第八章剛體的基本運動§8－1剛體的平行移動

§8－2剛體的定軸轉動

§8－3轉動剛體內各點的速度與加速度

§8－4繞定軸轉動剛體的傳動問題

§8－5角速度及角加速度的矢量表示·

以矢積形式表示轉動剛體內點的速度和加速度1第一節剛體的平行移動1.定義剛體在運動過程中，剛體內任意一直線始終與其原來位置保持平行，則稱剛體作平行移動，簡稱平動。直線平動——平動剛體內各點的軌跡為直線曲線平動——平動剛體內各點的軌跡為曲線22.定理剛體平動時，體內各點的運動軌跡形狀均相同，且在同一瞬時體內各點的速度和加速度均相同。剛體平動的問題可歸結為點的運動問題來處理。結論:3蕩木用兩條等長的鋼索平行吊起，如圖所示。鋼索長為l，長度單位為m。當蕩木擺動時鋼索的擺動規律為，其中t為時間，單位為s；轉角φ0的單位為rad，試求當t=0和t=2s時，蕩木的中點M的速度和加速度。例題1

剛體的基本運動

例題OABO1O2φll（+）M4

O1A=O2B=l

O1A

O2BAB

O1O2

蕩木作平行移動

vM=vA

=vB，aM=aA

=aB又點A在半徑為l的圓弧上運動。如以最低點O為起點，規定弧坐標s向右為正，則A點的運動方程為解：例題1

剛體的基本運動

例題OABO1O2φll（+）M對蕩木作運動分析5例題1

剛體的基本運動

例題OABO1O2φll（+）M代入t=0和t=2，就可求得這兩瞬時A點的速度和加速度，亦即點M在這兩瞬時的速度和加速度。計算結果列表如下：t(s)φ(rad)φ0002v(m/s)(水平向右)000at(m/s2)an(m/s2)(鉛直向上)6第二節剛體繞定軸的轉動1.定義剛體運動時，體內有一條直線保持不動，而整個剛體繞此直線旋轉，則稱剛體作定軸轉動。不動直線稱為轉軸（軸線、軸）不在轉軸上的點各以此軸一點為圓心而在垂直于此軸的平面內作圓周運動72.運動方程(轉動方程)轉角的正負由右手螺旋法則確定。即從Oz軸正端俯視，自固定平面N0至動平面N，若是逆時針轉動，則角為正值，反之，則角為負值。=

（t）單位：弧度（rad）3.角速度定義：剛體轉動的角速度等于轉角對時間的一次導數。物理意義：剛體轉動的角速度表示剛體轉動的快慢和方向。單位：弧度/秒（rad/s）與轉速的關系：=n/30轉速n的單位:r/min84.角加速度物理意義：說明了角速度變化的快慢如、同號剛體作加速轉動如、異號剛體作減速轉動單位：弧度/秒2（rad/s2）定義：剛體轉動的角加速度等于角速度對時間的一次導數，轉角對時間的二次導數=

k=

k角速度矢量95.幾種特殊運動勻速轉動勻變速轉動10導桿機構如圖所示。已知曲柄OA以勻角速度ω繞O軸轉動，其轉動方程φ=ωt，通過滑塊帶動搖桿O1B繞O1軸擺動。設OA=r，OO1=l=2r，求搖桿O1B的轉動方程。假設任意時刻，機構處于圖示位置，由幾何關系可知：

解：例題2

剛體的基本運動

例題11第三節轉動剛體內各點的速度和加速度1.運動方程S=R

2.點的速度大小:

v=R轉動半徑與剛體角速度的乘積方向：沿著軌跡的切線方向(即與轉動半徑R垂直)，指向與一致123.點的加速度

切向加速度 大小：a=R轉動半徑與剛體轉動的角加速度的乘積 方向：沿著軌跡的切線方向，指向與一致法向加速度 大小：an=R2 方向：指向轉軸(即圓心)點M全加速度的大小

點M全加速度的方向參見動畫：轉動加速度分布134.結論：在每一瞬時,轉動剛體上各點的速度和加速度的大小與到轉軸的距離成正比;在每一瞬時,轉動剛體上各點的加速度與半徑（主法線）間的夾角相同。14平動和定軸轉動剛體的速度15已知如圖所示的擺繞固定水平軸O的轉動方程是，式中表示擺對鉛直線的偏角，為最大偏角；T表示擺的周期。已知擺的重心C到軸O的距離為l，試求在初瞬時和經過平衡位置(φ=0)時重心的速度和加速度。CC0lC1Oφ0φ例題3

剛體的基本運動

例題16CC0lC1Oφ0φ將轉動方程對時間求導，得擺的角速度和角加速度

以t=0代入上式，得擺在初瞬時的角速度和角加速度此時重心C0的速度和加速度分別為此瞬時C0點的總加速度a0等于切向加速度，方向指向角φ減小的一邊。a0解：例題3

剛體的基本運動

例題17CC0lC1Oφ0φ此時重心C1的速度和加速度分別為此瞬時C0點的總加速度a1等于法向加速度方向指向轉軸O。得擺在初瞬時的角速度和角加速度經過平衡位置φ=0的瞬時，即或av1a1=a1n因而代入例題3

剛體的基本運動

例題18sBAOMvR半徑R=20cm的滑輪可繞水平軸O轉動，輪緣上繞有不能伸長的細繩，繩的一端與滑輪固連，另一端則系有重物A，設物體A從位置B出發，以勻加速度a=4.9

m/s2向下降落，初速v0=4m/s，求當物體落下距離s=2m時輪緣上一點M

的速度和加速度。例題4

剛體的基本運動

例題19根據v2–v02=2as，得M點的速度M點的法向加速度M點的切向加速度

M點的總加速度解:sBAOMvR例題4

剛體的基本運動

例題sBAOMvR20機器的運轉要求一定的轉速,而電動機的轉速則是一定的.這就需要變速,把電動機的轉速提高或傳遞,使它符合要求.變速常通過一系列相互嚙合的齒輪或皮帶傳動,摩擦輪傳動來完成.幾個輪子的組合稱為輪系.以一對嚙合輪為例：I輪:II輪:又,§8－4繞定軸轉動剛體的傳動問題21傳動比傳動比第一主動輪的轉速(輸入角速度)與最末從動輪轉速(輸出角速度)的比.由于相互嚙合的兩齒輪,其齒距必須相等,故半徑與齒輪的齒數Z必成正比.故:式中分別為I,II輪的齒數.22如圖a，b分別表示一對外嚙合和內嚙合的圓柱齒輪。已知齒輪Ⅰ的角速度是ω1

，角加速度是α1，試求齒輪Ⅱ的角速度ω2和角加速度α2，齒輪Ⅰ和Ⅱ的節圓半徑分別是R1和R2，齒數分別是z1和z2。ⅠⅡO1O2ⅠⅡO1O2（a）（b）例題6

剛體的基本運動

例題23ⅠⅡO1O2ⅠⅡO1O2（a）（b）例題6

剛體的基本運動

例題設A，B是齒輪Ⅰ，Ⅱ節圓上相嚙合的點。解：vAvBABvAvBABα1α2ω2ω1ω1ω2但故得轉向分別如圖所示。傳動比24§8-5以矢量表示角速度和角加速度以矢積表示轉動剛體內點的速度和加速度1角