浙江省麗水市沙灣中學2022年度高三數學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓內有一點M（2，1），過M的兩條直線l1，l2分別與橢圓E交于A，C和B，D兩點，且滿足（其中λ＞0，且λ≠1），若λ變化時，AB的斜率總為，則橢圓E的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】由向量數量積的坐標運算及點差法作差求得=﹣×，代入即可求得a和b的關系，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：設A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），由=λ，即（2﹣x1，1﹣y1）=λ（x3﹣2，y3﹣1），則，同理可得：，∴，則2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]=1[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，將點A，B的坐標代入橢圓方程作差可得：=﹣×，即﹣=﹣×，則a2（y1+y2）=2b2（x1+x2），同理可得：a2（y3+y4）=2b2（x3+x4），兩式相加得：a2[（y1+y2）+（y3+y4）]=2b2[（x1+x2）+（x3+x4）]，∴2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]=1[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，∴=則=，則橢圓的離心率e===，故選D．2.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓C上關于長軸對稱的兩點，若直線AM與BN相交于點P，則點P的軌跡方程是（）A．x=±a（y≠0） B．y2=2b（|x|﹣a）（y≠0）C．x2+y2=a2+b2（y≠0） D．=1（y≠0）參考答案：D【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】求得直線PA的方程及PB的方程，兩式相乘，整理即可求得P的軌跡方程．【解答】解：由題意可知：A（﹣a，0），B（a，0），設M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0≠0，P（x，y），y≠0則直線PA的斜率k=，則直線PA的方程y=（x+a），①同理直線PB的斜率k=，直線PB的方程y=（x﹣a），②兩式相乘：y2=（x2﹣a2），由，y02=（a2﹣x02），則y2=（x2﹣a2），整理得：（a＞b＞0）（y≠0），則點P的軌跡方程（a＞b＞0）（y≠0），故選D．【點評】本題考查橢圓的標準方程，直線的點斜式方程，考查軌跡方程的求法，考查轉化思想，屬于中檔題．3.已知則的最小值為（

）A.2

B.1

C.

D.參考答案：B4.在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面積為，那么BC的長度為（）A． B．3 C．2 D．參考答案：A【考點】三角形中的幾何計算．【分析】根據三角形的面積公式求得丨AB丨，cosA=，sinA=，求得丨AD丨，丨BD丨在△BDC中利用勾股定理即可求得BC的長度．【解答】解：在圖形中，過B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨?丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，則丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，則丨BC丨=，故選A．5.已知集合，則A∪B＝A．(0,+∞)

B．(1,2)

C．(2,+∞)

D．（－∞，0）參考答案：A【分析】解集合A與集合B，求得集合的交集即可。【詳解】解集合A可得集合B為}所以AB＝所以選A

6.若集合，，則（

）（A）

（B）（C）

（D）或參考答案：B【知識點】集合的運算因為

所以，

故答案為：B7.下列命題中，真命題是A．

B．C．

D．參考答案：D8.已知奇函數f（x）在R上的導數為f′（x），且當x∈（－∞，0]時，f′（x）＞1，則不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集為A．（3，＋∞）B．[3，＋∞）C．（－∞，3]D．（－∞，3）參考答案：B9.已知函數函數（）．關于函數的零點，下列判斷不正確的是（A）若，有四個零點

（B）若，有三個零點（C）若，有兩個零點

（D）若，有一個零點

參考答案：A略10.已知雙曲線，過原點的直線與雙曲線交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點C，若△ABC的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．參考答案：B以為直徑的圓恰好經過雙曲線的右焦點，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知的面積，即，即點的縱坐標為，則由，得，因為點在雙曲線上，則，即，即，即，即，即，得，即，得，得，．則雙曲線的漸近線方程為，故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，把數列的各項排成三角形狀：

