無限自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第四章引言離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng)無限自由度系統(tǒng)引言桿：以拉壓為主要變形的構(gòu)件軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿梁：以彎曲為主要變形的桿一個(gè)方向的尺寸遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向的尺寸板：一個(gè)方向的尺寸遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)方向的尺寸的構(gòu)件引言瑞士-俄羅斯科學(xué)家Euler（1707-1783）

1744年，Euler研究了梁的橫向自由振動(dòng)，導(dǎo)出了鉸支、固定和自由三類邊界條件下的振型函數(shù)與頻率方程

1759年，Euler解決了矩形膜的自由振動(dòng)問題

1814-1850年，Poisson、Kirchhoff、

Navier建立板彎曲振動(dòng)理論。引言1.連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)是時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)2.連續(xù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程要用偏微分方程來描述3.連續(xù)彈性體有無限多個(gè)固有頻率和固有振型連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)不同之處：引言連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)相似之處：1.連續(xù)系統(tǒng)固有振型關(guān)于質(zhì)量與剛度具有加權(quán)正交性2.連續(xù)系統(tǒng)的自由振動(dòng)可表示為各階固有振動(dòng)的線性疊加3.對(duì)彈性體的振動(dòng)，模態(tài)疊加法、模態(tài)截?cái)嗟确椒ㄍ瑯舆m用引言微振動(dòng)假設(shè)研究對(duì)象為理想彈性體，即勻質(zhì)分布，各向同性和服從胡克定律。基本假設(shè)：實(shí)際工作中，如何分析連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)？（1）首先判定是否是簡單幾何和邊界條件的系統(tǒng)，如果是，則可獲得系統(tǒng)固有振動(dòng)特性和響應(yīng)的解析解（本章內(nèi)容）引言（2）如是復(fù)雜幾何和邊界條件的系統(tǒng)，則用有限單元法求解圖利用有限單元法將連續(xù)系統(tǒng)（阿波羅飛船）離散化為離散系統(tǒng)第一講：彈性桿的縱向振動(dòng)第四章：無限自由度系統(tǒng)的振動(dòng)彈性桿的縱向振動(dòng)圖彈性桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)主要研究桿的任一截面沿方向（軸線）的振動(dòng)規(guī)律。火箭的縱向耦合振動(dòng)POGOvibration

大型液體火箭的結(jié)構(gòu)與推進(jìn)系統(tǒng)相互作用而產(chǎn)生的不穩(wěn)定振動(dòng)。其特征頻率是由結(jié)構(gòu)縱向振動(dòng)與推進(jìn)劑輸送管路振動(dòng)的固有頻率彼此接近或相等時(shí)所產(chǎn)生的一個(gè)共振頻率，它的幅值開始于動(dòng)力飛行過程中的某瞬間,隨后達(dá)到最大,最后減弱。幅值達(dá)到最大時(shí)會(huì)引起火箭劇烈振動(dòng)，使整個(gè)火箭出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)。振動(dòng)量級(jí)超過設(shè)計(jì)允許值時(shí)會(huì)影響火箭上儀器、設(shè)備的工作可靠性。對(duì)于載人航天器,還會(huì)導(dǎo)致航天員生理失調(diào),如視力模糊等。【縱向振動(dòng)的例子】彈性桿的縱向振動(dòng)“神五”火箭發(fā)射后120秒時(shí)，火箭箭體的縱向振動(dòng)和液氧輸送管路中的液氧水平振動(dòng)出現(xiàn)了耦合，形成一種縱向耦合振動(dòng)，造成航天員的痛苦。神六設(shè)計(jì)時(shí)便改動(dòng)了氧氣輸送管道的一個(gè)參數(shù)。結(jié)果雖然還存在耦合振動(dòng)，但航天員的痛苦大大減輕。圖神州五號(hào)飛船神六減輕“第120秒痛苦”彈性桿的縱向振動(dòng)(一)直桿的縱向振動(dòng)微分方程長度為

