§5-1剛體的定軸轉動一、剛體的平動平動：在運動過程中，剛體上任意兩點連線的方向始終保持不變。特點：剛體上每個點的位移、速度、加速度相等。可以用一個質點(質心)代表剛體的運動。 例：黑板擦、電梯等的運動。第五章剛體定軸轉動

如果一個物體中任意的兩個質點之間的距離在運動中始終保持不變，即不考慮物體的形變，則稱之為剛體。剛體是一個抽象的、理想的模型。1.轉動：剛體上的各點繞同一直線作圓周運動。該直線稱為轉軸。2.定軸轉動：轉軸相對參考系固定不動。二、剛體的定軸轉動矢徑轉心轉軸轉動平面特征：各點的角位移、角速度、角加速度相同。但線位移、線速度、線加速度不同。三、角速度矢量和角加速度矢量右手螺旋關系角加速度的方向與角速度方向相同，則角速度增加；正角速度負角速度反之，則減小。1.作用于剛體上某點的力F對定軸z的力矩只考慮轉動平面內分力的作用§5-2

剛體定軸轉動定律一、對定軸的力矩：力臂：力F的切向分量右手螺旋定則判斷力矩的方向力矩沿著z的方向，稱為正力矩，力矩逆著z的方向，稱為負力矩。M即剛體受到多個力的力矩等于各個力的力矩矢量和。

2.當有多個力作用于剛體的某點即剛體受到多個力的力矩等于各個力的力矩矢量和。

3.當有多個力作用于剛體4.剛體中內力對定軸的力矩的矢量和等于零，只需考慮外力矩的作用Om1m2二、剛體對定軸的角動量1.質點對定軸的角動量大小：方向：右手螺旋定則判斷角動量沿著z的方向，稱為正角動量，角動量逆著z的方向，稱為負角動量。2.剛體對定軸的角動量定軸轉動時，剛體中的每一個質點都在做圓周運動可以判斷，質點i對z軸的角動量方向與角速度方向一致剛體對定軸的角動量定義轉動慣量J則：三、轉動慣量直接利用轉動慣量的定義式計算1.離散的質點系轉動慣量的計算轉動慣量：對剛體，取決于剛體的質量、形狀和轉軸例：如圖正方形的邊長為l，它的四個頂點各有一個質量為m的質點，求系統對z1,z2,z3軸的轉動慣量質量為線分布質量為面分布質量為體分布其中l、s、r

分別為線密度、面密度和體密度。線分布面分布體分布2.質量連續分布物體的轉動慣量若質量連續分布，取質元dm，它到轉軸的距離為r，則質元對軸的轉動慣量為剛體對軸的轉動慣量為：[例題1]求長為L、質量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉動慣量。解：取如圖坐標，dm=ldx，xABL/2L/2CdxABLdxxxx平行軸定理:l=m/L若為非均勻桿，ABLdxxxRrdrO[例題2]

求質量為

m、半徑為

R的均勻圓環的轉動慣量。軸與圓環平面垂直并通過圓心。解：設線密度為l=m/(2πR)J是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）結果相同。dm[例題3]求質量為m、半徑為R、質量均勻的薄圓盤的轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。RO解：設面密度為，取半徑為r寬為dr的薄圓環可見，轉動慣量與l無關。[例題4]求質量為m、半徑為R、長為l的勻質圓柱體對其軸線的轉動慣量。解：取薄圓盤dm由上題ldm非均勻？ldmr勻質的圓筒，質量為m，內半徑為，外半徑，高為,求其繞中心軸的轉動慣量l練習記住幾個常見的轉動慣量：圓環、薄圓筒（通過中心軸）………

J=mR2圓盤、圓柱（通過中心軸）…………細棒（端點垂直軸）…細棒（質心垂直軸）…3.平行軸定理

若有任一軸與過質心的軸平行，相距為d，剛體對其轉動慣量為J，則有：例1中Jo＝Jc＋md2平行軸定理ABL/2L/2Cx四、剛體定軸轉動的轉動定律剛體→質點系（連續體）質點系的角動量定理：表示：作用于剛體的合外力矩等于剛體角動量對時間的變化率。剛體定軸轉動的轉動定律與牛頓第二定律比較§5-3轉動定律的應用解:聯合解得：

