保險的數理基礎現代保險學是建立在概率論和大數定律基礎上的，為以下三個方面提供了科學依據：保險經營的穩定性、費率厘定的科學性、保險風險的集合與分散的可行性風險事故：是否發生？怎么發生？發生后損失的程度？

→沒有風險就沒有保險。保險的數理基礎一、概率統計和相關概念

隨機現象、概率及頻率、概率分布及數字特征二、大數定律及其在保險中的應用

貝努利大數定律、泊松大數定律、契比雪夫大數定律三、保險費率厘定構成、分類、保險費率、特點、厘定原則、厘定方法第一節概率統計的相關概念一、隨機現象、隨機試驗隨機現象：在個別試驗中其結果呈現出不確定性而在大量重復試驗中，其結果又具有統計規律性的現象稱為隨機現象。隨機現象是通過隨機試驗來研究的。隨機試驗特征：（扔硬幣）（1）可以在相同條件下重復進行；（2）每次試驗的結果不止一個，而且所有可能的結果是事先知道的；（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現。二、概率與頻率概率：衡量隨機事件發生可能性大小的尺度，概率大表示隨機事件出現的可能性就大，反之，概率小表示隨機事件出現的可能性就小。在實際應用中，一種廣為接受的確定隨機事件概率的方法是概率的頻率解釋。當試驗次數很大時，頻率也將越趨近于某一數值，這時可以來表示事件發生的概率。對于概率的頻率解釋，在大數定律中將給出嚴格的理論證。（貝努利大數定律）

保險實務中，常常用頻率來表示風險事件的損失概率。在人壽保險中，確定每個年齡段的死亡率的依據是生命表。生命表是以人口普查資料為依據，根據一定時期某一國家或地區的特定人群有關生存、死亡的統計資料，加以分析整理而成的一種表格。它是人壽保險測定危險的工具，是壽險精算的數理基礎。三、概率分布與數字特征

對于保險而言，隨機變量的取值通常是損失的各種不同數額，此時隨機變量的數學期望就是損失期望值，即未來危險事故產生損失的均值。對于保險人：只有知道了損失期望值，才能確保純保費。對于投保人：把預期損失金額與保險費比較，然后做出是否購買保險的決定。0*0.5+500*0.3+1000*0.1+5000*0.06+10000*0.04=950（期望損失）若保費1500元，就不投保。保險的數理基礎一、概率統計和相關概念

隨機現象、概率及頻率、概率分布及數字特征二、大數定律及其在保險中的應用

貝努利大數定律、泊松大數定律、契比雪夫大數定律三、保險費率厘定構成、分類、保險費率、特點、厘定原則、厘定方法第二節大數定律及其在保險中的應用保險人分散風險、分攤損失的功能是通過集合大量的具有相同性質的經濟單位或個人來實現的。一個深層次的問題是，為什么保險人通過這種風險匯聚的方式能夠實現分攤損失、降低風險的目的，其理論依據是什么？

大數定律將對這個問題作出科學地回答和解釋。大數定律是用來說明大量重復的隨機現象往往呈現必然規律的一系列定理的統稱，它是保險經營的重要數理基礎。當N足夠大，可以用損失頻率代替實際損失概率，從而可以確定純保費。當N足夠大，可以在平均的意義上求出相同的損失概率。所以，把性質相同的標的集中起來，可以算出平均費率。當n足夠大時，反映了保險的本質：分擔風險（純保費：u）

伯努利大數定律、泊松大數定律、契比雪夫大數定律這三個大數定律應用于保險得出的最有意義的結論是：保險人承保的同質危險單位越多，則通過以往統計數據估算出來的損失頻率與實際概率的偏差就越小；保險機制分攤損失和分散風險的效率就越高；保險費率的厘定就越科學；保險人的財務穩定性也越強。大數定律在保險中應用的雙重性：