l

橫截面積為A(x)材料彈性模量為E(x)體密度為(x)u(x,t)表示坐標(biāo)為x

的截面在時(shí)刻t

的縱向位移f(x,t)是作用在桿上的縱向分布力(一)直桿的縱向振動(dòng)微分方程微段的軸向應(yīng)變：橫截面軸向力：(一)直桿的縱向振動(dòng)微分方程（直桿縱向受迫振動(dòng)微分方程）(均勻材料等截面直桿的縱向受迫振動(dòng)方程)(一)直桿的縱向振動(dòng)微分方程（直桿縱向受迫振動(dòng)微分方程）(二)桿的縱向固有振動(dòng)（分離變量法）1.固有振動(dòng)(二)固有振動(dòng)固有振動(dòng)的表達(dá)式固有振型函數(shù)由初始條件確定由邊界條件確定簡單邊界條件固定端：自由端：(二)固有振動(dòng)2.邊界條件(二)固有振動(dòng)邊界條件：【例1】：求兩端固定桿的縱向振動(dòng)固有頻率和固有振型。固有振型函數(shù)：各階固有頻率(二)固有振動(dòng)邊界條件：【例2】：求一端固定一端自由桿的縱向振動(dòng)的固有頻率和固有振型。(二)固有振動(dòng)固有振型函數(shù)：各階固有頻率(二)固有振動(dòng)各階固有振型函數(shù)(二)固有振動(dòng)兩端自由【課堂練習(xí)】：求兩端自由桿的縱向振動(dòng)的固有頻率和固有振型。STOP第二講：1.軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)2.課堂練習(xí)(一)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)長度為

l

橫截極慣性矩Ip

(x)材料剪切模量為G(x)體密度為(x)θ(x,t)表示坐標(biāo)為x

的截面在時(shí)刻t

的角位移Me(x,t)是單位長度軸上分布的外扭矩1.運(yùn)動(dòng)方程(一)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)(一)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)簡單邊界條件固定端：自由端：2.邊界條件(二)課堂練習(xí)【課堂練習(xí)1】：求如圖所示的上端固定，下端有一附加質(zhì)量M的等直桿作縱向振動(dòng)的頻率方程。上端邊界條件：下端邊界條件：【課堂練習(xí)2】：求如圖所示的一端固定一端彈性支撐的桿作縱向振動(dòng)的頻率函數(shù)。(二)課堂練習(xí)左端邊界條件：右端邊界條件：(二)課堂練習(xí)【課堂練習(xí)3】：求如圖所示的階梯桿縱向振動(dòng)時(shí)的頻率方程。(二)課堂練習(xí)STOP第四章：無限自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第三講：Euler-Bernoli梁的振動(dòng)梁：以彎曲為主要變形的桿引言引言Eluer-Bernouli梁：忽略剪切變形和繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的梁Timoshenko梁：計(jì)及剪切變形和繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的梁瑞士-俄羅斯科學(xué)家Euler（1707-1783）DanielBernoulli(1700–1782)引言直梁假設(shè)梁具有縱向?qū)ΨQ面，在彎曲振動(dòng)時(shí)梁的撓曲線始終在這一平面內(nèi)Eluer-Bernouli梁的基本假設(shè)：引言Eluer-Bernouli定律：：彈性模量：截面對(duì)中性軸的慣性矩，簡稱截面慣性矩：梁的彎曲剛度：梁的撓曲線引言梁的長度l

梁的橫截面積A(x)

梁的體密度(x)梁的彈性模量E(x)截面慣性矩I(x)坐標(biāo)為x的截面中性軸在t時(shí)刻的橫向位移為w(x,t)單位長度上的分布外力f(x,t)單位長度上的分布外力矩m(x,t)梁的彎曲振動(dòng)方程正負(fù)號(hào)規(guī)定梁的彎曲振動(dòng)方程由牛頓第二定律：方程(1)微元力矩平衡：方程(2)梁的彎曲振動(dòng)方程均勻梁的彎曲振動(dòng)方程梁的彎曲振動(dòng)方程固有振動(dòng)對(duì)于均勻梁：固有振動(dòng)定理2（通解的結(jié)構(gòu)定理）：若是齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則是齊次方程的通解.為任意常數(shù)。梁的固有振動(dòng)為:固有振動(dòng)常見的邊界條件：固定邊界條件鉸支邊界條件自由邊界條件轉(zhuǎn)角:撓度:彎矩:剪力:彎矩:撓度:固有振動(dòng)例：確定兩端鉸支均勻材料等截面直梁的固有頻率和固有振型。固有振動(dòng)因鉸支梁不