學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE14學必求其心得，業必貴于專精PAGE1．3。3導數的實際應用明目標、知重點1.了解導數在解決實際問題中的作用.2。掌握利用導數解決簡單的實際生活中的優化問題．導數在實際問題中的應用1．在經濟生活中,為使經營利潤最大、生產效率最高，或為使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要尋求相應的最佳方案或最佳策略．這些都是最優化問題．2．求實際問題的最大（小）值，導數是解決方法之一．要建立實際問題的數學模型．寫出實際問題中變量之間的函數關系y＝f（x）,然后再利用導數研究函數的最值．［情境導學]生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為優化問題．通過前面的學習，我們知道，導數是求函數最大（小）值的有力工具,本節我們運用導數，解決一些生活中的優化問題．探究點一面積、體積的最值問題思考如何利用導數解決生活中的優化問題？答(1)函數建模,細致分析實際問題中各個量之間的關系,正確設定所求最大值或最小值的變量y與自變量x,把實際問題轉化為數學問題，即列出函數關系式y＝f（x)．（2)確定定義域,一定要從問題的實際意義去考察，舍去沒有實際意義的變量的范圍．(3）求最值，此處盡量使用導數法求出函數的最值．（4）下結論，回扣題目，給出圓滿的答案．例1學校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進行宣傳．現讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm.如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最小？解設版心的高為xdm，則版心的寬為eq\f(128,x)dm,此時四周空白面積為S(x)＝（x＋4）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（128,x)＋2）)－128＝2x＋eq\f（512，x）＋8，x>0。求導數，得S′(x）＝2－eq\f（512,x2)。令S′(x）＝2－eq\f（512,x2）＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是寬為eq\f（128,x)＝eq\f（128，16)＝8.當x∈（0,16）時,S′（x)〈0；當x∈（16，＋∞)時，S′(x)>0.因此，x＝16是函數S（x）的極小值點，也是最小值點．所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使海報四周空白面積最小．反思與感悟（1）在求最值時,往往建立函數關系式，若問題中給出的量較多時，一定要通過建立各個量之間的關系，通過消元法達到建立函數關系式的目的．（2）在列函數關系式時，要注意實際問題中變量的取值范圍,即函數的定義域．跟蹤訓練1如圖所示，某廠需要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當砌壁所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為________米．答案32,16解析要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短，設場地寬為x米，則長為eq\f(512，x)米，因此新墻壁總長度L＝2x＋eq\f(512，x）(x〉0），則L′＝2－eq\f（512,x2）.令L′＝0，得x＝±16.∵x〉0，∴x＝16.當x＝16時，Lmin＝64,此時堆料場的長為eq\f(512,16)＝32(米)．探究點二利潤最大問題例2某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r（單位:cm)是瓶子的半徑．已知每出售1mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.則瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大?瓶子半徑多大時,每瓶飲料的利潤最小?解由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤是y＝f(r）＝0。2×eq\f(4，3)πr3－0.8πr2＝0.8πeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(r3,3）－r2）)，0〈r≤6.令f′(r）＝0。8π（r2－2r）＝0.當r＝2時，f′（r)＝0.當r∈(0，2)時，f′(r）〈0；當r∈(2，6）時,f′(r）〉0。因此,當半徑r>2時,f′（r）>0，它表示f(r)單調遞增，即半徑越大，利潤越高；半徑r〈2時，f′(r)<0，它表示f（r)單調遞減，即半徑越大,利潤越低．∴半徑為2cm時，利潤最小，這時f（2）〈0，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值．半徑為6cm時，利潤最大．反思與感悟解決此類有關利潤的實際應用題，應靈活運用題設條件，建立利潤的函數關系,常見的基本等量關系有：(1）利潤＝收入－成本；（2）利潤＝每件產品的利潤×銷售件數．跟蹤訓練2某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y（單位:千克)與銷售價格x（單位：元/千克)滿足關系式y＝eq\f(a,x－3）＋10(x－6)2，其中3〈x<6，a為常數．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．(1）求a的值;（2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．解（1)因為x＝5時，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，所以a＝2.（2）由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2，x－3)＋10（x－6）2,所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f（x)＝(x－3）［eq\f（2，x－3)＋10(x－6）2］＝2＋10（x－3）（x－6)2,3〈x〈6。