內蒙古自治區赤峰市喀旗惠民中學2022高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.正方體ABCD—A1B1C1D1的各個頂點與各棱的中點共20個點中，任取兩點連成直線，在這些直線中任取一條，它與BD1垂直的概率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案:D2.下列命題中，真命題的個數有 ①；

②； ③“”是“”的充要條件；④是奇函數. （A）1個

（B）2個

（C）3個 （D）4個參考答案：C略3.設為兩個非零向量，則“”是“與共線”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件參考答案：A4.設，，，且，則函數的最大值為

．參考答案：略5.對于R上可導的任意函數，若滿足，則必有

A．

B．

C．

D．參考答案：A當時，，此時函數遞減。當時，，此時函數遞增，即當，函數取得極小值同時也是最小值，所以，即，選A.6.點A，B，C，D在同一個球面上,，AC=2，若球的表面積為，則四面體ABCD體積最大值為

A．

B．

C.

D．2參考答案：C7.拋物線y＝2ax(a≠0)的焦點是(

)

A.(，0) B.(，0)或(－，0) C.(0，) D.(0，)或(0，－)參考答案：【知識點】拋物線的幾何性質

H7【答案解析】C

解析：拋物線的方程化成標準形式為：，其焦點在軸上，所以焦點坐標為，故答案為：C【思路點撥】先把拋物線方程整理成標準方程，進而根據拋物線的性質可得焦點坐標。8.已知集合，則滿足條件集合C的個數為（

）A．

4

B．

3

C．

2

D．1參考答案：A由指數函數的性質可得集合，集合，滿足條件集合為：，，共個，故選A.

9.已知集合，，（

）A．

B．

C．

D．.以上都不對參考答案：B10.已知，則下列不等式正確的是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.中，所對的邊長分別為，且，，則參考答案：2略12.定義在R上的函數f（x）的導函數為f'（x），滿足xf'（x）+f（x）＞x，則不等式的解集為．參考答案：（﹣∞，8）【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】利用已知條件構造函數，通過不等式轉化求解即可．【解答】解：定義在R上的函數f（x）的導函數為f'（x），滿足xf'（x）+f（x）＞x，不妨取f（x）=1+，則不等式，化為：（x﹣4）（1+）﹣4×3＜，解得x＜8；故答案為：（﹣∞，8）．13.如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得ABCD四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,若要包裝盒容積V(cm3)最大,則EF長為

cm．參考答案：2014.已知三棱錐P-ABC外接球的表面積為100π，PA⊥面，則該三棱錐體積的最大值為____。參考答案：【分析】根據球的表面積計算出球的半徑.利用勾股定理計算出三角形外接圓的半徑，根據正弦定理求得的長，再根據圓內三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【點睛】本小題主要考查外接球有關計算，考查三棱錐體積的最大值的計算，屬于中檔題.15.三棱錐S－ABC及其三視圖中的正視圖和側視圖如圖所示，則棱SB的長為_____。參考答案：由已知中的三視圖可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC為等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC邊上的高為2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故答案為：4

16.右方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數據的中位數為l5，乙組數據的平均數為16．8，則x+y的值為

參考答案：1317.已知函數f(x)=x3+ax2-2x在區間(-1,+∞)上有極大值和極小值，則實數a的取值范圍是__________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數依次為1，2，…，8，其中為標準A，為標準B，已知甲廠執行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產品都符合相應的執行標準（1）已知甲廠產品的等級系數的概率分布列如下所示：56780.40.1

且的數字期望，求，的值；（2）為分析乙廠產品的等級系數，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：3

5

3

3

8

5

5

6

3

46

3

4

7

5

3

4

8

5

38

3

4

3

4

4

7

5

6

7

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數的數學期望．

（3）在（1）、（2）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由．注：①產品的“性價比”=產品的等級系數的數學期望/產品的零售價；②“性價比”大的產品更具可購買性．參考答案：（1）；（2）；（3）詳見解析.

（2）由已知得，樣本的頻率分布表如下：用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數的概率分布列如下：∴，即乙廠產品的等級系數的數學期望等于；（3）乙廠的產品更具可購買性，理由如下：∵甲廠產品的等級系數的數學期望等于6，價格為6元/件，∴其性價比為，∵乙廠產品的等級系數的期望等于4.8，價格為4元/件，∴其性價比為，據此，乙廠的產品更具可購買性.考點：離散型隨機變量的概率分布及其期望．19.在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數）．在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；（Ⅱ）設圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為（3，），求|PA|+|PB|．參考答案：【考點】直線的參數方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（I）由⊙C的方程可得：，利用極坐標化為直角坐標的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．（II）把直線l的參數方程（t為參數）代入⊙C的方程得到關于t的一元二次方程，即可得到根與系數的關系，根據參數的意義可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化為．（II）把直線l的參數方程（t為參數）代入⊙C的方程得=0，化為．∴．（t1t2=4＞0）．根據參數的意義可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．20.已知函數的圖象在點處的切線方程為.

(Ⅰ)求的值及的單調區間(Ⅱ)是否存在實數，使得射線與曲線有三個公共點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由(Ⅲ)設，為正實數，且，證明：參考答案：（Ⅰ）a=1,的遞增區間為；遞減區間為.（Ⅱ），存在實數k使得射線y=kx()與曲線有三個交點，且k的取值范圍是.(Ⅲ)證明：見解析.【知識點】導數的幾何意義，導數的應用.

B12解析：（Ⅰ）因為，所以因為曲線在點處切線方程為y=-x,所以，即.

于是.由，即，解得或；由，即，解得所以的遞增區間為；遞減區間為.（Ⅱ）由，消去y得，即x=0或.要使射線y=kx()與曲線有三個交點，只要方程，即有兩個大于或等于-3且不等于0的不等實根.1

當k=0時，可化為-x+1=0,解得x=1,不符合要求；2

當k≠0時，令.由，即，即解得且.綜上，存在實數k使得射線y=kx()與曲線有三個交點，且k的取值范圍是.(Ⅲ)證明：因為，，所以，.所以曲線在點處的切線方程為.當0<x<1時，故.因為，且，所以n.

所以所以即故.【思路點撥】（Ⅰ）根據導數的幾何意義求a值，然后把a值代入原函數，利用導數求得單調區間；（II）把問題轉化為一元二次方程的實根分布情況求解；(Ⅲ)因為，，所以，.所以曲線在點處的切線方程為.當0<x<1時，這說明在區間（0,1）上，曲線在切線的上方，由已知得：n.所以再由累加法得所證結論.

21.已知函數.(1)若，求實數的取值范圍;(2)若R,

求證：.參考答案：(1)因為，所以.

………1分

①當時，得，解得，所以;……………2分

②當時，得，解得，所以;……………3分③當時，得，解得，所以;

……………4分綜上所述，實數的取值范圍是.

………5分(2)因為R,

所以……………7分

……………………8分

……………………9分

.

……………………10分22.（本題滿分12分）

一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義