第15章

虛位移原理★引言★約束及其分類★自由度和廣義坐標(biāo)★以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件★虛位移原理★虛位移和理想約束★質(zhì)點(diǎn)系在有勢力作用下的平衡問題★結(jié)論與討論

引言

虛位移原理是應(yīng)用功的概念分析系統(tǒng)的平衡問題，是研究靜力學(xué)平衡問題的另一途徑。對于只有理想約束的物體系統(tǒng)，由于求知的約束反力不作功，有時應(yīng)用虛位移原理求解比列平衡方程更方便。

虛位移原理與達(dá)朗伯原理結(jié)合起來組成動力學(xué)普遍方程，又為求解復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)問題提供另一種普遍的方法。這些理論構(gòu)成分析力學(xué)的基礎(chǔ)。§15-1約束及其分類約束——物體運(yùn)動所受到的限制1.

幾何約束與運(yùn)動約束yxOAA0l幾何約束在質(zhì)點(diǎn)系中，所加的約束只能限制各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置或質(zhì)點(diǎn)系的位形。COyxvCC*運(yùn)動約束在質(zhì)點(diǎn)系中，所加的約束不僅限制各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，還限制它們運(yùn)動的速度。OyxAxByBxAyABvA2.

定常約束與非定常約束定常約束－約束方程中不顯含時間的約束：非定常約束－約束方程中顯含時間的約束：yxvOM3.

單面約束與雙面約束雙面約束——約束方程可以寫成等式的約束。

單面約束——約束方程不能寫成等式、但是可以寫成不等式的約束。BByxOyxOyxO單面約束還是雙面約束？約束方程？yxOAAA0lA0l3.

單面約束與雙面約束4.

完整約束與非完整約束

完整約束——約束方程不包含質(zhì)點(diǎn)速度，或者包含質(zhì)點(diǎn)速度但約束方程是可以積分的約束。

非完整約束——約束方程包含質(zhì)點(diǎn)速度、且約束方程不可以積分的約束。4.

完整約束與非完整約束COyxvCC*OyxAxByBxAyAvA

約束方程不可積分，所以導(dǎo)彈所受的約束為非完整約束。圓輪所受約束為完整約束。B§15-2廣義坐標(biāo)與自由度yxOlA(x,y)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab廣義坐標(biāo)——確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量。廣義坐標(biāo)——確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量。用q1，q2，…表示。自由度——在完整約束條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。對于穩(wěn)定的完整約束，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可以寫成廣義坐標(biāo)的函數(shù)形式N=3n—s§15-3虛位移和理想約束1.虛位移xyOBAMF質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時，為約束所允許的無限小位移——虛位移（1）虛位移是假定約束不改變而設(shè)想的位移；（2）虛位移不是任何隨便的位移，它必須為約束所允許；（3）虛位移是一個假想的位移，它與實(shí)位移不同；（4）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。虛位移與實(shí)位移的區(qū)別和聯(lián)系（1）在完整定常約束下，實(shí)位移是諸多虛位移中的一個；MM1drdrerdr——實(shí)位移

r——虛位移實(shí)位移——質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在其真實(shí)運(yùn)動中，在一定的時間間隔內(nèi)發(fā)生的位移。（2）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向。2.虛功質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所作的功——虛功。W=F·

r3.理想約束質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的約束反力在虛位移上所作的虛功等于零，我們把這種約束系統(tǒng)稱為理想約束。W=M·

∑FNi·

ri

=0§15-4虛位移原理FiFNim1m2mi

riFi——主動力FNi——約束反力

ri——虛位移Fi+FNi=0Fi·

ri+FNi·

ri

=0∑Fi·

ri+∑FNi·

ri

=0∑FNi·

ri

=0

∑Fi·

ri=0對于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零——虛位移原理

∑Fi·

ri=0上式稱為虛位移原理的解析表達(dá)式應(yīng)用虛位移原理解題時，主要是建立虛位移間的關(guān)系，通常采用以下方法：（1）通過運(yùn)動學(xué)關(guān)系，直接找出虛位移間的幾何關(guān)系；（2）建立坐標(biāo)系，選廣義坐標(biāo)，然后仿照函數(shù)求微分的方法對坐標(biāo)求變分，從而找出虛位移（坐標(biāo)變分）間的關(guān)系。例題15-1已知：OA=r

,AB=l,不計各桿質(zhì)量。求：平衡時F與M間的關(guān)系。BAO解：取系統(tǒng)為研究對象

∑Fi·

ri=0由運(yùn)動學(xué)關(guān)系可知：MFCBADM例題15-2已知：菱形邊長為a

,求：物體C所受到的壓力。螺距為h，頂角為2

，主動力偶為M.FNrArC解：(1)取系統(tǒng)為研究對象(2)建立虛位移間的關(guān)系xyCBADMFN解法二：取建立圖示坐標(biāo)系rCOABCDPQ例題15-3圖示操縱汽門的杠桿系統(tǒng)，已知OA/OB=1/3，求此系統(tǒng)平衡時主動力P和Q間的關(guān)系。rBrA解：(1)取系統(tǒng)為研究對象由運(yùn)動學(xué)關(guān)系可知：例題15-4圖示系統(tǒng)中除連接H點(diǎn)的兩桿長度為l外,其余各桿長度均為2l,彈簧的彈性系數(shù)為k,當(dāng)未加水平力P時彈簧不受力，且=0

