§3.1

置信區間

§3.2樞軸量法

§3.3正態總體參數的置信區間

§3.4非正態總體參數的置信區間第3章區間估計§3.1

置信區間

3.1.1置信區間概念

定義3.1.1

設是總體的一個參數，其參數空間為Θ，x1,x2

,

…,xn是來自該總體的樣本，對給定的一個(0<<1)，若有兩個統計量和，若對任意的

∈Θ，有（3.1.1）

則稱隨機區間[]為的置信水平為1-的置信區間，或簡稱[]是的1-置信區間.

和分別稱為的（雙側）置信下限和置信上限.

這里置信水平1-的含義是指在大量使用該置信區間時，至少有100(1-)%的區間含有

。

例3.1.1

設x1,x2

,

…,x10是來自N(,

2)的樣本，則的置信水平為1-的置信區間為其中，,s分別為樣本均值和樣本標準差。這個置信區間的由來將在3.1.2節中說明，這里用它來說明置信區間的含義。若取

=0.10，則t0..95(9)=1.8331，上式化為

現假定=15,

2=4，則我們可以用隨機模擬方法由N(15,4)產生一個容量為10的樣本，如下即是這樣一個樣本：14.8513.0113.5014.9316.9713.8017.953313.3716.2912.38

由該樣本可以算得從而得到的一個區間估計為該區間包含的真值--15?，F重復這樣的方法100次，可以得到100個樣本，也就得到100個區間，我們將這100個區間畫在圖3.1.1上。

由圖3.1.1可以看出，這100個區間中有91個包含參數真值15，另外9個不包含參數真值。圖3.1.1的置信水平為0.90的置信區間

取=0.50，我們也可以給出100個這樣的區間，見圖3.1.2?？梢钥闯觯@100個區間中有50個包含參數真值15，另外50個不包含參數真值。圖3.1.2

的置信水平為0.50的置信區間定義3.1.2

沿用定義3.1.1的記號，如對給定的(0<<1)，對任意的∈Θ，有

（3.1.2）

稱為的1-同等置信區間。

同等置信區間是把給定的置信水平1-用足了。常在總體為連續分布場合下可以實現。定義

若對給定的(0<<1)和任意的∈Θ，有，則稱為的置信水平為1-的（單側）置信下限。假如等號對一切∈Θ成立，則稱為的1-同等置信下限。若對給定的(0<<1)和任意的∈Θ，有,則稱為的置信水平為1-的（單側）置信上限。若等號對一切∈Θ成立，則稱為1-同等置信上限。單側置信限是置信區間的特殊情形。因此，尋求置信區間的方法可以用來尋找單側置信限。

構造未知參數的置信區間的最常用的方法是樞軸量法，其步驟可以概括為如下三步：1.構造一個樣本和的函數G=G(x1,x2

,

…,xn,

)使得G的分布不依賴于未知參數。一般稱具有這種性質的G為樞軸量。2.選擇兩個常數c,d，使對給定的(0<<1)有P(c≤G≤d)=1-

3.假如能將c≤G

≤d進行不等式等價變形化為

,則[，]是的1-同等置信區間?！?.２

樞軸量法

關于置信區間的構造有兩點說明：

滿足置信度要求的c與d通常不唯一。若有可能，應選平均長度達到最短的c與d，這在G的分布為對稱分布場合通常容易實現。實際中，選平均長度盡可能短的c與d，這往往很難實現，因此，常這樣選擇c與d，使得兩個尾部概率各為

/2，即P(G<c)=P(G>d)=

/2，這樣的置信區間稱為等尾置信區間。這是在G的分布為偏態分布場合常采用的方法。例3.1.2

設x1,x2

,

…,xn是來自均勻總體U(0,

)的一個樣本，試對給定的(0<<1)給出

的1-同等置信區間。解:（1）取x(n)作為樞軸量，其密度函數為p(y;

)=nyn-1/

n，0<y<1；

（2）x(n)/

的分布函數為F(y)=yn,0<y<1，故P(c≤x(n)/

≤d)=dn-cn，因此我們可以適當地選擇c和d滿足dn-cn=1-（3）利用不等式變形可容易地給出

的1-同等置信區間為[x(n)/d，x(n)/c]，該區間的平均長度為。不難看出，在0≤c<d≤1及dn-cn=1-的條件下，當d=1,c=

時，取得最小值，這說明是

的置信水平

1-為最短置信區間。3.３

正態總體參數的置信區間

一、

已知時的置信區間在這種情況下，樞軸量可選為，c和d應滿足P(c≤G≤d)=(d)-(c)=1-，經過不等式變形可得該區間長度為。當d=-c=u1-/2時，d-c達到最小，由此給出了的同等置信區間為

[，]。（3.３.1）這是一個以為中心，半徑為的對稱區間，常將之表示為。3.３.1正態均值的置信區間例3.３.1

用天平秤某物體的重量9次，得平均值為（克），已知天平秤量結果為正態分布，其標準差為0.1克。試求該物體重量的0.95置信區間。解：此處1-=0.95，=0.05，查表知u0.975=1.96，于是該物體重量的0.95置信區間為，從而該物體重量的0.95置信區間為

