結構力學

Structuralmechanics

東北大學資土學院土木工程研究所陳百玲第二章平面體系的機動分析一、幾何不變體系：(geometricallystablesystem)：一個桿系，在荷載作用下，若略去桿件本身的彈性變形而能保持其幾何形狀和位置不變的體系。P第二章

平面體系的機動分析

問題：是不是任何一個結構都能成為工程結構？

§2-1基本概念：彈性變形幾何不變二、幾何可變體系：

(geometricallyunstablesystem)：一個體系受到某種荷載作用，在不考慮材料應變的前提下，體系若不能保證幾何形狀、位置不變，稱為幾何可變體系。P第二章

平面體系的機動分析

§2-1基本概念：幾何可變二、幾何可變體系：

第二章

平面體系的機動分析

§2-1基本概念：FPFP三、瞬變體系：體系受到任意荷載作用后，在不考慮材料應變的前提下，體系產生瞬時變形后，由幾何可變體系變為幾何不變體系，則稱為幾何瞬變體系。

第二章

平面體系的機動分析

§2-1基本概念：瞬變體系分析:特點：從微小運動角度看，這是一個可變體系；微小運動后即成不變體系。§2-1基本概念：四、桿系的機動分析(幾何組成分析)：機動分析就是判斷一個桿系是否是幾何不變體系，同時還要研究幾何不變體系的組成規律。

機動分析的目的：1、判別某一體系是否為幾何不變，從而決定它能否作為結構。2、區別靜定結構、超靜定結構，從而選定相應計算方法。3、搞清結構各部分間的相互關系，以決定合理的計算順序。第二章

平面體系的機動分析

組成幾何不變體系的條件：

具有必要的約束數；

約束布置方式合理。§2-2平面體系的自由度計算：(Degreesoffreedomofplanarsystems)一、自由度：物體做剛體運動時，可以獨立變化的幾何參數的個數，也即確定物體的位置所需的獨立坐標數。

1.一個點的自由度——2

第二章

平面體系的機動分析

xyyxA(x,y)oyxyoxA(x,y)

2.一個剛片的自由度——3

剛片——平面內一個幾何不變的剛體(它可以是一根桿件：直桿、曲桿或由若干桿件組成的幾何不變體系)。

1個單鏈桿=1個約束。鏈桿可以是曲的、折的桿，只要保持兩鉸間距不變，起到兩鉸連線方向約束作用即可1個單剛結點=3個約束1）單鏈桿2）單剛結點（1）單約束

僅連接兩個剛片的約束.二、約束（聯系）：

----約束(restraint)：凡能減少自由度的裝置（即能限制體系運動的裝置）。1.常見約束裝置：（單約束、復約束）第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算yox兩個自由度：、

一個支座鏈桿可減少一個自由度第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算

單鏈桿：3）單鉸(簡單鉸)1個單鉸=2個約束=2個單鏈桿。虛鉸——在運動中虛鉸的位置不定，這是虛鉸和實鉸的區別。通常我們研究的是指定位置處的瞬時運動，因此，虛鉸和實鉸所起的作用是相同的都是相對轉動中心。yoxxy四個自由度：x、y、、?一個單鉸減少兩個自由度。3）單鉸(簡單鉸)第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算⑵復約束：連接兩個以上剛片的約束。一個連接n個剛片的復鉸相當于(n-1)個單鉸，相當于2(n-1)個約束。復鉸一個連接n個剛片的復剛相當3(n-1)個約束。復鏈桿連接n個結點的復鏈桿相當于2n-3個單鏈桿復剛實際自由度（五個）：

、、θ1、θ2、θ3；鉸A相當于兩個單鉸。結論：連接n個桿件的復鉸，相當于(n－1)個單鉸。以連接三剛片的復鉸為例，推導：分析：一個剛片有三個自由度，沒連接前，三剛片共有9個自由度；用鉸A連接后，實際自由度為5，共減少了4個自由度；一個單鉸減少兩個自由度，所以說鉸A相當于兩個單鉸作用。其他情況自己推導，記住結論。多余約束

(

redundentrestraints)：體系中增加一個或減少一個該約束并不改變體系的自由度數。結論：只有必要約束才能對體系自由度有影響。必要約束

(necessaryrestraints)：體系中增加一個或減少一個該約束，將改變體系的自由度數。必要約束多余約束2.平面剛片系的組成：第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算3、平面剛片系的自由度計算公式：設有一個平面剛片系

：

第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算體系自由度（計算）：自由度：3m

約束：

2h

約束：r單鉸數：

h支座鏈桿數：r剛片數：

m

如果體系不與基礎相連，即r=0時，體系對基礎有三個自由度，僅研究體系本身的內部可變度V。則知

第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算得：例1．

第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算解:例2.