，求平衡時水平力P的大小。解：(1)建立圖示坐標(biāo)系(2)系統(tǒng)的虛功方程(2)系統(tǒng)的虛功方程例題15-5求圖示連續(xù)梁的支座反力。PMqll2lABCD解：(1)解除D處約束，代之以反力FD，并將其視為主動力。PMqABCDFDsEsD其中解得(2)解除B處約束，代之以反力FB，并將其視為主動力。FBsBsCPMqABCD其中解得sE由虛功方程，得代入虛功方程，得PMqABCDFAsAsCsE(3)解除A處約束，代之以反力FA，并將其視為主動力。由虛功方程，得其中代入虛功方程，得解得§15-5用廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件qk——廣義虛位移

Qk——廣義力Q1

=Q2

=…=Qk=0★質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是所有的廣義力都等于零令廣義力的計算方法1.按定義計算2.用一組特定的廣義坐標(biāo)變分來計算2yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab1FAFFB例題15-6求平衡時1

、2與FA、

FB、

F間的關(guān)系。解法一：按定義計算，取1

、2為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。2yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab1FAFFB解得解法二：（1）令：1≠0，2=0

yxOAB1解得（2）令：1=0，2≠

0

yxOAB1解得ACEDBM1M2M360°60°例題15-7已知：AC=CD=DE，M1求：平衡時M2

、M3。解：（1）令：1≠0，2=0

ACEDB11解得ACEDBM1M2M360°60°解：（2）令：2≠0，1=0

32ACEDB60°rBrE由運(yùn)動學(xué)關(guān)系可知：解得§15-6質(zhì)點(diǎn)系在有勢力作用下的平衡問題1.平衡條件某質(zhì)點(diǎn)系由n個質(zhì)點(diǎn)組成，內(nèi)有d個完整、定常的理想約束，處于勢力場中。作用在各質(zhì)點(diǎn)上的主動力Fi都是有勢力，因此，該質(zhì)點(diǎn)系是保守系統(tǒng)，它的勢能函數(shù)V可以表示為各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，即這些主動力Fi主可以有勢能函數(shù)對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)表示，即將上式代入虛功方程，得上式表明，在勢力場中，具有完整、定常的理想約束的質(zhì)點(diǎn)系其平衡的充分必要條件是：該質(zhì)點(diǎn)系勢能的一階變分等于零。當(dāng)選擇廣義坐標(biāo)，則直角坐標(biāo)表示的勢能函數(shù)可改寫為用廣義坐標(biāo)表示的勢能函數(shù)因此用廣義坐標(biāo)表示的平衡條件可寫成如下形式：2.平衡穩(wěn)定性的概念（a）穩(wěn)定平衡（b）非穩(wěn)定平衡（c）隨遇平衡。3.單自由度系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性質(zhì)的判別方法平衡位置：例題15-8已知：AB=l，m,R。求：平衡位置并判別其穩(wěn)定性。OABmgCxy解：取為

其廣義坐標(biāo)，建立圖示坐標(biāo)系。llOAmm

研究：1、應(yīng)用勢能駐值定理，確定蹺板的可能平衡位形；蹺板2、應(yīng)用機(jī)械能守恒確定蹺板作二維微振動的振動方程；3、確定二維微振動的固有頻率與運(yùn)動穩(wěn)定性條件。如圖所示為玩具蹺板簡圖。在不計質(zhì)量的木釘上固結(jié)兩個與木釘夾角為

的剛性臂。臂端分別安裝的質(zhì)量均為m的小球。兩臂等長均為。釘長OA＝d

，分別與兩臂所夾

角的范圍。將木釘?shù)募舛薕放置在柱形支承的表面，玩者可隨意讓蹺板旋轉(zhuǎn)或擺動。蹺板OAmmllC2mg

解：一般情形下，蹺板繞點(diǎn)O作定點(diǎn)運(yùn)動。本例主要研究二維運(yùn)動，因此，這是一個自由度的理想約束系統(tǒng)。取為廣義坐標(biāo)。以支點(diǎn)O作為零勢能位置1.蹺板的靜平衡位置OAmmllC2mgOAmmllC2mg2.蹺板的二維微振動方程為了計算系統(tǒng)的動能，令l1為每個小球到支點(diǎn)O的距離，系統(tǒng)的總動能為系統(tǒng)的總勢能為由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，得將上式對時間求導(dǎo)，并注意到：得蹺板的二維微振動方程OAmmllC2mg3.蹺板的固有頻率

結(jié)論與討論1.虛位移質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時，為約束所允許的無限小位移——虛位移作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在虛位移上所做的功——虛功2.理想約束質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的約束反力在虛位移上所作的虛功等于零，我們把這種約束系統(tǒng)稱為理想約束。

∑Fi·

ri=0

具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零——虛位移原理3.虛位移原理通常用虛位移原理求解機(jī)構(gòu)中主動力的平衡問題。解除約束，代之以約束反力，并將此約束反力當(dāng)作主動力，可和其它主動力一起應(yīng)用虛位移原理求解。

（1）通過運(yùn)動學(xué)關(guān)系，直接找出虛位移間的幾何關(guān)系；

（2）建立坐標(biāo)系，選廣義坐標(biāo)，然后仿照函數(shù)求微分的方法對坐標(biāo)求變分，從而找出虛位移（坐標(biāo)變分）間的