第六章分支限界法本章主要知識點：6.1分支限界法的基本思想6.2單源最短路徑問題6.3裝載問題6.40－1背包問題6.5旅行售貨員問題16.1 分支限界法的基本思想分支限界法與回溯法的不同（1）適合求解的問題不同：回溯法適于找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法適于找出滿足約束條件的一個解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優解。

（2）搜索方式不同：回溯法以深度優先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優先或以最小耗費優先的方式搜索解空間樹。

26.1 分支限界法的基本思想2.分支限界法常以廣度優先或以最小耗費（最大效益）優先的方式搜索問題的解空間樹。在分支限界法中，每一個活結點只有一次機會成為擴展結點。活結點一旦成為擴展結點，就一次性產生其所有兒子結點。在這些兒子結點中，導致不可行解或導致非最優解的兒子結點被舍棄，其余兒子結點被加入活結點表中。依次從活結點表中取下一結點成為當前擴展結點，并重復上述結點擴展過程。直至找到所需的解或活結點表為空時為止。36.1 分支限界法的基本思想3.常見的兩種分支限界法（1）隊列式(FIFO)分支限界法按照隊列先進先出（FIFO）原則選取下一個節點為擴展節點。

（2）優先隊列式分支限界法按照優先隊列中規定的優先級選取優先級最高的節點成為當前擴展節點。46.2 單源最短路徑問題1.問題描述在有向圖G中，每一邊都有一個非負邊權。求：圖G的從源頂點s到目標頂點t之間的最短路徑。

56.2 單源最短路徑問題優先隊列式分支限界法求解解空間樹（每一個結點旁的數字表示該結點所對應的當前路長（下界））優先級是結點所對應的當前路長66.2 單源最短路徑問題2.算法思想

解單源最短路徑問題的優先隊列式分支限界法用一極小堆來存儲活結點表。其優先級是結點所對應的當前路長。算法從圖G的源頂點s和空優先隊列開始。結點s被擴展后，它的兒子結點被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當前路長的結點作為當前擴展結點，并依次檢查與當前擴展結點相鄰的所有頂點。如果從當前擴展結點i到頂點j有邊可達，且從源出發，途經頂點i再到頂點j的所相應的路徑的長度小于當前最優路徑長度，則將該頂點作為活結點插入到活結點優先隊列中。這個結點的擴展過程一直繼續到活結點優先隊列為空時為止。76.2 單源最短路徑問題3.剪枝策略

在算法擴展結點的過程中，一旦發現一個結點的下界不小于當前找到的最短路長，則算法剪去以該結點為根的子樹。在算法中，利用結點間的控制關系進行剪枝。從源頂點s出發，2條不同路徑到達圖G的同一頂點。由于兩條路徑的路長不同，因此可以將路長長的路徑所對應的樹中的結點為根的子樹剪去。86.2 單源最短路徑問題

while(隊列不空){//搜索問題的解空間

for(j←1ton)if(a[i][j]<Float.MAX_VALUE&&dist[i]+a[i][j]<dist[j]){//頂點i到頂點j可達，且滿足控制約束

dist[j]←dist[i]+a[i][j];p[j]←i;//p數組記錄j的前一個結點heap.put(j);//結點j加入活結點優先隊列}

if(heap.isEmpty())break;elseheap.removeMin();//取出隊列中首結點做為當前擴展結點}頂點i和j間有邊，且此路徑長小于原先從原點到j的路徑長96.3裝載問題1.問題描述有一批共n個集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問題要求確定是否有一個合理的裝載方案可將這個集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。

容易證明：如果一個給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優裝載方案。

(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。

106.3裝載問題2.隊列式分支限界法在算法的while循環中，首先檢測當前擴展結點的左兒子結點是否為可行結點。如果是則將其加入到活結點隊列中。然后將其右兒子結點加入到活結點隊列中(右兒子結點一定是可行結點)。2個兒子結點都產生后，當前擴展結點被舍棄。活結點隊列中的隊首元素被取出作為當前擴展結點，隊列中每一層結點之后都加一個尾部標記-1，故在取隊首元素時，活結點隊列一定不空。當取出的元素是-1時，再判斷當前隊列是否為空。如果隊列非空，則將尾部標記-1加入活結點隊列，算法開始處理下一層的活結點。116.3裝載問題2.隊列式分支限界法while(隊列不空){

if(ew+w[i]<=c)//ew存儲當前擴展結點相應的重量enQueue(ew+w[i],i);//檢查左兒子結點x[i]=1加入隊列

enQueue(ew,i);//右兒子結點總是可行的x[i]=0

ew

←queue.remove();//取下一擴展結點

if(ew==-1){if(queue.isEmpty())returnbestw;queue.put(-1);//同層結點尾部標志

ew

←queue.remove();//取下一擴展結點

i++;//進入下一層

}}126.3裝載問題3.算法的改進節點的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設bestw是當前最優解；ew是當前擴展結點所相應的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當ew+rbestw時，可將其右子樹剪去，因為此時若要船裝最多集裝箱，就應該把此箱裝上船。另外，為了確保右子樹成功剪枝，應該在算法每一次進入左子樹的時候更新bestw的值。136.3裝載問題3.算法的改進//檢查左兒子結點

intwt←

ew+w[i];if(wt<=c){//可行結點

if(wt>bestw)bestw

←wt;

