河南省焦作市博愛第一中學2021-2022學年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設復數z滿足（1-i）z=2i，則z= （ ）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i參考答案：A2.函數的圖像可能是

(

) A

B

C

D參考答案：A略3.在公比為2的等比數列{an}中，前n項和為Sn，且S7－2S6＝1，則a1＋a5＝A.5

B.9

C.17

D.33參考答案：C4.命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是A.任意一個有理數，它的平方是有理數

B.任意一個無理數，它的平方不是有理數

C.存在一個有理數，它的平方是有理數

D.存在一個無理數，它的平方不是有理數

參考答案：B根據特稱命題的否定，需先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結論，故該命題的否定為“任意一個無理數,它的平方不是有理數”.故選B.【點評】本題考查特稱命題的否定.求解特稱命題或全稱命題的否定，千萬別忽視了改變量詞；另外，要注意一些量詞的否定的書寫方法，如：“都是”的否定為“不都是”，別弄成“都不是.5.已知函數，若成立，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.已知奇函數在時的圖象如圖所示,則不等式的解集為(

)

A.(1,2)

B.(－2,－1)

C.(－2,－1)∪(1,2)

D.(－1,1)參考答案：C7.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，那么A∩?UB=（）A．{3，5} B．{2，4，6} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，5，6}參考答案：A【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】根據補集與交集的定義，計算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，∴?UB={2，3，5，6}；∴A∩?UB={3，5}．故選：A．【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎題．8.若復數在復平面內的對應點關于虛軸對稱，，則（

）A.i B.－i C.1 D.－1參考答案：B【分析】利用已知求得，再利用復數的乘法、除法運算計算即可得解。【詳解】，復數在復平面內的對應點關于虛軸對稱，，故選:B【點睛】本題主要考查了復數的對稱關系，還考查了復數的除法、乘法運算，屬于基礎題。9.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.已知，則的值是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A＝＝二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x2﹣4x，則不等式f（x）＞x的解集為

．參考答案：（﹣5，0）∪（5，+∞）

【考點】函數奇偶性的性質．【分析】根據函數奇偶性的性質求出當x＜0的解析式，解不等式即可．【解答】解：若x＜0，則﹣x＞0，∵當x＞0時，f（x）=x2﹣4x，∴當﹣x＞0時，f（﹣x）=x2+4x，∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（﹣x）=x2+4x=﹣f（x），則f（x）=﹣x2﹣4x，x＜0，當x＞0時，不等式f（x）＞x等價為x2﹣4x＞x即x2﹣5x＞0，得x＞5或x＜0，此時x＞5，當x＜0時，不等式f（x）＞x等價為﹣x2﹣4x＞x即x2+5x＜0，得﹣5＜x＜0，當x=0時，不等式f（x）＞x等價為0＞0不成立，綜上，不等式的解為x＞5或﹣5＜x＜0，故不等式的解集為（﹣5，0）∪（5，+∞），故答案為：（﹣5，0）∪（5，+∞）【點評】本題主要考查不等式的解集的求解，根據函數奇偶性的性質求出函數的解析式是解決本題的關鍵．12.已知曲線與曲線：，則曲線恒過定點

；若曲線與曲線有4個不同的交點，則實數的取值范圍是

．參考答案：，.試題分析：由題意得，直線恒過定點，故過定點，顯然直線與圓有公共點，，∴問題等價于直線與圓相交，且不過點，∴，∴實數的取值范圍是，故填：，.考點：1.直線方程；2.直線與圓的位置關系.13.