不與基礎相連第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算解:內部可變度：

平面上一個點有兩個自由度。如圖：A、B兩點共有四個自由度：

、

、

、第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算4、平面鏈桿系的自由度(桁架):鏈桿(link)——僅在桿件兩端用鉸連接的桿件。可見獨立的參數僅三個。兩點用一鏈桿相連后有：內部可變度：第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算一根鏈桿→一個約束即兩點間加一鏈桿，則減少一個自由度。設一個平面鏈桿系：自由度：2j

約束：

b

約束：r鏈桿數：

b支座鏈桿數：r鉸結點數：

j則體系自由度：例3．

j=9b=15r=3

第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算例4．j=6b=9r=3

第二章

平面體系的機動分析

W=0幾何不變

§2-2平面體系的自由度計算5、自由度的討論：

第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算⑵W=0具有成為幾何不變所需的最少聯系⑴W>0

幾何可變(3)W<0有多余聯系第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算因此，體系幾何不變的必要條件：W<0幾何不變W<0幾何可變W≤0W>0,缺少足夠聯系，體系幾何可變。

W=0,具備成為幾何不變體系所要求的最少聯系數目。

W<0，體系具有多余聯系。W>0體系幾何可變體系幾何不變W<0小結計算自由度時，可能出現以下三情況：⑴W>0(V>0)

→存在自由度，幾何可變。⑵W=0(V=0)

→約束數正好等于部件總自由度數。可能幾何不變，但不能保證。是體系幾何不變的必要條件，而非充分條件，如為幾何不變，則體系是靜定結構。(3)W<0

→表明體系的約束數多于部件總自由度數，必有多余聯系，如為幾何不變，則體系是超靜定結構。第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算復習：自由度的討論：利用公式：(平面剛片系)或(平面鏈桿系)

結論：W≤0是體系幾何不變的必要條件，而不是充分條件，還必須通過幾何組成分析才能得出體系幾何可變或幾何不變。

第二章

平面體系的機動分析

§2-2平面體系的自由度計算

一、三剛片規則

三個剛片用不在同一直線上的三個單鉸兩兩相連，所組成的平面體系幾何不變。

第二章

平面體系的機動分析

§2-3幾何不變體系的構成規則(Geometricconstructionanalysis(Kinematicsanalysis）)說明：

1.剛片通過支座鏈桿與地基相聯，地基可視為一剛片。第二章

平面體系的機動分析

§2-3幾何不變體系的構成規則ⅡⅠ2.三剛片用位于同一直線上的三個鉸相聯，組成瞬變體系。(幾何可變)第二章

平面體系的機動分析

§2-3幾何不變體系的構成規則ABCC’3.連接兩剛片的鉸，也可以用兩個相交的鏈桿來代替。

第二章

平面體系的機動分析

§2-3幾何不變體系的構成規則兩鏈桿的交點——單鉸※交點在無窮遠處(虛鉸)：

第二章

平面體系的機動分析

幾何可變

（瞬變）§2-3幾何不變體系的構成規則ⅢⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠⅡ幾何不變幾何不變兩鏈桿的交點——單鉸二、二元體規則

在剛片上增加（或減少）一個二元體，是幾何不變體系。

第二章

平面體系的機動分析

§2-3幾何不變體系的構成規則二元體——由兩根不共線的鏈桿聯接一個新結點的裝置，這個“兩桿一鉸”體系，稱為二元體。剛片1BAC幾何不變體系中，增加或減少二元體，仍為幾何不變體系。第二章