記A（m,n）表示第m行，第n列的項，則A（10,8）=________．參考答案：第n行共有2n-1個數，前九行共有個數,故A（10,8）相當于數列的第89項，因此A（10,8）=．12.已知拋物線的焦點為，準線與y軸的交點為為拋物線上的任意一點，且滿足，則的取值范圍是．參考答案：略13.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為2，側棱，P為上底面A1B1C1D1上的動點，給出下列四個結論：①若，則滿足條件的P點有且只有一個；②若，則點P的軌跡是一段圓弧；③若PD∥平面ACB1，則PD與平面ACC1A1所成角的正切的最大值為；④若PD∥平面ACB1，則平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得圖形面積最大值為.其中所有正確結論的序號為

．參考答案：

①②③14.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若b=l，a=2c，則當C取最大值時，△ABC的面積為________．參考答案：【知識點】余弦定理；三角形的面積公式.

C8

解析：當C取最大值時，cosC最小，由得，當且僅當c=時C最大，且此時sinC=，所以△ABC的面積為.

【思路點撥】由余弦定理求得C最大的條件，再由三角形面積公式求解.15.函數的定義域為A,若且時總有,則稱

為單函數.例如,函數是單函數.下列命題:①函數是單函數; ②函數是單函數;③若為單函數,且,則;④若函數在定義域內某個區間D上具有單調性,則一定是單函數.其中真命題是

(寫出所有真命題的編號).參考答案：③16.設的內角所對邊的長分別為,若,則角=______.參考答案：略17.（文科）已知函數正項等比數列滿足，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的導函數．（1）求函數g（x）=f（x）?f'（x）的最小值及相應的x值的集合；（2）若f（x）=2f′（x），求的值．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；兩角和與差的正切函數．【專題】綜合題；導數的綜合應用．【分析】（1）求出導數f′（x），表示出g（x）并化簡，由余弦函數的性質可求其最小值及相應x的值的集合；（2）由f（x）=2f′（x）可求得tanx值，利用和角正切公式可求得的值；【解答】解：（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f'（x）=cosx﹣sinx，∴g（x）=f（x）?f'（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴當2x=﹣π+2kπ（k∈Z），即時，g（x）取得最小值﹣1，相應的x值的集合為．

（2）由f（x）=2f′（x），得sinx+cosx=2cosx﹣2sinx，∴cosx=3sinx，故，∴．【點評】本題考查導數的運算法則及兩角和差的正切函數，考查學生的運算求解能力．19.已知橢圓離心率為，以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓O與直線l1：相切．（1）求橢圓C的方程；（2）設不過原點O的直線l2與該橢圓交于P、Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，求△OPQ面積的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）由直線與圓相切，求出b=1，由，得，由此能求出橢圓C的方程．（2）由題意可知，直線l2的斜率存在且不為0，故可設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），代入橢圓方程，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、等比數列性質、弦長公式，結合已知條件，能求出△OPQ面積的取值范圍．【解答】解：（1）由直線l1：與圓x2+y2=b2相切，得：，…由，得，…又a2=b2+c2，∴，∴a2=4，…橢圓C的方程為…（2）由題意可知，直線l2的斜率存在且不為0，故可設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，…則△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且x1+x2=，x1x2=．…故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．∵直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，∴==k2，…即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=±．…由△＞0，及直線OP，OQ的斜率存在，得0＜m2＜2且m2≠1．…S△OPQ=|x1﹣x2||m|==，…∴S△OPQ的取值范圍為（0，1）．…【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、等比數列性質、弦長公式的合理運用．20.已知向量，

(1)當向量與向量共線時，求的值；

(2)求函數的最大值,并求函數取得最大值時的的值.參考答案：(1)共線,∴,∴.(2),，函數的最大值為,得函數取得最大值時略21.函數（1）求不等式的解集；（2）若f(x)的最小值為k，且實數a、b、c滿足，求證：參考答案：（1）（2）證明見解析【分析】(1)分類去絕對值符號后解不等式，最后取并集；(2)求出函數的最小值k，根據基本不等式得出結論.【詳解】（1）①當時，不等式即為，解得②當時，不等式即為，③當時，不等式即為，綜上，的解集為（2）由當時，取最小值4，即，即當且僅當時等號成立【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，不等式的證明與基本不等式的應用，屬于中檔題.