榮昌中學高2023級高三上期第三次教學檢測數學（文史類）命題：陳林泉審題：唐其波一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合A={y|y=2x，0≤x≤1}，集合B={1，2，3，4}，則A∩B等于（C）A．[1，2] B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}2.設i是虛數單位，若z=cosθ+isinθ且對應的點位于復平面的第二象限，則θ位于（B）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.下列判斷錯誤的是（D）A．“”是“a<b”的充分不必要條件B．命題“”的否定是“”C．“若a=1，則直線和直線互相垂直”的逆否命題D．若為假命題，則p，q均為假命題4.已知數列中，，（），則數列的前9項和等于（A）A．27 B．25C．23 D．215.若x、y滿足不等式，則z=3x+y的最大值為（A）A.11B.C.13D.6.在中，G為的重心，設，，則=（C）A.B.C.D.7.右圖所示是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（B）A．12 B．24C．48 D．608.已知函數，若，則的值為（D）A．8 B．4C．-4 D．09.在中，則面積為（A）A． B.C．D．10.函數的圖象是（B）11.函數的部分圖象如圖所示,如果、，且，則等于（C）A． B． C． D．112.定義為個正數的“均倒數”．若已知數列的前項的“均倒數”為，又，則=（A）A．B．C．D．a≤a≤b？開始輸入a,b結束是否輸出輸出13.對任意非零實數，若的運算原理如右圖程序框圖所示，則=214.若直線與圓相交于A,B兩點，且（O為坐標原點），則=．215.已知的三個頂點在同一個球面上，，，.若球心O到平面ABC的距離為，則該球的表面積為.200π16.設，若，對任意，存在，使得≤成立，則實數a的取值范圍為.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.四邊形ABCD的內角A與C互補，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（Ⅰ）求C和BD；（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積．解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，則C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，則S=AB?DAsinA+BC?CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．18.某校夏令營有3名男同學和3名女同學，其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學女同學現從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽（每人被選中的可能性相同）.（Ⅰ）用表中字母列舉出所有可能的結果；（Ⅱ）設為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，求事件發生的概率.(I)解：從6名同學中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結果為：{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種．(II)解：選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的所有可能結果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種．因此，事件M發生的概率．19.已知正項數列的前項和為，且．（Ⅰ）求及數列的通項公式；（Ⅱ）設，求數列的前n項和．解：（Ⅰ）=2--------1分由，用代，--------2分兩式相減得，……，得．（Ⅱ），錯位相減法可以得．20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=．（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）求三棱錐A-PCD的體積．（1）證明：△ABD中，BD=4，AD=2，AB=，∴∠ADB=90o，即BD⊥AD．2分∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD平面ABCD∴BD⊥平面PAD．5分（2）解：取AD中點H，等邊三角形PAD中，PH⊥AD，且PH=∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD平面ABCD∴PH⊥平面ABCD8分設AB與CD距離為，Rt△ABD中，，得∵△ABD與△CDB具有相同的高，∴S△ACD=∴S△ACD×PH=21.已知函數.（Ⅰ）求在區間上的最大值；（Ⅱ）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍.解：（Ⅰ）由得.令，得或.因為，，所以在區間上的最大值為.（Ⅱ）設過點的直線與曲線相切于點則且切線斜率為所以切線方程為，因此.整理得.設則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同零點”..所以，是的極大值，是的極小值．當，即時，此時在區間和上分別至多有1個零點，所以至多有2個零點．當，即時，此時在區間和上分別至多有1個零點，所以至多有2個零點．當且，即時，因為，所以分別在區間，和上恰有個零點.由于在區間和上單調，所以分別在區間和上恰有1個零點.綜上可知，當過點存在條直線與曲線相切時，的取值范圍是.請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分22.選修4-1：幾何證明選講如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC=2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E，證明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD?DE=2PB2．解：證明：（Ⅰ）連接OE，OA，則∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D為PC的中點，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中點，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，∴PA2=PB?PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD?DC=PB?2PB，∵AD?DE=BD?DC，∴AD?DE=2PB2．23.選修4-4，坐標系與參數方程將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的2倍，得曲線C．（Ⅰ）寫出C的參數方程；（Ⅱ）設直線l：2x+y-2=0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程．解：（Ⅰ）在曲線C上任意取一點（x，y），由題意可得點（x，）在圓x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲線C的方程為x2+=1，化為參數方程為（0≤θ＜2π，θ為參數）．（Ⅱ）由，可得，，不妨設P1（1，0）、P2（0，2），則線段P1P2的中點坐標為（，1），再根據與l垂直的直線的斜率為，故所求的直線的方程為y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．再根據x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直線的極坐標方程為ρcosα﹣2ρsinα