第二章邏輯代數基礎天津大學精密儀器與光電子工程學院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity吳森講師senwu@天津大學精密儀器與光電子工程學院SchoolofPrecisionInstrument&Opto-electronicsEngineering,TianjinUniversity

內容提要2.1基本邏輯運算2.2邏輯代數的基本公式和定理2.3邏輯函數的表示方法2.4邏輯函數的化簡

第一章邏輯代數基礎2.1基本邏輯運算三種基本運算

2.1基本邏輯運算“0”、“1”表示兩種對立的邏輯狀態；只存在這兩種狀態的信號之間的因果關系稱為二值邏輯；按照指定因果關系進行的推理即邏輯運算，邏輯運算的數學方法稱為邏輯代數，又稱布爾代數（GeorgeBoole）與（AND）或（OR）非（NOT）常見擴展運算與非（NAND）或非（NOR）異或（ExclusiveOR,xor）同或（InclusiveOR,xnor）復雜組合

2.1基本邏輯運算一.“與”運算當決定事件的所有條件都具備時事件才發生。功能表開關A開關B燈Y電源ABY斷斷滅斷通滅通斷滅通通亮真值表ABY000010100111邏輯函數表達式：Y=A?B=ABABY&圖形符號：邏輯乘與門

2.1基本邏輯運算二.“或”運算當決定事件的所有條件中有一個或一個以上具備時事件就發生。邏輯函數表達式：Y=A+BABY≥1圖形符號：邏輯加或門開關A開關B燈Y電源功能表ABY斷斷滅斷通亮通斷亮通通亮真值表ABY000011101111

2.1基本邏輯運算三.“非”運算決定事件的條件只有1個，當條件具備時事件不發生，條件不具備時事件發生。邏輯函數表達式：Y=A圖形符號：邏輯反非門功能表AY斷亮通滅真值表AY0110開關A燈Y電源R（也可寫成Y=A’)AY1

2.1基本邏輯運算四.基本邏輯的常用擴展與非門Y=ABYAB&真值表ABABY0001010110011110真值表或非門Y=A+BYAB≥1ABA+BY0001011010101110

2.1基本邏輯運算四.基本邏輯的常用擴展異或門YAB=1真值表ABY000011101110真值表同或門YAB=1ABY001010100111Y=A⊙B

2.1基本邏輯運算IEEE符號AY國標符號AB&A1AB≥1YYYABABYYIEEE符號國標符號AB&AB=1AB≥1YYYABABYYYABAB=YABYA≥1&BCDYY=(AB+CD)’

第二章邏輯代數基礎2.2基本公式和定理

2.2基本公式和定理一、基本公式0?A=00，1律0+A=A1?A=A0，1律1+A=1A?A=A重疊律A+A=AA?A′=0互補律A+A′=1A?B=B?A交換律A+B=B+AA(BC)=(AB)C結合律A+(B+C)=(A+B)+CA(B+C)=AB+AC分配率A+BC=(A+B)(A+C)(AB)′=A′+B′反演律(A+B)′=A′B′(A′)′=A還原律證明公式：A(B+C)=AB+ACABCA(B+C)ABACAB+AC00000000010000010000001100001000000101101111011011111111左=右枚舉法真值表

2.2基本公式和定理證明公式：A+BC=(A+B)(A+C)推演法

2.2基本公式和定理

2.2基本公式和定理二、常用其他公式A+AB=AA+A′B=A+BAB+AB′=AA(A+B)=AAB+A′C+BC=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′CA(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′證明公式：A+A’B=A+

B右

=A+B

=(A+A’)(A+B)=A+A’B=左

證明公式：AB+A’C

+

BC=AB+

A’C左=AB+A’C

+BC=AB+A’C+BC(A+

A’)

=

AB+

ABC+

A’C+

A’CB=

AB+A’C=右

證明公式：AB+A’C

+

BCD=AB+

A’C左=AB+A’C

+BCD=AB+A’C+BC+BCD

=

AB+

A’C+

BC=

AB+A’C=右

證明公式：A(AB)’

=AB’

