方程的根

與

函數的零點新安二高

李向麗人教A版·普通高中數學必修1

第三章《函數與方程》第一節1.

地位與作用本節課不僅為二分法的學習做準備，而且為方程與函數提供了零點這個連接點，從而揭示了兩者之間的本質聯系，這種聯系正是“函數與方程思想”的理論基礎．2.

教學目標本節課不僅為二分法的學習做準備，而且為方程與函數提供了零點這個連接點，從而揭示了兩者之間的本質聯系，這種聯系正是“函數與方程思想”的理論基礎．3.

教學重難點基于上述分析，確定本節的教學難點是：

重點是：了解函數零點概念，掌握函數零點存在性定理。教材分析2.1

學生已具備必要的理解基礎.通過基本初等函數的學習，學生對函數圖像和性質已有了深刻的了解，具備了必要的基礎知識儲備。方程是初中數學的重要內容，用函數知識研究方程，擴充方程的種類是學生樂于接受的，因而學生具備一定的心理與情感基礎．2.2

學生缺乏函數與方程聯系的觀點.高一學生缺乏數形結合與抽象思維能力．往往將函數孤立起來，認識不到函數在高中數學中的核心地位．2.3

直觀體驗與準確理解定理的矛盾．零點存在性定理的獲得與應用，必須讓學生從一定量的具體案例中操作感知，通過更多的舉例來驗證．2.4

教學難點基于上述分析，確定本節的教學難點是：對零點存在性定理的準確理解．學情分析目標分析3.1知識與技能目標：1、了解函數零點的概念：能夠結合具體方程說明方程的根、函數的零點、函數圖象與x軸的交點三者的關系；2、理解函數零點存在性定理：了解圖象連續不斷的意義及作用；知道定理只是函數存在零點的一個充分條件；了解函數零點可能不止一個；3、能利用函數圖象和性質判斷某些函數的零點個數，及所在區間．3.2過程與方法目標：1、經歷“探索—歸納—應用”的過程，感悟由具體到抽象的研究方法，培養歸納概括能力．2、初步體會函數方程思想，能將方程求解問題轉化為函數零點問題．3.3情感、態度和價值觀目標：1、體會函數與方程的“形”與“數”、“動”與“靜”、“整體”與“局部”的內在聯系．2、體驗規律發現的快樂．過程分析情境引入課堂探索課堂小結，作業趣味研究：爬行的螞蟻巧妙設計探究性問題，層層遞進，完成本節課的教學重點和難點。

一張紙上有一只螞蟻想由A點到B點，下列哪幅圖螞蟻的爬行路線可能和直線a有交點？想一想：A、B有怎樣的關系時A、B間的一條連續不斷的曲線與x軸一定有交點？圖1圖2【設計意圖】：用情境激發學生的探究興趣。創設情境，感知概念教學過程設計層層遞進，步步深入“問題是數學的心臟”問題1：判斷方程是否有實數根問題2：作出熟知的函數圖象，思考方程的根與函數的圖象有何聯系？問題3：探索上述關系對一般二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）是否成立？問題4：對于方程f（x)=0與函數y=f（x）是否也有類似的結論呢？問題1：判定下列方程是否有實數根？

分別作出下列函數圖象，思考函數的圖象與對應方程的根有什么聯系？問題2：問題3：探索上述關系對一般二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）是否成立？圖3圖4圖5問題4：對于方程f（x）=0與函數y=f（x）是否也有類似的結論呢？通過學生歸納引出概念：函數的零點：對于函數y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數叫做函數的零點．即時測驗：函數f（x）=x（x2-16）的零點為（）?！驹O計意圖】：及時矯正“零點即交點”這一誤解。觀察圖像，回答問題。圖6圖7問題5：探究，歸納定理（1）圖6中

f（-2）=

，f（1)=

，f（-2）·f（1)=

0(“<”或“>”)