設α，β為一對共軛復數，若|α－β|=2，且為實數，則|α|=

．

參考答案：2解：設α=x+yi，(x，y∈R)，則|α－β|=2|y|．∴y=±．

設argα=θ，則可取θ+2θ=2π，(因為只要求|α|，故不必寫出所有可能的角)．θ=π，于是x=±1．|α|=2．14.如圖是一個幾何體的三視圖（單位：cm）．這個幾何體的表面積為

cm2．

參考答案：15.如右圖,設A、B、C、D為球O上四點，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且，，則A、D兩點間的球面距離

。參考答案：因為AB、AC、AD兩兩互相垂直，所以分別以AB、AC、AD為棱構造一個長方體，在長方體的體對角線為球的直徑，所以球的直徑，所以球半徑為,在正三角形中，，所以A、D兩點間的球面距離為.16.下列命題正確是，（寫出所有正確命題的序號）①若奇函數f（x）的周期為4，則函數f（x）的圖象關于（2，0）對稱；②若a∈（0，1），則a1+a＜a；③函數f（x）=ln是奇函數；④存在唯一的實數a使f（x）=lg（ax+）為奇函數．參考答案：①③【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】①，若奇函數f（x）的周期為4，則f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），則函數f（x）的圖象關于（2，0）對稱；②，若a∈（0，1），1+a＜1+則a1+a＞a；③，函數f（x）=ln滿足f（x）+f（﹣x）=0，且定義域為（﹣1，1），f（x）是奇函數；④，f（x）=lg（ax+）為奇函數時（ax+）（ax+）=1?a=±1．【解答】解：對于①，若奇函數f（x）的周期為4，則f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），則函數f（x）的圖象關于（2，0）對稱，故正確；對于②，若a∈（0，1），1+a＜1+則a1+a＞a，故錯；對于③，函數f（x）=ln滿足f（x）+f（﹣x）=0，且定義域為（﹣1，1），f（x）是奇函數，正確；對于④，f（x）=lg（ax+）為奇函數時，（ax+）（ax+）=1?a=±1，故錯．故答案為：①③17.《九章算術》中研究盈不足問題時，有一道題是“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”題意即為“有厚墻五尺，兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半，問幾天后兩鼠相遇？”贛州古城墻某處厚33尺，兩碩鼠按上述方式打洞，相遇時是第____天．（用整數作答）參考答案：6由題意得

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列是各項均不為0的等差數列，公差為d，為其前n項和，且滿足。數列滿足，為數列的前n項和。（I）求；d和；（II）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍。參考答案：解：（I）在中，令得解得

……3分（II）（1）當為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立。

，等號在n=2時取得。

此時需滿足<25.

……8分（2）當n為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立.是隨n的增大而增大，取得最小值－6.此時需滿足<－21.

…………………10分綜合（1）（2）可得<－21的取值范圍是.

…………………1219.(本小題滿分12分)已知在如圖的多面體中，⊥底面，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面．

參考答案：證明：（1）∵，∴．

………………1分又∵,是的中點，∴，

………………2分∴四邊形是平行四邊形，∴．

………………4分

∵平面，平面，∴平面．

………5分（2）連結，四邊形是矩形，∵，⊥底面，∴平面，平面，∴．…………8分∵，∴四邊形為菱形，∴，

…11分又平面，平面，∴平面．

…12分

略20.設函數.（1）證明：存在唯一實數，使；（2）定義數列對（1）中的，求證:對任意正整數都有;參考答案：(1)解：有令由所以有且只有一個實數，使；

………………5分（2）(數學歸納法)證：.證明:①;②假設由遞減性得：

即又所以時命題成立

所以對成立.…………10分21.（本小題滿分10分）選修4－４：已知直線經過點，傾斜角。（1）寫出直線的參數方程；(4分)（2）設與圓相交于兩點、，求點到、兩點的距離之積（6分）參考答案：解：（1）直線的參數方程為，……………5（2）因為A、B都在直線上，所以可設它們對應的參數分別為則，。以直線的參數方程代入圓的方程整理得到

①因為是方程①的解，從而……………8所以，……………10

略22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中點．（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．參考答案：（Ⅰ）證明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．……5分（Ⅱ）如圖，以C為原點，取AB中點F，、、分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．設P（0，0，a）（a＞0），則E