//加入活結點隊列

if(i<n)queue.put(wt);}提前更新bestw

//檢查右兒子結點

if(ew+r>bestw&&i<n)//可能含最優解

queue.put(ew);

ew

←queue.remove();//取下一擴展結點

右兒子剪枝

146.3裝載問題4.構造最優解

為了在算法結束后能方便地構造出與最優值相應的最優解，算法必須存儲相應子集樹中從活結點到根結點的路徑。為此目的，可在每個結點處設置指向其父結點的指針，并設置左、右兒子標志。

privatestaticclassQNode

{QNodeparent;//父結點booleanleftChild;//左兒子標志intweight;//結點所相應的載重量}156.3裝載問題找到最優值后，可以根據parent回溯到根節點，找到最優解。//構造當前最優解

for(j←nto0){x[j]←(e.leftChild)?1:0;e←e.parent;}166.3裝載問題5.優先隊列式分支限界法

解裝載問題的優先隊列式分支限界法用最大優先隊列存儲活結點表。活結點x在優先隊列中的優先級定義為從根結點到結點x的路徑所相應的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優先隊列中優先級最大的活結點成為下一個擴展結點。以結點x為根的子樹中所有結點相應的路徑的載重量不超過它的優先級。子集樹中葉結點所相應的載重量與其優先級相同。在優先隊列式分支限界法中，一旦有一個葉結點成為當前擴展結點，則可以斷言該葉結點所相應的解即為最優解。此時可終止算法。

176.40-1背包問題算法的思想首先，要對輸入數據進行預處理，將各物品依其單位重量價值從大到小進行排列。在下面描述的優先隊列分支限界法中，節點的優先級由已裝袋的物品價值加上剩下的最大單位重量價值的物品裝滿剩余容量的價值和（上界）。算法首先檢查當前擴展結點的左兒子結點的可行性。如果該左兒子結點是可行結點，則將它加入到子集樹和活結點優先隊列中。當前擴展結點的右兒子結點一定是可行結點，僅當右兒子結點滿足上界約束時才將它加入子集樹和活結點優先隊列。當擴展到葉節點時為問題的最優值。186.40-1背包問題上界函數bound(i)while(i<=n&&w[i]<=cleft){//n表示物品總數，cleft為剩余空間cleft-=w[i];//w[i]表示物品i所占空間b+=p[i];//p[i]表示物品i的價值i++;}if(i<=n)b+=p[i]/w[i]*cleft;//裝填剩余容量裝滿背包returnb;

//b為上界函數196.40-1背包問題

while(i!=n+1)//搜索子集樹{//非葉結點doublewt=cw+w[i];if(wt<=c){//左兒子結點為可行結點

if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];

addLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],i+1,enode,true);}//enode是當前擴展結點，cw、cp是擴展結點相應的重量和價值，up是價值上界，bestp是當前最大價值up=bound(i+1);if(up>=bestp)//檢查右兒子節點

addLiveNode(up,cp,cw,i+1,enode,false);

//取下一個擴展節點（略）}分支限界搜索過程206.5旅行售貨員問題1.問題描述某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費)。他要選定一條從駐地出發，經過每個城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費)最小。路線是一個帶權圖。圖中各邊的費用（權）為正數。圖的一條周游路線是包括V中的每個頂點在內的一條回路。周游路線的費用是這條路線上所有邊的費用之和。旅行售貨員問題的解空間可以組織成一棵樹，從樹的根結點到任一葉結點的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問題要在圖G中找出費用最小的周游路線。216.5旅行售貨員問題2.算法描述

算法開始時創建一個最小堆，用于表示活結點優先隊列。堆中每個結點的子樹費用的下界lcost值是優先隊列的優先級。接著算法計算出圖中每個頂點的最小費用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個頂點沒有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結束。如果每個頂點都有出邊，則根據計算出的minout作算法初始化。lcost=當前費用cc+剩余的最小費用出邊之和。

226.5旅行售貨員問題

1、首先考慮s=n-1的情形，此時當前擴展結點是排列樹中某個葉結點的父結點。如果該葉結點相應一條可行回路且費用小于當前最小費用，則將該葉結點插入到優先隊列中，否則舍去該葉結點。算法的while循環體完成對排列樹內部結點的擴展。對于當前擴展結點，算法分2種情況進行處理x[1:s]：

2、當s<n-1時，算法依次產生當前擴展結點的所有兒子結點。由于當前擴展結點所相應的路徑是x[1:s]