函數在[-2,1]上有零點

；在[-2,1]上有零點

，f（2）·f（4)=

0.（2）圖7中（a，b）上

（有/無）零點；f（a）·f(b)

0(“<”或“>”)

（b，c）上

（有/無）零點；f（a）·f(b)

0(“<”或“>”)

（c，d）上

（有/無）零點；f（a）·f(b)

0(“<”或“>”)【設計意圖】：通過歸納得出零點存在定理。動手探究，揭示定理

已知函數的圖象是一條連續不斷的曲線，且過點、，請在下列坐標系中作出的可能圖象．問題6：A·B·A·B·A·B·A·B·圖8圖9圖10圖11思考：函數滿足什么條件，在區間上一定有零點？

即時測驗：判斷下列結論是否正確，若不正確請用函數圖像舉反例。（1）已知函數y=f(x)在區間[a，b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區間(a，b)內有且僅有一個零點．

（）（2）已知函數y=f(x)在區間[a，b]上連續，且f(a)·f(b)≥0，則f(x)在區間(a，b)內沒有零點．

（）（3）已知函數y=f(x)在區間[a，b]滿足f(a)·f(b)<0，則f(x)在區間(a，b)內存在零點．（）設計意圖：通過對定理中條件的改變，將幾種容易產生的誤解正面給出，在第一時間糾正，從而促進對定理本身的準確理解。練習：（1）已知函數f(x)的圖象是連續不斷的，有如下的x，f(x)對應值表：x1234567f(x)239－711－5－12－26那么函數在區間[1，6]上的零點至少有

（

）

A．5個

B．4個

C．3個

D．2個（2）方程–x3–3x+5=0的零點所在的大致區間為

（

）

A．(–2，0)

B．(0，1)

C．(0，1)

D．(1，2)意圖：一方面促進對定理的活用，另一方面為突破后面的探究鋪設臺階．求函數f(x)＝lnx＋2x－6的零點的個數，并確定零點所在的區間[n，n+1](n∈Z)．3、將方程lnx＋2x－6=0化為lnx=6-2x，分別畫出g(x)=lnx與h(x)=6-2x的草圖，從而確定零點個數為1．繼而比較g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，確定交點所在的區間，即零點的區間．

【設計意圖】：通過探究創新，能根據零點存在性定理確定零點所在的區間，并且結合函數性質，判斷零點個數．1、用計算器或計算機作出x，f（x）的對應值表和圖像。學生在探究過程中有可能找出如下方法，應給予鼓勵。思考與創新2、估算法1．你通過本節課的學習，有什么收獲？（1）一個關系：函數零點與方程根的關系；（2）兩種思想：函數與方程思想，數形結合思想；（3）三種題型：求函數零點、判斷零點個數、求零點所在區間．2．對于本節課學習的內容你還有什么疑問？【設計意圖】：在學生談收獲，談體驗的過程中，教師將本節課的內容概括一個關系，兩種思想，三種題型．進一步優化學生的認知結構，把課堂所學的知識與方法較快轉化為學生的素質，也更進一步培養學生的歸納概括能力．小結反思，提高認識學生分組討論談體會：必做題：1、教材P88：T1、T2.2、《世紀金榜》P65選做題：思考如何確定函數f（x）=lnx+2x-6零點的近似值【說明】圍繞課堂的重點，分層布置作業，幫助學生進一步理解相關的知識與方法，利于拓展學生的自主發展的空間．布置作業，獨立探究§3．1．1方程的根與函數的零點一、函數的零點：不是一個點而是一個實數．二、函數零點與方程根之間的三個等價關系．三、判定零點的存在性：1、函數是連續的．2、f(a)f(b)<0．3、至少有一個零點．例1……例2練習：（1）……（2）……PPT演示板書設計教法分析1、重視對學生創新意識和實踐能力的培養．給學生時間和空間，放手讓學生實踐．由性質的得出到課堂實驗，教師始終關注每一位學生參與探究的全過程，完成教師角色的轉變，教師真正成為學生活動的組織者、參與者