[15.3347，15.4653]。例3.３.2

設總體為正態分布N(,1)，為得到的置信水平為0.95的置信區間長度不超過1.2，樣本容量應為多大？解：由題設條件知的0.95置信區間為

其區間長度為，它僅依賴于樣本容量n而與樣本具體取值無關。現要求，立即有n(2/1.2)2u21-/2.現1-=0.95，

故u1-/2=1.96，從而n(5/3)21.962=

10.6711。即樣本容量至少為11時才能使得的置信水平為0.95的置信區間長度不超過1.2。二、

2未知時的置信區間

這時可用t統計量，因為，因此t可以用來作為樞軸量。完全類似于上一小節，可得到的1-置信區間為

此處是

2的無偏估計。例3.３.3

假設輪胎的壽命服從正態分布。為估計某種輪胎的平均壽命，現隨機地抽12只輪胎試用，測得它們的壽命（單位：萬公里）如下：4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70

此處正態總體標準差未知，可使用t分布求均值的置信區間。經計算有=4.7092，s2=0.0615。取

=0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均壽命的0.95置信區間為（單位：萬公里）

在實際問題中，由于輪胎的壽命越長越好，因此可以只求平均壽命的置信下限，也即構造單邊的置信下限。由于由不等式變形可知的1-置信下限為

將t0.95(11)=1.7959代入計算可得平均壽命的0.95置信下限為4.5806（萬公里）。三、

2的置信區間

取樞軸量，由于

2分布是偏態分布，尋找平均長度最短區間很難實現，一般都用等尾置信區間：采用

2的兩個分位數

2

/2(n-1)和21-

/2(n-1)，在

2分布兩側各截面積為/2的部分，使得由此給出

2的1-置信區間為3.３.2正態方差的置信區間例3.３.4某廠生產的零件重量服從正態分布N(,

2)，現從該廠生產的零件中抽取9個，測得其重量為（單位：克）45.345.445.145.345.545.745.445.345.6

試求總體標準差的0.95置信區間。解：由數據可算得s2=0.0325，(n-1)s2=80325=0.26.

查表知

20.025(8)=2.1797，20.975(8)=17.5345，代入可得

2的0.95置信區間為

從而的0.95置信區間為:[0.1218，0.3454]。

設x1

,…,xm是來自N(1,12)的樣本，y1

,…,yn是來自N(2,22)的樣本，且兩個樣本相互獨立。與分別是它們的樣本均值，和分別是它們的樣本方差。下面討論兩個均值差和兩個方差比的置信區間。3.３.3兩個正態總體參數的置信區間一、1-2的置信區間1、

12和

22已知時的兩樣本u區間

2、

12=22=

2未知時的兩樣本t區間

3、

22/12=已知時的兩樣本t區間

4、當m和n都很大時的近似置信區間

5、一般情況下的近似置信區間其中例3.３.9

為比較兩個小麥品種的產量，選擇18塊條件相似的試驗田，采用相同的耕作方法作試驗，結果播種甲品種的8塊試驗田的畝產量和播種乙品種的10塊試驗田的畝產量（單位：千克/畝）分別為：甲品種628583510554612523530615

乙品種535433398470567480498560503426

假定畝產量均服從正態分布，試求這兩個品種平均畝產量差的置信區間.(=0.05）。解：以x1

,…,x8記甲品種的畝產量，y1,…,y10記乙品種的畝產量，由樣本數據可計算得到

=569.3750，sx2=2140.5536，m=8=487.0000，sy2=3256.2222，n=10

下面分兩種情況討論。(1)若已知兩個品種畝產量的標準差相同，則可采用兩樣本t區間。此處故1

-2的0.95置信區間為(2)若兩個品種畝產量的方差不等，則可采用近似t區間。此處

s02=2110.5536/8+3256.2222/10=589.4414，

s0=24.2784

于是1-2的0.95近似置信區間為

[31.3685，133.3815]二、

12/22的置信區間由于(m-1)sx2/12

2(m-1),(n-1)sy2/22

2(n-1)，且sx2與sy2相互獨立，故可仿照F變量構造如下樞軸量,對給定的1-，由經不等式變形即給出

12/22的如下的置信區間例3.３.10

某車間有兩臺自動機床加工一類套筒，假設套筒直徑服從正態分布?，F在從兩個班次的產品中分別檢查了5個和6個套筒，得其直徑數據如下（單位：厘米）：甲班：5.065.085.035.005.07

乙班：4.985.034.974.995.024.95

試求兩班加工套筒直徑的方差比甲2/

乙2的0.95置信區間。解：

由數據算得sx2=0.00037,sY2=0.00092，故置信區間[0.0544，3.7657]

一、指數分布參數的區間估計§3.４

非正態總體參數的置信區間設X1,X2,…,Xn是來自指數總體E(λ)的樣本,則二、0-1分布參數的區間估計(方法1)設X1,X2,…,Xn是來自0-1分布總體B(1,p)的樣本,則當n充分大時，例3.4.1

設從某廠生產的一批產品中抽查了100件，發現其中有