第七章平面彎曲桿件第七章第Ⅱ部分彎曲應力§7–1引言

§7–2純彎曲時的正應力

§7–3橫力彎曲時的正應力

§7–4梁的切應力及強度條件

§7–5提高梁強度的主要措施第七章第Ⅱ部分彎曲應力mmFSM一、彎曲構件橫截面上的應力

(Stressesinflexuralmembers)

當梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩M，又有剪力FS.§7-1引言mmFSmmM

只有與正應力有關的法向內力元素

dFN=dA

才能合成彎矩.彎矩M

正應力s剪力FS

切應力t內力

只有與切應力有關的切向內力元素dFS=dA

才能合成剪力；

所以，在梁的橫截面上一般既有正應力，又有切應力.二、分析方法

(Analysismethod)平面彎曲時橫截面

純彎曲梁(橫截面上只有M而無FS的情況)平面彎曲時橫截面

橫力彎曲(橫截面上既有FS又有M的情況)ss

t

簡支梁CD段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎曲.

若梁在某段內各橫截面的彎矩為常量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲.三、純彎曲（Purebending)++FF+FaFFaaCDABdeformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula變形幾何關系物理關系靜力關系

觀察變形，提出假設變形的分布規律應力的分布規律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship§7-2純彎曲時的正應力一、實驗（Experiment）1.變形現象（Deformationphenomenon)縱向線且靠近頂端的縱向線縮短，靠近底端的縱向線段伸長.相對轉過了一個角度，仍與變形后的縱向弧線垂直.各橫向線仍保持為直線，各縱向線段彎成弧線，橫向線2.提出假設

(Assumptions）（a）平面假設：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線；（b）單向受力假設：縱向纖維不相互擠壓，只受單向拉壓.推論：必有一層變形前后長度不變的纖維—中性層中性軸：中性層與橫截面的交線中性軸橫截面對稱軸

中性層dx圖（b）yzxO應變分布規律：直梁純彎曲時縱向纖維的應變與它到中性層的距離成正比.圖（a）dx二、變形幾何關系（Deformationgeometricrelation）圖（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO三、物理關系(Physicalrelationship)所以Hooke’sLawMyzOx

直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應力，與它到中性軸的距離成正比.應力分布規律：?待解決問題中性軸的位置中性層的曲率半徑r??yzxOMdAzyσdA四、靜力關系

(Staticrelationship）

橫截面上內力系為垂直于橫截面的空間平行力系，這一力系簡化得到三個內力分量.FNMzMy內力與外力相平衡可得（1）（2）（3）將應力表達式代入（1）式，得將應力表達式代入（2）式，得將應力表達式代入(3)式，得中性軸通過橫截面形心自然滿足將代入得到純彎曲時橫截面上正應力的計算公式:M為梁橫截面上的彎矩；y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離；Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩.討論

（1）應用公式時，一般將My

以絕對值代入.根據梁變形的情況直接判斷

的正負號.

以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應力為拉應力(

為正號).凹入邊的應力為壓應力（為負號）；（2）最大正應力發生在橫截面上離中性軸最遠的點處.則公式改寫為引用記號—抗彎截面系數（3）當中性軸為對稱軸時矩形截面實心圓截面空心圓截面bhzyzdyzDdyzy（4）對于中性軸不是對稱軸的橫截面M

應分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠的距離和直接代入公式

當梁上有橫向力作用時，橫截面上既有彎矩又有剪力.梁在此種情況下的彎曲稱為橫力彎曲.§5-3

橫力彎曲時的正應力

橫力彎曲時，梁的橫截面上既有正應力又有切應力.切應力使橫截面發生翹曲，橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應力，純彎曲時所作的平面假設和單向受力假設都不成立.一、橫力彎曲(Nonuniformbending)

雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但進一步的分析表明，工程中常用的梁，純彎曲時的正應力計算公式，可以足夠精確的近似計算橫力彎曲時橫截面上的正應力.等直梁橫力彎曲時橫截面上的正應力公式為二、公式的應用范圍

(Theapplicablerangeoftheflexureformula)

1.在彈性范圍內(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit)

3.平面彎曲（Planebending）4.直梁（Straightbeams）2.具有切應力的梁（Thebeamwiththeshearstress）三、強度條件（Strengthcondition)1.數學表達式（Mathematicalformula)

梁內的最大工作應力不超過材料的許用應力.2.強度條件的應用(Applicationofstrengthcondition)（2）設計截面（3）確定許可載荷（1）強度校核

對于鑄鐵等脆性材料制成的梁，由于材料的且梁橫截面的中性軸一般也不是對稱軸，所以梁的（兩者有時并不發生在同一橫截面上）

要求分別不超過材料的許用拉應力和許用壓應力例題1

螺栓壓板夾緊裝置如圖所示.已知板長3a＝150mm，壓板材料的彎曲許用應力[s]＝140MP.試計算壓板傳給工件的最大允許壓緊力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa

