福建省南平市建甌川石中學2021-2022學年高二數學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.有50件產品，編號從1到50，現在從中抽取5件檢驗，用系統抽樣確定所抽取的第一個樣本編號為7，則第三個樣本編號是A．37

B．27 C．17 D．12參考答案：B2.設，則三者的大小關系是(

)A． B． C． D．參考答案：C略3.已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是它的一個焦點在拋物線y2＝24x的準線上，則雙曲線的方程為()．參考答案：B由題意可知，因此選B.4.與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是(

)A．

B．C．

D． 參考答案：A5.f（x）=x3﹣3x2+2在區間[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4參考答案：C【考點】利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】由題意先對函數y進行求導，解出極值點，然后再根據函數的定義域，把極值點和區間端點值代入已知函數，判斷函數在區間上的增減性，比較函數值的大小，求出最大值，從而求解．【解答】解：f'（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去），當﹣1＜x＜0時，f'（x）＞0，當0＜x＜1時，f'（x）＜0，∴當x=0時，f（x）取得最大值為f（0）=2．故選C6.已知R上可導函數f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集為（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）參考答案：D【考點】6A：函數的單調性與導數的關系．【分析】根據題意結合圖象求出f′（x）＞0的解集與f′（x）＜0的解集，因此對原不等式進行化簡與轉化，進而得到原不等式的答案．【解答】解：由圖象可得：當f′（x）＞0時，函數f（x）是增函數，所以f′（x）＞0的解集為（﹣∞，﹣1），（1，+∞），當f′（x）＜0時，函數f（x）是減函數，所以f′（x）＜0的解集為（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即與不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由題意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等價于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集為（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故選D．【點評】解決此類問題的關鍵是熟悉函數的單調性與導數的關系，以及掌握讀圖與識圖的技巧再結合不等式的解法即可得到答案．7.在中,，,點在上且滿足,則等于(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：D8.甲、乙、丙、丁四人做相互傳球練習，第一次甲傳給其他三人中的一人，第二次由拿球者再傳給其他三人中的一人，這樣共傳了4次，則第4次仍傳回到甲的概率是

A. B.

C. D.

參考答案：A9.命題“?x∈R，使得x2+x+1＞0”的否定是（）A．?x0∈R，使得x02+x0+1＞0 B．?x∈R，使得x2+x+1＞0C．?x∈R，使得x2+x+1≤0 D．?x0∈R，使得x02+x0+1≤0參考答案：D【考點】命題的否定．【分析】根據已知中的原命題，結合全稱命題否定的方法，可得答案．【解答】解：命題：“?x∈R，使得x2+x+1＞0”的否定：?x0∈R，使得x02+x0+1≤0，故選：D．10.橢圓的兩個焦點是，為橢圓上與不共線的任意一點，為的內心，延長交線段于點，則等于（

）A． B． C． D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍為

.參考答案：12.命題“，使”的否定是 ，若是假命題，則實數的取值范圍為

。參考答案：，；（前空2分，后空3分）13.設x+y=1，x≥0，y≥0，則x2+y2的取值范圍是．參考答案：[，1]【考點】直線與圓的位置關系．【專題】數形結合；數形結合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】由式子的幾何意義，數形結合可得．【解答】解：∵x+y=1，x≥0，y≥0表示線段AB，x2+y2表示線段AB上的點到原點的距離平方，數形結合可得最小值為=，最大值為OA或OB=1，故答案為：[，1]．【點評】本題考查式子的最值，數形結合是解決問題的關鍵，屬基礎題．14.光線自點射到直線上的點后又被反射且反射線恰好過點，則點的坐標為

。參考答案：略15.設函數的導函數，則的值等于________參考答案：略16.有一批鋼管長度為4米，要截成50厘米和60厘米兩種毛坯，且按這兩種毛坯數量比大于配套，怎樣截最合理？________________參考答案：

50厘米2根，60厘米5根17.若的展開式中所有項的系數和為32，則含項的系數是

．（用數字作答）參考答案：－90

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對數列，規定為數列的一階差分數列，其中。對正整數k，規定為的k階差分數列，其中。（1）

若數列首項，且滿足，求數列的通項公式；（2）

對（1）中的數列，是否存在等差數列，使得對一切正整數都成立？若存在，求數列的通項公式；若不存在，請說明理由；（3）

令，設，若恒成立，求最小的正整數M的值。

參考答案：解析：（1）而可得

，，……2分是首項為，公差為的等差數列，，

()……4分（2）即：而又

所以

……6分=故可得

存在等差數列,使對一切正整數都成立。……8分（3）由（2）知

………①

………②

……10分①-②得：

……12分，遞增，且。滿足條件的最小的正整數M的值為6.

……14分19.已知拋物線：的焦點為，過點的直線交拋物線于（位于第一象限）兩點.（1）若直線的斜率為，過點分別作直線的垂線，垂足分別為，求四邊形的面積；（2）若，求直線的方程.參考答案：（1）由題意可得，又直線的斜率為，所以直線的方程為.與拋物線方程聯立得，解之得，.所以點，的坐標分別為，.所以，，，所以四邊形的面積為.（2）由題意可知直線的斜率存在，設直線的斜率為，則直線：.設，，由化簡可得，所以，.因為，所以，所以，所以，即，解得.因為點位于第一象限，所以，則.所以的方程為.(備注：其他解法，酌情給分)20.如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M為PB的中點．（Ⅰ）求證：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）證明：在線段PC上存在點D，使得BD⊥AC，并求的值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）根據線面垂直的判定定理即可證明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根據向量關系，以及直線垂直，利向量法進行求解即可．【解答】證明：（Ⅰ）因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．因為BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM?平面PAB，所以AM⊥BC．因為PA=AB，M為PB的中點，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如圖，在平面ABC內，作AZ∥BC，則AP，AB，AZ兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系A﹣xyz．則A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，設平面APC的法向量為，則即令y=1，則z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）為平面的法向量，設，的夾角為α，則cosα=．因為二面角A﹣PC﹣B為銳角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值為．（Ⅲ）設D（u，v，w）是線段PC上一點，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因為，所以在線段PC存在點D，使得BD⊥AC．此時=．【點評】本題主要考查空間位置關系的判斷，以及利用向量法求二面角的大小以及空間線面垂直的判定，考查學生的推理能力．21.已知a為實數，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）（1）求導數f′（x）；（2）若x=﹣1是f（x）的極值點，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】（1）將f（x）的表達式展開，求出f（x）的導函數即可；（2）根據f′（﹣1）=0，求出a的值，從而求出函數f（x）的單調區間，求出函數的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）由原式得f（x）=x3﹣ax2﹣4x+4a，∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．（2）由f'（﹣1）=0得a=，此時有f（x）=（x2﹣4）（x﹣），f′（x）=3x2﹣x﹣4，由f'（x）=0得x=或x=﹣1，故f（x）在[﹣2，﹣1）遞增，在（﹣1，）遞減，在（，2]遞增，又f（）=﹣，f（﹣1）=，f（﹣2）=0，f（2）=0，所以f（x）在[﹣2，2]上的最大值為，最小值為﹣