要準確估計事件發生的概率，保險公司必須掌握大量的經驗數據；

概率估計值必須運用到大量的危險單位中才能對未來損失有較準確的估計；

假設前提：

1.過去事件發生的概率和未來事件發生的概率相同；

2.對過去事件發生概率的估計是準確的。保險的數理基礎一、概率統計和相關概念

隨機現象、概率及頻率、概率分布及數字特征二、大數定律及其在保險中的應用

貝努利大數定律、泊松大數定律、契比雪夫大數定律三、保險費率厘定構成、分類、保險費率、特點、厘定原則、厘定方法第三節

保險費率厘定一、保險費率的構成保險費：投保人為了獲得經濟保障而向保險人繳納的費用。保險費又稱為毛保費、營業保費，保險費=純保險費+附加保費。純保費：根據風險概率計算而得，是發生保險事故時進行保險金賠付的資金來源。附加保費：經營保險業務所必需的的各項營業支出和預期利潤，包括營業稅、代理手續費、企業管理費、工資及工資附加費、固定資產折舊費、稅金以及企業盈利等。二、保險費的分類按繳費方式，分為：躉繳保費、期繳保費按繳費時間，分為：期初繳費、期末繳費按承擔的風險大小：自然保費、均衡保費均衡保費：是指保險人將人的不同年齡的自然保險費結合利息因素，均勻地分配在各個年度，使投保人按期交付的保險費整齊劃一，處于相同的水平，這種保險費即為均衡保險費。均衡保險費避免了被保險人到了晚年因保險費的上升而無力續保的不足，因此適合長期性的人壽保險。

三、保險費率保險費率是保險費與保險金額的比例，又稱為保險價格。保險費率一般也由純費率與附加費率兩部分組成，即：毛費率=純費率+附加費率。純費率又稱凈費率，它是用來支付賠款或保險金的費率，其計算依據因險種的不同而不同。依據：財產保險純費率：損失率，人壽保險純費率：利率和生命表。附加費率是附加保費與保險金額的比率。四、保險費率的特點預測性單個保險合同：保險費率≠保險金同一類保險業務：總純保險費=總的保險金支出保險費率受政府的管制較嚴。五、保險費率厘定的基本原則公平合理原則（對保險人和投保人）保證償付原則（充分原則）相對穩定原則促進防災防損原則防災防損：保險人與被保險人盡可能減少事故以及盡可能減少損失。（防止道德風險）好處:減少保險人的賠付；減少整個社會的財富損失（無賠款優待）六、保險費率厘定的方法

毛保費率=純費率+附加費率分類法增減法個案法1.分類法：基于風險分類來計算保險費率的方法。（最常用、最主要）在具體承保時，先找出保險標的所在的風險類別，再據以確定其適用的費率水平。運用于財產保險、健康保險和大部分人身意外傷害保險。這一方法有時也被叫做手冊法，因為各種分類費率平常印在手冊之上，保險人只需查閱手冊，便可決定費率。財產保險：一般根據標的物的使用性質分為不同的類別，每一類又可以分為若干等級。人身保險：一般按照性別、年齡、健康狀況、職業等分類。要求：一要分類適當，二要各類保險標的都有足夠的數量。決定每類費率時，主要考慮相同的標的類型，相同的風險，相同的保險期限等因素。優點：便于運用，適用費率可迅速查到缺點：不盡公平。分類費率可通過兩種方法來計算：純保險費率法和損失比率法。1、純保險費率法（以損失經驗為計算基礎）。集合→頻率→概率→純費率2、損失比率法（以整個行業的實際損失為計算基礎）。

若分類過多，每一類標的過少，不符合大數定律的親體。因此，需要結合其他類似風險的損失資料。2、增減法（修正法）：在同一類保險標的中，在分類法確定基本費率的基礎上，再依據個別保險標的的實際風險狀況進行適當修正，得出最終適用的費率。優點：增減法能結合標的的實際風險程度的差異，有利于實現費率的公平合理，還有促進防災防損的作用。增減法主要分為三種做法：表定法、經驗法、追溯法。3、個案法（觀察法）七、財產保險費率計算過程純費率→附加費率→毛費率（1）計算純費率與損失率相關的基本指標有6個:A:保險標的件數B:總保險金額