解：（1）作出彎矩圖的最大彎矩為Fa；（2）求慣性矩，抗彎截面系數（3）求許可載荷80y1y22020120z例題2T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示.鑄鐵的許用拉應力為[t]=30MPa，許用壓應力為[c]=160MPa.已知截面對形心軸z的慣性矩為Iz

=763cm4，y1=52mm，校核梁的強度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：最大正彎矩在截面C上最大負彎矩在截面B上

B截面C截面80y1y22020120z§7-4梁的切應力及強度條件一、需要校核切應力的幾種特殊情況（1）梁的跨度較短，M

較小，而FS較大時,要校核切應力；（2）鉚接或焊接的組合截面,其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應比值時，要校核切應力；（3）各向異性材料(如木材)的抗剪能力較差，要校核切應力.二、梁橫截面上的切應力（Shearstressesinbeams）1.矩形截面梁(Beamofrectangularcrosssection)b矩型截面的寬度.yz整個橫截面對中性軸的慣性矩.距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩.切應力沿截面高度的變化規律(Theshear-stressdistributionontherectangularcrosssection)沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關系確定.截面靜矩的計算方法A為截面面積為截面的形心坐標2.工字形截面梁（工-sectionbeam)假設求應力的點到中性軸的距離為y.研究方法與矩形截面同，切應力的計算公式亦為HoyxbzhzA1zτmaxtmintmax式中:—中性軸任一邊的半個橫截面面積對中性軸的靜矩.

在截面邊緣上各點的切應力的方向與圓周相切.3.圓截面梁(Beamofcircularcrosssection)Ozytmax最大切應力發生在中性軸上式中為圓截面的面積.ydzO4.圓環形截面梁(Circularpipebeam)

圖示為一段薄壁環形截面梁.環壁厚度為，環的平均半徑為r0，由于

?r0

故可假設zyr0δ式中A=2r0為環形截面的面積橫截面上最大的切應力發生中性軸上，其值為三、強度條件（Strengthcondition）zyr0maxF例題4

一簡易起重設備如圖所示.起重量(包含電葫蘆自重)F=30kN.跨長l=5m.吊車大梁AB由20a工字鋼制成.其許用彎曲正應力[]=170MPa,許用彎曲切應力[]=100MPa

，試校核梁的強度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊車梁可簡化為簡支梁，力F

在梁中間位置時有最大彎矩（M=F·ab/L）.（a）正應力強度校核由型鋼表查得20a工字鋼的所以梁的最大正應力為+FSmax5mABFC（b）切應力強度校核

在計算最大切應力時，應取荷載F在緊靠任一支座例如支座A處所示，因為此時該支座的支反力最大（FRA=F·b/L），而梁的最大切應力也就最大.查型鋼表中，20a號工字鋼，有d=7mm據此校核梁的切應力強度以上兩方面的強度條件都滿足，所以此梁是安全的.例題5

簡支梁AB如圖所示.l＝2m，a＝0.2m.梁上的載荷為q為10kN/m，F＝200kN.材料的許用應力為[]=160MPa，[]＝100MPa，試選擇工字鋼型號.解：（1）計算支反力做內力圖.qBACDElFFaa8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m（2）根據最大彎矩選擇工字鋼型號查型鋼表，選用22a工字鋼，其Wz＝309cm3FRAFRB（3）校核梁的切應力

腹板厚度d=0.75cm，由剪力圖知最大剪力為210kN查表得τmax超過[t]很多，應重新選擇更大的截面.現已25b工字鋼進行試算查表得d=1cm所以應選用型號為25b的工字鋼.例題6

對于圖中的吊車大梁，現因移動荷載F增加為50kN，故在20a號工字鋼梁的中段用兩塊橫截面為120mm10mm而長度2.2mm的鋼板加強加強段的橫截面尺寸如圖所示.已知許用彎曲正應力[]=152MPa，許用切應力[]=95MPa.試校核此梁的強度.2.2m200z22012010

解：加強后的梁是階梯狀變截面梁.所以要校核（3）F移至未加強的梁段在截面變化處的正應力.（2）F靠近支座時支座截面上的切應力；（1）F位于跨中時跨中截面上的彎曲正應力；（1）校核F位于跨中截面時的彎曲正應力查表得20a工字鋼62.5kN·m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mFRBFRA最大彎矩值為跨中截面對中性軸的慣性矩為200z22012010略去了加強板對其自身形心軸的慣性矩.抗彎截面系數（2）校核突變截面處的正應力，也就是校核未加強段的正應力強度.2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mFRBFRA50.4kN·m該截面上的最大彎矩為從型鋼表中查得20a工字鋼梁不能滿足正應力強度條件.為此應將加強板適當延長.（3）校核階梯梁的切應力F靠近任一支座時，支座截面為不利荷載位置請同學們自行完成計算.§7-5提高梁強度的主要措施一、降低梁的最大彎矩值1.合理地布置梁的荷載

按強度要求設計梁時，主要是依據梁的正應力強度條件FlFl/4Fl