左=A(AB)’

=A(A’

+

B’)=AB’

=右

2.2基本公式和定理三、基本定理代入定理

在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。例：分配律公式A(B+C)=AB+AC

，用C+D代替C

得:A[B+(C+D)]=AB+

A(C+D)

=AB+

AC+

AD代入定理可以擴展所有基本公式或定律的應用范圍例：反演律公式(A

+

B)’

=A’B’，用B

+C代替B

得:[A+(B+C)]’=A’(B+C)’=A’B’C’

2.2基本公式和定理2.反演定理

對于任意邏輯表達式，按照以下方式變換可得到原函數的反函數。運算符“與”、“或”置換，“同或”、“異或”置換；變量、反變量置換；常量0、1置換。例：函數Y=A’B’+CD的反演函數如下A’B’+CD(A+B)(C’+D’)Y’=(A’B’+CD)’=(A’B’)’(CD)’=(A+B)(C’+D’)例：函數Y=A’(B’C(D’E)’)’的反演函數如下A’(B’C(D’E)’)’A+(B+C’+(D+E’)’)’=

Y’

括號不變，括號上的反號也不變

2.2基本公式和定理3.對偶定理

兩個相等邏輯式的對偶式也相等。任意邏輯表達式的對偶式可按照以下方式得到。運算符“與”、“或”置換，“同或”

、“異或”置換；常量0、1置換。例：Y=A’B’+CD的對偶式如下A’B’+CD(A’+B’)(C’+D’)例：Y=A’(B’C(D’E)’)’的對偶式如下A’(B’C(D’E)’)’A’+(B’+C+(D’+E)’)’

對偶式不改變括號和反號

2.2基本公式和定理例：A+BCD=(A+B)(A+C)(A+D)A(B+C+D)(AB)+(AC)+(AD)用對偶定理證明=例：AB+A’C+BC

=AB+A’CAB+A’C+BC

(A+B)(A’+C)(B+C)=AC+A’B+BCAB+A’C(A+B)(A’+C)=AC+A’B+BC(A+B)(A’+C)(B+C)=(A+B)(A’+C)AB+A’C+BC

=AB+A’CA+BCD=(A+B)(A+C)(A+D)

2.2基本公式和定理

第二章邏輯代數基礎2.3邏輯函數的表示方法

2.3邏輯函數的表示方法一、邏輯函數邏輯關系變量——輸入邏輯運算結果——輸出邏輯函數Y=F(A,B,C…)二、表示方法Y=A(B+C)YABC輸入輸出ABCY00000010010001101000101111011111YCBAtttt

2.3邏輯函數的表示方法三、邏輯函數的變換

同一個邏輯函數可以有不同的表達式，不同的表達式對應不同的邏輯電路。Y=(A(AB)’+B(AB)’)’=((A+B)(AB)’)’=((A’B’)’(AB)’)’=A’B’+ABABYABYABYABY

2.3邏輯函數的表示方法四、邏輯函數的標準形式邏輯函數標準形式最小項之和最大項之積最小項：在n變量邏輯函數中，若m為n個變量的乘積，且這n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現一次，則m為該組變量的最小項。例：n=2，m=A’B’、AB…最大項：在n變量邏輯函數中，若M為n個變量的和，且這n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現一次，則M為該組變量的最大項。例：n=2，M=A’+B’、A+B…例：n=2，Y=A’B’+AB例：n=2，Y=(A’+B’)(A+B)與-或或-與

2.3邏輯函數的表示方法最小項的特性：n變量邏輯函數總共有2n個最小項；任一最小項，只有一組變量取值使其值為1；任意兩個最小項的乘積為0；全體最小項之和為1。取值A’B’C’A’B’CA’BC’A’BCAB’C’AB’CABC’ABCABC0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001

2.3邏輯函數的表示方法

把與最小項對應的變量取值當成二進制數（原變量為1，反變量為0），與之相應的十進制數，就是該最小項的編號，用mi表示。00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7