從而,f′（x）＝10[(x－6）2＋2（x－3)(x－6)]＝30(x－4）(x－6）．于是，當x變化時，f′（x),f(x）的變化情況如下表：x（3,4）4（4，6）f′（x)＋0－f（x)單調遞增極大值42單調遞減由上表可得，x＝4是函數f(x)在區間（3，6）內的極大值點,也是最大值點．所以，當x＝4時，函數f(x）取得最大值，且最大值等于42.答當銷售價格為4元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．探究點三費用（用材）最省問題例3已知A、B兩地相距200km，一只船從A地逆水行駛到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h(8〈v≤v0)．若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當v＝12km/h時，每小時的燃料費為720元,為了使全程燃料費最省，船的實際速度為多少？解設每小時的燃料費為y1，比例系數為k（k>0),則y1＝kv2，當v＝12時,y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5。設全程燃料費為y，由題意，得y＝y1·eq\f(200，v－8）＝eq\f（1000v2,v－8)，∴y′＝eq\f(2000vv－8－1000v2,v－82)＝eq\f（1000v2－16000v，v－82).令y′＝0,得v＝16,∴當v0≥16，即v＝16km/h時全程燃料費最省，ymin＝32000(元)；當v0〈16，即v∈(8,v0］時，y′〈0，即y在（8，v0］上為減函數，∴當v＝v0時，ymin＝eq\f(1000v\o\al(2，0），v0－8）（元)．綜上，當v0≥16時，v＝16km/h全程燃料費最省,為32000元;當v0〈16,即v＝v0時全程燃料費最省，為eq\f(1000v\o\al(2，0）,v0－8)元．反思與感悟本題在解題過程中容易忽視定義域，誤以為v＝16時取得最小值．本題的關鍵是弄清極值點是否在定義域范圍內．跟蹤訓練3如圖,有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r。計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD＝2x，梯形的面積為S.(1）求面積S以x為自變量的函數式，并寫出其定義域;(2)求面積S的最大值．解(1）依題意，以AB的中點O為原點建立平面直角坐標系(如圖所示),則點C的橫坐標為x。設點C的縱坐標為y，則（x，y）滿足方程eq\f（x2,r2)＋eq\f(y2，4r2）＝1(y〉0），解得y＝2eq\r（r2－x2)（0〈x〈r)．所以S＝eq\f（1,2)（2x＋2r)·2eq\r(r2－x2)＝2(x＋r)·eq\r（r2－x2）,其定義域為｛x｜0<x〈r}．(2）記f（x）＝4（x＋r)2(r2－x2），0〈x〈r，則f′（x)＝8(x＋r)2(r－2x）．令f′(x）＝0，得x＝eq\f(1，2）r，或x＝－r(舍去)．因為當0〈x〈eq\f(1，2)r時，f′（x）〉0；當eq\f（1,2)r<x<r時，f′(x)<0。所以f(eq\f（1，2)r)是f(x)的最大值．因此，當x＝eq\f（1，2)r時，S也取得最大值，最大值為eq\r（f\f（1,2)r)＝eq\f（3\r（3),2)r2，即梯形面積S的最大值為eq\f(3\r（3),2）r2。1．方底無蓋水箱的容積為256,則最省材料時,它的高為（）A．4 B．6C．4。5 D．8答案A解析設底面邊長為x，高為h,則V（x）＝x2·h＝256，∴h＝eq\f(256,x2）,∴S（x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·eq\f（256,x2）＝x2＋eq\f（4×256,x），∴S′（x）＝2x－eq\f(4×256,x2）。令S′(x)＝0，解得x＝8,∴h＝eq\f（256,82)＝4。2．某銀行準備新設一種定期存款業務，經預算，存款量與存款利率的平方成正比,比例系數為k(k〉0)．已知貸款的利率為0。0486，且假設銀行吸收的存款能全部放貸出去．設存款利率為x，x∈(0,0.0486）,若使銀行獲得最大收益，則x的取值為(）A．0。0162 B．0.0324C．0.0243 D．0。0486答案B解析依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3,獲得的貸款利息是0。0486kx2，其中x∈（0，0.0486）．所以銀行的收益是y＝0。0486kx2－kx3(0<x<0.0486）,則y′＝0.0972kx－3kx2(0〈x<0。0486）．令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0（舍去）．當0<x<0。0324時,y′〉0；當0.0324〈x<0。0486時，y′<0.所以當x＝0.0324時，y取得最大值,即當存款利率為0.0324時，銀行獲得最大收益．3．統計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x(千米/時）的函數解析式可以表示為y＝eq\f（1，128000)x3－eq\f（3,80)x＋8(0〈x≤120)．已知甲、乙兩地相距100千米，當汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解當速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f（100,x）小時，設耗油量為h(x)升,依題意得h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,128000）x3－\f(3，80）x＋8）)×eq\f（100,x）＝eq\f（1,1280）x2＋eq\f(800，x)－eq\f(15，4）（0<x≤120），h′（x)＝eq\f（x,640）－eq\f（800，x2)＝eq\f（x3－803,640x2）(0<x≤120)．令h′（x）＝0，得x＝80.因為x∈(0，80)時，h′(x)〈0,h（x)是減函數;x∈(80，120]時，h′（x)>0，h(x）是增函數，所以當x＝80時，h(x)取得極小值h（80)＝11。25（升)．因為h（