對輪和繩：又有：對m2：例題1如圖，求m2的加速度a，輪子的角加速度α。

繩子與輪之間無相對滑動剛體定軸轉動的轉動定律：

(2)桿與豎直方向成

q

角時解：(1)

[例題2]如圖所示。求：(1)剛體繞軸O的轉動慣量。(2)桿與豎直方向成q

角時,小球的角加速度。角速度與θ關系？[例題3]

如圖所示，主動輪A半徑為R1，轉動慣量為J1，繞定軸O1轉動，從動輪B半徑為R2，轉動慣量為J2，繞定軸O2轉動，兩輪之間無相對滑動，若知主動輪受到的驅動力矩為M，求兩個輪的角加速度

解：主動輪帶動從動輪是靠摩擦力矩實現的。ABO1O2R1R2M無相對滑動，意味著切向加速度相同§5-4剛體定軸轉動的角動量守恒剛體定軸轉動的角動量定律：剛體定軸轉動的角動量守恒定律：[例題1]

如圖所示，一長度為l，質量為m的細桿在光滑水平面內沿桿的垂向以速度v平動，桿的一端與定軸z碰撞后桿將繞z軸轉動，求桿轉動的角速度。zOdxxx解：碰撞前后角動量守恒剛好碰撞前的角動量（桿平動）：碰撞后的角動量(桿轉動)：角動量守恒：vθR解：碰撞前后角動量守恒碰撞前的角動量：碰撞后的角動量：碰撞前后角動量守恒vm2m1[例題2]

如圖所示，一勻質圓盤半徑為R，質量為m1，以角速度ω0繞盤心轉動，一質量為m2的子彈以速度

沿θ角擊入圓盤邊緣，求擊入后盤的角速度v§5-5剛體定軸轉動中的功和能一、力矩的功元功:(質點)經過一段角位移：合外力矩做功（剛體）：對剛體一對力矩做功為零：力矩的功率：二、轉動動能與質點動能比較：三、剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理：合外力矩的功等于剛體轉動動能的增量。四、剛體的重力勢能在均勻重力場中，剛體的重心和質心重合，對勻質且對稱的幾何形態，質心就在其幾何中心，剛體的重力勢能為：為重心高度處為重力零勢能點五、機械能守恒（只有保守力做功時）

[例題1]已知棒長為L，質量為M可繞桿上端水平軸O點轉動，一質量m的泥團以速度打桿的中部并粘住。求：桿剛開始擺動時的角速度及可擺動的最大角度。解：泥團與桿碰撞，角動量守恒泥團與桿一起擺動，機械能守恒，取桿未轉動前質心處為重力勢能零點OqmM

[例題2]如圖，一定滑輪可看做勻質圓盤，它的半徑為R,質量為m1，可繞盤心的水平軸O自由轉動，輪上繞有輕繩，繩上掛兩個質量分別為m2和m3的物體，已知m2>m3，求m2從靜止下落h時的速度。解：機械能守恒，取未運動時刻各物所處的位置為重力勢能零點m2m3m1h小結三、角動量二、轉動慣量四、轉動定律六、剛體的角動量守恒定律五、剛體的角動量原理一、剛體：在運動過程中形變可以忽略的物體。七、剛體定軸轉動的動能定理八、剛體定軸轉動的機械能守恒質點運動剛體定軸轉動速度

角速度

加速度

角加速度

質量m轉動慣量

力F力矩

牛頓第二定律F=ma轉動定律

動量P=mv角動量

動量定理

角動量定理

動量守恒定律若F=0則

角動量守恒定律若M=0則

力的功

力矩的功

動能

轉動動能

動能定理

轉動動能定理

重力勢能

重力勢能

機械能守恒定律若只有保守力作功，則機械能守恒機