°－∠DEB，α＝180°－60°－∠DEB＝120°－∠DEB∴∠ADF＝180°－60°－∠1＝120°－α在△ADF中，eq\f(a,sin30°)＝eq\f(\r(3)－asinα,sin∠ADF)即eq\f(a,\f(1,2))＝eq\f(\r(3)－asinα,sin120°－α)，化簡得a[2sin(120°－α)＋sinα]＝eq\r(3)∴a＝eq\f(\r(3),2sinα－\r(3)cosα)＝eq\f(\r(3),\r(7)sinα－φ)≥eq\f(\r(3),\r(7))＝eq\f(\r(21),7)(其中φ是滿足tanφ＝eq\f(\r(3),2)的銳角)．∴△DEF邊長最小值為eq\f(\r(21),7)米．3、已知艦A在艦B的正東，距離6公里，艦C在艦B的北偏西30，距離4公里，它們準備圍找海洋動物，某時刻艦A發現動物信號，4秒后，艦B，C同時發現這種信號，A于是發射麻醉炮彈，設艦與動物都是靜止的，動物信號的傳播速度為1公里/1秒，求艦A炮擊的方位角。解：為確定海洋動物的位置，首先的直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立直角坐標系（如圖），據題設，得B(-3,0),A(3,0),C(-5,2)且動物P(x,y)在BC的中垂線l上，∵BC中點M的坐標為(-4,)，kBC=-.∴l的方程為y-=(x+4)即：y=(x+7).................①又∵|PB|-|PA|=4(公里)∴P又在以B，A為焦點的雙曲線右支上。雙曲線方程為=1(x≥2)............