C:保險事故次數D:受損標的件數

E:受損標的總保額F:總賠款金額分別組成了4個影響因素

1、保險事故發生的頻率=C/A=保險事故次數/保險標的件數

2、保險事故的毀損率=D/C=受損標的件數/保險事故次數

3、保險標的損毀程度=F/E=總賠款金額/受損標的總保額

4、受損保險標的平均保額與總平均保額的比率

=（E/D）/（B/A）四個因素的乘積為保額損失率=F/B=總賠款金額/總保險金額假設某保險公司過去5年保額損失率統計資料如下：年份20012002200320042005保額損失率（Xi）2%2.5%3.4%3.1%2.8%純費率=保額損失率×（1+穩定系數）純費率=平均保額損失率×（1+穩定系數）

純費率=平均保額損失率+均方差實務中：對于損失率較穩定的，一般附加1個σ，適合比較穩定的險種，如火災保險；對損失率不夠穩定的險種，如機動車輛保險、飛機保險等，附加2個σ；對于損失率很不穩定的高風險險種，如衛星發射保險，可附加3個σ。

本案例中，由于穩定系數小于20%（18.12%），是低風險險種。純費率=2.76%+0.5%=3.26%（2）計算附加費率附加費率=附加費/保險金額

附加費率=純費率×附加費與純保費比例（3）計算毛費率

毛費率=純費率+附加費率毛費率=保額損失率×（1+穩定系數）+附加費率毛費率=（保額損失率+均方差）+附加費率毛費率=純費率×（1+附加比例）本案例中，若附加費與純保費的比例為20%，則：

附加費率=3.26%×20%=0.652%

毛保費率=3.26%+0.652%=3.912%八、人壽保險費率的厘定（一）概述人壽保險費=純保費+附加保費純保險費包括：

危險保險費（風險保費）：用于當年保險費的支付儲蓄保險費：累計用于彌補未來的赤字純保費計算必須以死亡率和預定利率為基礎；附加保費則用于保險公司經營費用，包括：新契約費用（原始費用）、維持費用、收費費用，以預定費用率為基礎注：現金價值—被保險人年輕時，死亡概率低，投保人交納的保費比實際需要的多，多交的保費將由保險公司逐年積累；被保險人年老時，死亡概率高，投保人當期交納的保費不足以支付當期賠款，不足的部分將正好由被保險人年輕時多交的保費予以彌補。這部分多交的保費連同其產生的利息，每年累積起來，就是保單的現金價值。（二）利息

單利，復利，終值，現值，年金（三）生命表生命表：根據一定的調查時期，一定的國家或地區范圍，一定的人群類別（如性別分類）等實際而完整的統計資料，經過分析整理，反映某一國家或地區一定人群的生死狀況。生命表的直觀形式是：折算成以10萬、100萬或1000萬同齡人為基數的逐年生存或死亡數字，反映的是在封閉人口條件下，一批人從出生后陸續死亡的全部過程中，從而可以計算每個年齡人群的生存和死亡概率。年齡x年初生存人數lx年死亡人數dx生存率px死亡率qx3536373897239697138697025596904310281113121213240.9989430.9988540.9987510.9985030.0010510.0011460.0012490.001366生命表的內容有：

1、x:當年生存者的年齡；

2、lx:年齡為x歲的人的生存人數；

3、dX：一年內的死亡人數，即在lX人中，從x歲到x+1歲的一年內的死亡人數；

4、pX：生存率，x歲的人到x+1歲時仍然生存的概率；

5、qx：死亡率，x歲的人在達到x+1歲前的死亡概率；

6、ex:平均余命。（四）純保險費計算

基本原理：收付平衡原則，精算現值相等（