2.3邏輯函數的表示方法例：

寫出下列函數的最小項標準式（與或式）：或m6m7m1m3任何一個邏輯函數式的標準形式一定不可能是全部最小項之和。并且在化簡之后一定不超過全部最小項個數的一半。

2.3邏輯函數的表示方法例：

寫出下列函數的最小項標準式（與或式）：m7m6m5m4m1m0m8m0與前面m0相重

第二章邏輯代數基礎2.4邏輯函數的化簡

2.4邏輯函數的化簡一、邏輯函數的最簡與-或式在若干個邏輯關系相同的與-或表達式中，將其中包含的與項數最少，且每個與項中變量數最少的表達式稱為最簡與-或表達式。二、公式化簡法運用邏輯代數的基本定律和恒等式進行化簡。

2.4邏輯函數的化簡并項:例：例：

2.4邏輯函數的化簡吸收:例：例：例：

2.4邏輯函數的化簡消去:例：例：

2.4邏輯函數的化簡配項:例：例：或或冗余項冗余項

2.4邏輯函數的化簡練習:

2.4邏輯函數的化簡要求對所有公式熟練掌握；無一套完善流程可循，依賴于人的經驗和靈活性；不利于判斷結果是否為最簡式。公式法化簡在使用中遇到的困難：

2.4邏輯函數的化簡三、卡諾圖（

Karnaughmaps）卡諾圖即按格雷碼排列的最小項方格圖——將n變量的全部最小項都用小方塊表示，并使具有邏輯相鄰的最小項幾何相鄰。邏輯相鄰：兩最小項只有一個變量互為反變量。幾何相鄰：相接—上下左右挨著相對—同一行或列的兩頭相重—對折起來位置重合AB二變量的卡諾圖：4個最小項

2.4邏輯函數的化簡ABC01000110111110邏輯不相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰m0m1m2m3m4m5m6m7ABCD0001111000011110CDE00011110000001011010110111101100m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21幾何相鄰幾何相鄰幾何相鄰三變量卡諾圖：8個最小項四變量卡諾圖：16個最小項五變量卡諾圖：32個最小項五個以上變量不適用卡諾圖AB

2.4邏輯函數的化簡用卡諾圖表示邏輯函數根據變量個數畫出相應的卡諾圖；將函數化為最小項之和的形式；在卡諾圖上與這些最小項對應的位置填入1，其余位置填0或不填。例：ABC010001111011110000利用卡諾圖化簡邏輯函數就是按一定規則對相鄰的1進行合并與消去

2.4邏輯函數的化簡卡諾圖最小項合并規律2N個相鄰最小項合并可以消去N個因子，留下的是這些最小項中相同的部分。ABC01000111101111ABCD00011110000111101111

2.4邏輯函數的化簡ABCD000111100001111011111111ABCD00011110000111101111BD1111

2.4邏輯函數的化簡ABCD000111100001111011111111ABCD00011110000111101111B111111111111

2.4邏輯函數的化簡

2.4邏輯函數的化簡卡諾圖化簡邏輯函數步驟根據邏輯函數填寫卡諾圖；對相鄰的1方格畫包圍圈，畫圈原則如下：對每個包圍圈進行合并得到一個乘積項，各包圍圈所得乘積項之和即是該邏輯函數的最簡式。ABCD000111100001111011111111不正確的畫圈每個圈都必須為矩形，且含有2n個1；先圈孤立1，再圈只有一種合并方式的1，每個1都必須被圈上；圈內的1越多越好，圈的個數越少越好；不同的圈可包含相同的1，但每個圈中至少有一個不同的1.

2.4邏輯函數的化簡利用圖形法化簡函數例：解(1)畫函數的卡諾圖ABCD00011110000111101111111111(2)畫包圍圈合并最小項(3)寫出最簡與或表達式

2.4邏輯函數的化簡利用圖形法求下列函數的反函數的最簡與或表達式例：解(1)畫函數的卡諾圖ABC010001111011110000(2)合并函數值為0的最小項(3)寫出反函數的最簡與或表達式

2.4邏輯函數的化簡求下列函數的最簡與或表達式例：0111111111111110011111111111111