平面體系的機動分析

§2-3幾何不變體系的構成規則三、兩剛片規則：

兩個剛片用一個鉸和一個不通過該鉸鉸心的鏈桿連接，組成幾何不變體系。第二章

平面體系的機動分析

§2-3幾何不變體系的構成規則ⅡⅠ鏈桿鉸三、兩剛片規則：

第二章

平面體系的機動分析

鉸§2-3幾何不變體系的構成規則剛片2剛片1DE剛片1剛片2ABCDOEFABC說明：

1.連接兩剛片的三個鏈桿相交于一點，形成瞬變體系。第二章

平面體系的機動分析

§2-3幾何不變體系的構成規則虛鉸：幾何瞬變實鉸：幾何可變2.連接兩剛片的三個鏈桿相互平行。⑴三平行桿不等長，組成瞬變體系(圖①)。第二章

平面體系的機動分析

§2-3幾何不變體系的構成規則⑵三平行桿等長，且在同一側，組成幾何可變體系（常變）(圖②)。

圖①Ⅱ12Ⅰ3Ⅱ12Ⅰ3圖②§2-3幾何不變體系的構成規則第二章

平面體系的機動分析

圖③1ⅡⅠ23⑶三平行桿等長，但不在同一側，組成瞬變體系(圖③)。

溫馨提示1：

三個規律只是相互之間變相，終歸為三角形穩定性。溫馨提示2：每個規律的條件是必須的，否則將

成為可變體系。如果規律的條件不具備：共線則瞬變體系FPFP并線同側則常變體系※溫馨提示3：

有限交點無限交點瞬變體系常變體系結構分析方法1

從基礎出發，由近及遠，由小到大：技巧：依次增加二元體，每次固定一結點。固定一點結構分析方法2

從基礎出發，由近及遠，由小到大：固定一剛片固定兩剛片主從結構

從剛片出發，由內及外，內外聯合形成整體體系。若內部體系和基礎由不交于一點的三桿相連，可去掉基礎只分析內部體系。結構分析方法3結構分析方法4

從規律出發，由內及外，內外聯合形成整體體系。利用虛鉸鉸桿代替解題方法

—教你一招

3.將幾何不變部分作為一個大剛片；復雜形狀的鏈桿可看成直鏈桿；連接兩個剛片的鏈桿用虛鉸代替（代替法）1.先找出體系中一個或幾個幾何不變部分，再逐步組裝、擴大形成整體（組裝法）2.對于不影響幾何不變的部分逐步排除（如：去除二元體），使分析對象簡化（排除法）§2-4機動分析示例

第二章

平面體系的機動分析

例1.

1.自由度的計算：剛片數：m=5支桿數：r=5單鉸數：h=5自由度：

14剛片325

2.組成分析：去掉二元體后得圖①：第二章

平面體系的機動分析

§2-4機動分析示例

132ⅡⅠ

圖①由三剛片規則知，上部的結構幾何不變，再由二剛片規則(圖②)知，該結構為幾何不變。

圖②14剛片325

§2-4機動分析示例例2．第二章

平面體系的機動分析

124756滿足幾何不變的必要條件。1.自由度計算：結點數：j=8鏈桿數：b=13自由度：§2-4機動分析示例

第二章

平面體系的機動分析

2.

組成分析：1、2、3、4和5、6、7、8各組成一剛片，124756由兩剛片規則，其幾何不變。補充例題1：第二章

平面體系的機動分析

§2-4機動分析示例

ⅢⅠⅡj=6b=9三剛片規則，幾何不變。

上部結構,兩剛片規則，幾何不變。上部+基礎,兩剛片規則，幾何不變。第二章

平面體系的機動分析

§2-4機動分析示例ⅠⅡj=6b=9r=3補充例題2：補充例題3:對圖示體系作幾何組成分析解:三剛片三鉸相連,三鉸不共線,所以該體系為無多余約束的幾何不變體系.第二章

平面體系的機動分析大地：IIIIII補充例題4:對圖示體系作幾何組成分析解:內部三剛片三鉸相連,三鉸不共線,與基礎用三根不交于一點的鏈桿相連，所以該體系為無多余約束的幾何不變體系.第二章

平面體系的機動分析IIIIII補充例題5:對圖示體系作幾何組成分析第二章

平面體系的機動分析第二章

平面體系的機動分析補充例題6:對圖示體系作幾何組成分析主從結構，順序安裝IIIIII補充例題7:對圖示體系作幾何組成分析解:該體系為常變體系.第二章

平面體系的機動分析去二元體補充例題8:對圖示體系作幾何組成分析解:該體系為有一個多余約束幾何不變體系第二章

平面體系的機動分析練習1:對圖示體系作幾何組成分析第二章

平面體系的機動分析練習2:對圖示體系作幾何組成分析第二章

平面體系的機動分析復鏈桿：連接兩個以上鉸結點的鏈桿。連接n個鉸結點的復鏈桿相當于(2n-3)個單鏈桿。補充說明一點:FFBFAyFAx靜定結構§2-5幾何組成與靜定性的關系

無多余聯系幾何不變。如何求支座反力?第二章

平面體系的機動分析

FFBFAyFAxFC超靜定結構有多余聯系幾何不變。能否求全部反力?第二章

平面體系的機動分析

體系幾何不變體系幾何可變體系有多余聯系無多余聯系常變瞬變可作為結構靜定結構超靜定結構不可作結構小結第二章

平面體系的機動分析

習題：P24-25（2-3、2-5、2-7、2-10、2-11、2-15）

第二章

平面體系的機動分析

作業復習思考題：P23（1～8）幾何組成分析練習題